МУАВРА ФОРМУЛА, формула, содержащая правило для возведения в степень n комплексного числа, представленного в тригонометрич. форме
z = p (cos + i sin
); согласно M.
ф., модуль
комплексного числа возводится в эту степень, а аргумент
умножается на
показатель степени zn = [р (cos
+ i sin
)]n =
n (cos
n
+ i sin
n
). M.
ф. была найдена А. Муавром в 1707; современная её запись предложена Л. Эйлером
в 1748.
M. ф. может быть легко
использована для выражения cos n и sin n
через степени cos
и sin
; положив в М. ф.
= 1 и
приравнивая отдельно действительные и мнимые части, получим
cos n= cosn
- С2n
cosn-2
sin2
+ C4n cosn-4
sin4
- .. .,
sin n
= C1n cosn-l
sin
- C3n
cosn-3
sin3
+ . . . ,
где С
mn = п!/т!(п - т)! - биномиальные коэффициенты (см. Ньютона
бином). Обращение M. ф. приводит к формуле для извлечения корня из
комплексного числа.