ШAPOBЫE ФУНКЦИИ, однородные функции и_n степени n от прямоугольных координат x, у, z, удовлетворяющие уравнению Лапласа:

Существуют 2n+1 линейно-независимых однородных многочленов от х, у, z целой положительной степени п. являющихся Ш. ф.; их линейная комбинация представляет общий вид такого многочлена степени п. Так, напр.,

где а, b, с, d, e - произвольные постоянные, представляют общий вид однородных многочленов степеней 0, 1, 2, являющихся Ш. ф. Если вместо прямоугольных координат х, у, z ввести сферические координаты r, Q, y, то Ш. ф. выражаются через сферические функции Y_n(Q, y) по формуле

u_n = rⁿ Y_n (Q, y).

Каждой Ш. ф. u_n степени n соответствует Ш. ф. r^-2n-1 u_n степени -n-1.

Ш. ф. применяются при нахождении общего решения уравнения Лапласа и при решении задач математич. физики для областей, ограниченных сферич. поверхностями.

Лит. см. при статье Сферические функции.