Понять - это подхватить и продолжить начатое.
Жан Кавайе

Здесь я занимаюсь анализом анализа.
Эварист Галуа

      Математические работы Галуа, по крайней мере те, что сохранились, составляют шестьдесят небольших страниц. Никогда еще труды столь малого объема не доставляли автору такой широкой известности.
      Знакомство с тем, что сделал Галуа, требует особого рода усилий. Галуа испытывал непреодолимое отвращение к громоздким выкладкам, поэтому его формулировки предельно сжаты. Но все написанное им освещено неустанно пытливой мыслью ученого; каждая из его работ - это как бы новый смелый бросок вперед; достигнутое ранее остается позади и перестает интересовать автора. Прозрения Галуа ослепительны. Его отношение к читателю кажется иногда высокомерным (настолько он не заботится о его интересах), но на самом деле это лишь свидетельство совершенно исключительной целеустремленности мысли.
      Хотя Галуа много занимался теорией уравнений высших степеней, он не был просто выдающимся алгебраистом. Конкретные результаты, которые ему удавалось получить, никогда не ценились им очень высоко. В первую очередь Галуа интересовали не отдельные математические задачи, а общие идеи, определяющие всю цепь соображений и направляющие логический ход мыслей. Его доказательства основываются на глубокой теории, позволяющей объединить все достигнутые к тому времени результаты и определить развитие науки надолго вперед. Через несколько десятков лет после смерти Галуа немецкий математик Давид Гильберт назвал эту теорию "установлением определенного остова понятий". Но какое бы название за ней ни укрепилось, очевидно, что она охватывает очень большую область знаний.
      Множество различных теорий, изучавшихся ранее независимо друг от друга, оказываются на самом деле всего лишь частными случаями, различающимися только некоторыми численными значениями. При этом математики освобождаются от необходимости заниматься численными расчетами; как говорил Галуа, достаточно того, что они "предвидят" их. Объяснение этого образного выражения содержится в мемуаре, написанном 125 лет тому назад в Сент-Пелажи [13]. Ни один добросовестный человек, даже если он не имеет никакого отношения к математике, не может не почувствовать горячей убежденности, пронизывающей эти страницы:
      "...Итак, я полагаю, что упрощения, получаемые за счет усовершенствования вычислений (при этом, конечно, имеются в виду упрощения принципиальные, а не технические), вовсе не безграничны. Настанет момент, когда математики смогут настолько четко предвидеть алгебраические преобразования, что трата времени и бумаги на их аккуратное проведение перестанет окупаться. Я не утверждаю, что анализ не сможет достигнуть чего-нибудь нового и помимо такого предвидения, но думаю, что без него в один прекрасный день все средства окажутся тщетными.
      Подчинить вычисления своей воле, сгруппировать математические операции, научиться их классифицировать по степени трудности, а не по внешним признакам - вот задачи математиков будущего так, как я их понимаю, вот путь, по которому я хочу пойти.
      Пусть только никто не смешивает проявленную мной горячность со стремлением некоторых математиков вообще избегнуть каких бы то ни было вычислений. Вместо алгебраических формул они используют длинные рассуждения и к громоздкости математических преобразований добавляют громоздкость словесного описания этих преобразований, пользуясь языком, не приспособленным для выполнения таких задач. Эти математики отстали на сто лет.
      Здесь не происходит ничего подобного. Здесь я занимаюсь анализом анализа. При этом самые сложные из известных сейчас преобразований (эллиптические функции) рассматриваются всего лишь как частные случаи, весьма полезные и даже необходимые, но все же не общие, так что отказ от дальнейших более широких исследований был бы роковой ошибкой. Придет время, и преобразования, о которых идет речь в намеченном здесь высшем анализе, будут действительно производиться и будут классифицироваться по степени трудности, а не по виду возникающих здесь функций" (*).
      Долгое время никто не подозревал о существовании этой программы, составленной Галуа в 1832 году. Ее опубликовали лишь спустя 70 лет после его смерти, но и тогда она не вызвала серьезного интереса и скоро была забыта. Только молодые математики нашего времени, продолжившие работу многих поколений ученых, осуществили, наконец, мечту Галуа. И тем не менее именно его работы ознаменовали конец предыстории и начало подлинной истории математики.
      Несмотря на то, что научная деятельность Галуа была поразительно недолгой, сейчас все-таки можно проследить, как он постепенно пришел к столь глубоким выводам. В только что процитированном отрывке читатель должен обратить внимание на слова "сгруппировать математические операции". Здесь, несомненно, имеется в виду то, что сейчас носит название теории групп, той самой теории групп, которая, начиная с конца XIX века, оказала огромное влияние на развитие математического анализа, геометрии, механики и, наконец, физики. Честь создания этой теории принадлежит Эваристу Галуа, и он же первый оценил ее значение для будущего науки. Вот почему очень хотелось бы дать, пусть весьма общее, но тем не менее совершенно четкое представление о сущности того, что он сделал [14].
      Одна из задач, над которой работал Эварист Галуа, привлекала внимание математиков в течение долгого времени. Это задача о решении алгебраических уравнений. Каждому из нас еще на школьной скамье приходилось решать уравнения первой и второй степени. Решить уравнение - это значит найти, чему равны его корни. Уже в случае уравнений третьей степени это совсем не так просто. Галуа же изучал самый общий случай уравнения произвольной степени (*).
      Каждый из нас может взять лист бумаги, записать такое общее уравнение и обозначить его корни какими-нибудь буквами. Однако эти корни, разумеется, являются неизвестными. Первое из открытий Галуа состояло в том, что он уменьшил степень неопределенности их значений, т. е. установил некоторые из "свойств" этих корней. Второе открытие связано с методом, использованным Галуа для получения этого результата. Вместо того чтобы изучать само уравнение, Галуа изучал его "группу", или, образно говоря, его "семью".
      Понятие группы возникло незадолго до работ Галуа. Но в его время оно существовало как тело, лишенное души, как одно из множества искусственно выдуманных понятий, время от времени возникающих в математике. Революционность того, что сделал Галуа, заключалась не только в том, что он вдохнул в эту теорию жизнь, что его гений придал ей необходимую законченность; Галуа показал плодотворность этой теории, применив ее к конкретной задаче о решении алгебраических уравнений. Именно поэтому Эварист Галуа является истинным создателем теории групп.
      Группа - это совокупность предметов, имеющих определенные общие свойства. Пусть, например, в качестве таких предметов взяты действительные числа. Общее свойство группы действительных чисел состоит в том, что при умножении любых двух элементов этой группы мы получаем также действительное число. Вместо действительных чисел в качестве "предметов" могут фигурировать изучаемые в геометрии движения на плоскости; в таком случае свойство группы заключается в том, что сумма любых двух движений дает снова движение. Переходя от простых примеров к более сложным, можно в качестве "предметов" выбрать некоторые операции над предметами. В таком случае основным свойством группы будет то, что композиция любых двух операций также является операцией. Именно этот случай и изучал Галуа. Рассматривая уравнение, которое требовалось решить, он связывал с ним некоторую группу операций (к сожалению, мы не имеем возможности уточнить здесь, как это делается) и доказывал, что свойства уравнения отражаются на особенностях данной группы. Поскольку различные уравнения могут иметь одну и ту же группу, достаточно вместо этих уравнений рассмотреть соответствующую им группу, открытие ознаменовало начало современного этапа развития математики.
      Из каких бы "предметов" ни состояла группа: из чисел, движений или операций, - все они могут рассматриваться как абстрактные элементы, не обладающие никакими специфическими признаками. Для того чтобы определить группу, надо только сформулировать общие правила, которые должны выполняться для того, чтобы данную совокупность "предметов" можно было назвать группой. В настоящее время математики называют такие правила групповыми аксиомами, теория групп состоит в перечислении всех логических следствий из этих аксиом. При этом последовательно обнаруживаются все новые и новые свойства; доказывая их, математик все более и более углубляет теорию. Существенно, что ни сами предметы, ни операции над ними никак не конкретизируются. Если после этого при изучении какой-нибудь частной задачи приходится рассмотреть некоторые специальные математические или физические объекты, образующие группу, то, исходя из общей теории, можно предвидеть их свойства. Теория групп, таким образом, дает ощутимую экономию в средствах; кроме того, она открывает новые возможности применения математики в исследовательской работе.
      "Я умоляю моих судей по крайней мере прочесть эти несколько страниц", - так начал Галуа свой знаменитый мемуар. Если бы у его судей хватило гражданского мужества, мы простили бы им недостаток проницательности: идеи Галуа были настолько глубоки и всеобъемлющи, что в то время их действительно трудно было оценить какому бы то ни было ученому.

      Множество умов упорно пыталось определить, в чем состоит гениальность. Попытки оказались тщетными, потому что это качество рассматривалось как некое метафизическое явление независимо от обстоятельств, в каких оно проявлялось. На самом же деле гениальность Паскаля, например, не в том, что он мог в двенадцать лет воспроизвести первые тридцать два предложения Евклида, и даже не в том, что после знакомства с Дезаргом он написал работу о конических сечениях. Гениальность Паскаля в том, что он открыл новые, неизвестные раньше связи между различными разделами науки: "Пусть не говорят, что я не сделал ничего нового. Новое - в расположении материала. Когда двое играют в лапту, оба пользуются одним и тем же мячом. Но один из них находит для него лучшее положение". (Паскаль. Предисловие к "Мыслям"). Настоящий исследователь открывает в первую очередь не новые объекты, а новые связи между ними.
      Пока нет необходимости, гений молчит. Эту мысль легко подтвердить, стоит только распространить на ученых то, что говорят обычно о государственных деятелях, когда хотят показать, чем они отличаются от людей, вообще занимающихся политикой. Государственный деятель первым замечает изменения, возникшие в соотношении мировых сил; он первым осознает необходимость реагировать на происходящее и в соответствии с этим выбирает для своих действий ту или иную форму. То же самое и в науке. Гениальность ученого проявляется тогда, когда возникает необходимость в каких-то коренных изменениях. Процесс развития человеческих знаний происходит неравномерно. Иногда в той или иной области движение вперед временно прерывается. Наука дремлет в оцепенении. Ученые занимаются мелочами, за красивыми вычислениями скрываются убогие мысли. В начале XIX века алгебраические преобразования так усложнились, что практически движение вперед оказалось невозможным. Аппарат, придуманный Декартом и усовершенствованный его последователями, убил то, во имя чего он был создан. Математики перестали "видеть". Даже Лагранж оказался не в состоянии сдвинуть с мертвой точки задачу о решении алгебраических уравнений (это удалось сделать Галуа). Бессилие Лагранжа - яркий пример упадка, переживаемого в то время алгеброй. Настал момент, когда необходимо было найти новые пути. Этот момент определил отнюдь не случай, его вызвала к жизни необходимость. И отличительная черта гения в том, чтобы уловить эту необходимость и немедленно на нее откликнуться.
      "В математике, как в любой другой науке, - писал Галуа, - есть вопросы, требующие решения именно в данный момент. Это те насущные проблемы, которые захватывают умы передовых мыслителей независимо от их собственной воли и сознания".
      История человеческих знаний сохранила имена ученых, сумевших благодаря особой пытливости ума вовремя почувствовать неотложность решительных изменений и указать на это своим современникам. Наука высоко чтит и тех, кто осуществил необходимые перемены. Иногда, хотя и редко, одному человеку удавалось сделать и то и другое. Таким человеком был Лавуазье, таким был и Эварист Галуа.
      Имя Лавуазье названо здесь не случайно. Во второй половине XVIII века развитие химии приостановилось. Талантливых химиков было по-прежнему достаточно - техника химического эксперимента достигла такого совершенства, что многие достижения того времени используются до сих пор, - а наука стояла на месте. Лавуазье прежде всего обратил внимание на отсутствие ясности и единообразия в терминологии. При той путанице определений и понятий, которая царила в работах по химии, движение вперед было просто невозможно. С работ Лавуазье в химии началась пора расцвета.
      В каком-то смысле Галуа сделал в математике то же, что Лавуазье в химии. Введение понятия группы избавило математиков от обременительной обязанности рассматривать множество различных теорий. Оказалось, что нужно лишь выделить "основные черты" той или иной теории, и так как, по сути дела, все они совершенно аналогичны, то достаточно обозначить их одним и тем же словом и сразу становится ясно, что бессмысленно изучать их по отдельности. "Здесь я занимаюсь анализом анализа". Эта мысль Галуа выражает его стремление внести в разросшийся математический аппарат новое единство. Теория групп - это прежде всего наведение порядка в математическом языке.
      "Новые расположения" Паскаля, "номенклатура" Лавуазье, "группы" Галуа - все эти замечательные открытия снова и снова показывают, какую роль играет в науке установление новых связей. Каждое из этих открытий ознаменовало также значительное усовершенствование языка, используемого учеными.

      Те, кто осуждает Галуа за его политическую деятельность или просто не принимает ее в расчет, не могут оценить того, что он сделал для науки. Не могут потому, что думают, будто теория не зависит от практики, будто только конкретная деятельность - серьезное дело, а любые общие рассуждения - пустая забава. Для них прогресс - дело случая, а открытие - результат чуда. Эти люди думают, что работа ученого протекает вне времени и пространства, что сам он живет и творит в каком-то абстрактном мире. Такая точка зрения очень удобна: она позволяет чувствовать себя уверенно.
      Эварист Галуа восстал против естественной изолированности ученого и заплатил за это жизнью. Кто же виноват, кроме него самого? Чтобы смягчить резкость этого мнения, были придуманы специальные объяснения: говорили о крайней молодости Галуа, о его чрезмерной экзальтированности и охотно забывали при этом о поразительной ясности его ума.
      Эварист Галуа уже в Сент-Пелажи мечтал о солидарности ученых будущего: "...Ученые созданы для изолированного существования не больше, чем все остальные люди... Они тоже принадлежат своему времени и рано или поздно начнут действовать сообща. Сколько тогда времени освободится для науки!"
      Быть может, ни у одного ученого не было такого единства научных и общественных идеалов, как у Эвариста Галуа; быть может, никогда это единство не вызывало столь яростного преследования со стороны государства.


[13] То есть в 1831 году. Французское издание книги Дальма вышло в 1956 году
[14] Более подробно об этом рассказывается в Послесловии редактора

(*) См. раздел "Документы", п. 2.
(*) Заметим тут же, что с точки зрения практики точное решение любого конкретного уравнения сколь угодно сложного вида не представляет никакого интереса. Уже в XVI веке математики нашли, что удобнее пользоваться методами, позволяющими определить приближенные значения корней уравнения. Эти приближенные значения вполне удовлетворяют нужды физиков, химиков и инженеров. В наше время можно без труда получить сколь угодно точные результаты, прибегнув к помощи вычислительных машин. Но общие уравнения с буквенными коэффициентами недоступны для приближенных методов