Антонюк П.Н. Золотое сечение - математический термин Леонардо да Винчи

Пусть не читает меня в основаниях моих тот, кто не математик, — заявлял Леонардо да Винчи, перефразируя девиз Академии Платона. Негеометр да не войдет! Такими словами он выразил свое отношение к математике, интерес к которой во многом сформировался под влиянием его друга, итальянского математика Луки Пачоли. В конце XV в. Леонардо да Винчи ввел термин "золотое сечение", означающий такое деление отрезка на две части, когда большая его часть является средним геометрическим всего отрезка и меньшей его части. Часто под золотым сечением понимают иррациональное число 1,6180339887498948482045868343656381177203091798.., равное отношению большей и меньшей частей отрезка. Само число было известно намного раньше. Еще Евклид использовал золотое сечение при построении правильных 5-угольников и 10-угольников, а также двух правильных многогранников Платона — додекаэдра и икосаэдра. Золотое сечение широко применялось в геометрии и искусстве, в первую очередь в архитектуре. Известная последовательность чисел Фибоначчи (сумма соседних чисел равна последующему числу): 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,..— асимптотически ведет себя как геометрическая прогрессия со знаменателем, равным золотому сечению. Разложение золотого сечения в так называемую непрерывную (или цепную) дробь дает бесконечную последовательность единиц, что свидетельствует о важной роли этого числа среди других чисел. С додекаэдром и икосаэдром тесно связан открытый Иоганном Кеплером правильный ромбический многогранник — триаконтаэдр. 30 граней многогранника — это ромбы, отношения диагоналей которых равны золотому сечению. Среди граней некоторых полуправильных многогранников Архимеда встречаются 5-угольники и 10-угольники, следовательно, при их построении необходимо использовать золотое сечение. Появление золотого сечения при описании конфигураций многогранников и вообще дискретных фигур конечного объема объясняется наличием осей симметрии пятого порядка: при повороте фигуры вокруг некоторой оси на угол, равный одной пятой части полного оборота, фигура совмещается сама с собой. Интересно, что у бесконечно протяженных в трехмерном пространстве правильных дискретных систем, кристаллов оси симметрии 5-го порядка отсутствуют, хотя есть оси симметрии порядков 2, 3, 4 и 6-го. Это означает, что при описании симметрии кристаллов можно обойтись без золотого сечения. Наоборот, открытые в конце XX в. молекулярные кластеры и квазикристаллы могут иметь оси симметрии 5-го порядка, а, следовательно, их структура может быть связана с золотым сечением. Давно замечено, что строение некоторых растений и животных характеризуется присутствием осей симметрии 5-го порядка: в отличие от неживых кристаллов живой мир допускает геометрию золотого сечения. Золотое сечение в науке часто появляется неожиданно. Например, скорость сходимости хорошо известного итерационного метода секущих (или хорд), применяемого для поиска корней уравнений, определяется как отношение числа правильных десятичных знаков искомого корня, полученных после очередной итерации, к числу правильных десятичных знаков, имевшихся до итерации. Асимптотически это отношение стремится к золотому сечению.