БСЭ. Якоби многочлены - Якобиан
Начало Вверх

ЯКОБИ МНОГОЧЛЕНЫ, спец. система многочленов последовательно возрастающих степеней. Для и = 0,1,2... Я. м. Рп (а, 6) (х) могут быть определены формулой:
30-34-1.jpg

Я. м. ортогональны на отрезке [ -1,1] относительно веса (1 - я')° (1 + л)е (см. Ортогональные многочлены). Введены К. Якоби (опубл. в 1859). Частными случаями Я. м. являются многочлены Лежандра (при а = (3 = 0), многочлены Чебышева первого рода (при а = |3 = = -½) и второго рода (при а = |3 = = ½), ультрасферич. многочлены (при а = |3). В свою очередь Я. м. являются частным случаем гипергеометрической функции. Дифференциальное уравнение для у = Рn(а, b)(х):

(1 + х2)у" + [b - а - (а + b + 2) x] y' + + n (а + b + n + 1)y = 0.

ЯКOБИ СИМВОЛ, обозначение
30-34-2.jpg

являющееся обобщением Лежандра символа в случае составного модуля Р. Введён К. Якоби (1837). См. Квадратичный вычет.  

ЯКOБИ ТЕЛЕГРАФНЫЙ АППАРАТ, 1) телеграфный аппарат синхронного действия с непосредственной (без расшифровки) индикацией в приёмнике передаваемых букв и цифр. Изобретён Б. С. Якоби в 1845. 2) Первый буквопечатающий телеграфный аппарат; изобретён Б. С. Якоби в 1850. Впервые применённый принцип согласованной (синхронной) работы передатчика и приёмника лёг в основу действия всех последующих телегр. аппаратов.

ЯКОБИАН, функциональный определитель |aik|1n с элементами aik = дyi/дхk, где yi = fi (x1, ...,xn), 1 =<i= < п,- функции, имеющие непрерывные частные производные в нек-рой области Д; обозначение:
30-34-3.jpg

Введён К.Якобы (1833, 1841). Если, напр., п = 2, то система функций y1 = f1(x1, x2), y2 = f2 (x1, х2) (1), задаёт отображение области Д, лежащей на плоскости x1, х2, на часть плоскости y1, y2. Роль Я. для этого отображения во многом аналогична роли производной для функции одной переменной. Напр., абсолютное значение Я. в нек-рой точке М равно коэфф. искажения площадей в этой точке (т. е. пределу отношения площади образа окрестности точки М к площади самой окрестности, когда размеры окрестности стремятся к нулю). Я. в точке М положителен, если отображение (1) не меняет ориентации в окрестности точки М, н отрицателен в противоположном случае. Если Я. не обращается в нуль в области & и ф (y1, у2) - функция, заданная в области &1 (образе 7), то
30-34-4.jpg

(формула замены переменных в двойном интеграле). Аналогичная формула имеет место для кратных интегралов. Если Я. отображения (1) не обращается в нуль в области Д, то существует обратное отображение

x1 = Ф1 (y1, y2), x2 = Ф2(y1, y2), причём
30-34-5.jpg

(аналог формулы дифференцирования обратной функции). Это утверждение находит многочисленные применения в теории неявных функций. Для возможности явного выражения в окрестности точки М (x1(O), ..., xn(0), y1(0), ..., ym(0)) функций y1, ..., ут, неявно заданных уравнениями

Fk(x1, ...,хn, y1, . . . , ут) = 0, (2) 1 <= k<= m, достаточно, чтобы координаты точки М удовлетворяли уравнениям (2), функции Fk имели непрерывные частные производные и Я.
30-34-6.jpg

был отличен от нуля в точке М.

Лит.: Кудрявцев Л. Д., Математическпй анализ, 2 изд., т. 2, М., 1973; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971.

Яндекс.Метрика

© (составление) libelli.ru 2003-2017