БСЭ. Чебышев - Чебышева формула
Начало Вверх

ЧЕБЫШЕВ (произносится Чебышёв) Пафнутий Львович [14(26).5.1821, с. Окатово Калужской губ., ныне Калужской обл., - 26.11(8.12). 1894, Петербург], русский математик и механик; адъюнкт (1853), с 1856 экстраординарный, с 1859 - ординарный акад. Петерб. АН. Первонач. образование получил дома; 16 лет поступил в Моск. ун-т и окончил его в 1841. В 1846 при Моск. ун-те защитил магистерскую диссертацию. В 1847 переехал в Петербург, где в том же году защитил диссертацию при ун-те и начал чтение лекций по алгебре и теории чисел. В 1849 защитил докторскую диссертацию, удостоенную в том же году Петерб. АН Демидовской премии; в 1850 стал проф. Петерб. ун-та. Длит. время принимал участие в работе арт. отделения военно-учёного к-та и учёного к-та Мин-ва нар. просвещения. В 1882 прекратил чтение лекций в Петерб. ун-те и, выйдя в отставку, целиком занялся науч. работой. Ч. - основатель петерб. математич. школы, наиболее крупными представителями к-рой были A. H. Коркин, E. И. Золотарёв, А. А. Марков, Г. Ф. Вороной, A. M. Ляпунов, В. А. Стеклов, Д. А. Граве.

Характерные черты творчества Ч.- разнообразие областей исследования, умение получить посредством элементарных средств большие науч. результаты и неизменный интерес к вопросам практики. Исследования Ч. относятся к теории приближения функций многочленами, интегральному исчислению, теории чисел, теории вероятностей, теории механизмов и MH. др. разделам математики и смежных областей знания. В каждом из упомянутых разделов Ч. сумел создать ряд основных, общих методов и выдвинул идеи, наметившие ведущие направления в их дальнейшем развитии. Стремление увязать проблемы математики с принципиальными вопросами естествознания и техники в значит, мере определяет его своеобразие как учёного. Mн. открытия Ч. навеяны прикладными интересами. Это неоднократно подчёркивал и сам Ч., говоря, что в создании новых методов исследования "...науки находят себе верного руководителя в практике " и что "... сами науки развиваются под влиянием ее: она открывает им новые предметы для исследования..." (Полн. собр. соч., т. 5, 1951, с. 150).

В теории вероятностей Ч. принадлежит заслуга систематич. введения в рассмотрение случайных величин и создание нового приёма доказательства предельных теорем теории вероятностей - т. н. метода моментов (1845, 1846, 1867, 1887). Им был доказан больших чисел закон в весьма общей форме; при этом его доказательство поражает своей простотой и элементарностью. Исследование условий сходимости функций распределения сумм независимых случайных величин к нормальному закону Ч. не довёл до полного завершения. Однако посредством нек-рого дополнения методов Ч. это удалось сделать А. А. Маркову. Без строгих выводов Ч. наметил также возможность уточнений этой предельной теоремы в форме асимптотических разложений функции распределения суммы независимых слагаемых по степеням п-1/2, где n - число слагаемых. Работы Ч. по теории вероятностей составляют важный этап в её развитии; кроме того, они явились базой, на к-рой выросла рус. школа теории вероятностей, вначале состоявшая из непосредственных учеников Ч.

В теории чисел Ч., впервые после Евклида, существенно продвинул (1849,1852) изучение вопроса о распределении простых чисел. Он доказал, что функция pi(х) - число простых чисел, не превосходящих x, удовлетворяет неравенствам 2902-3.jpg

где а < 1 и b > 1 - вычисленные Ч. постоянные (а = 0,921, b = 1,06). Исследование расположения простых чисел в ряду всех целых чисел привело Ч. также к исследованию квадратичных форм с положит. определителями. Работа Ч., посвящённая приближению чисел рациональными числами (1866), сыграла важную роль в развитии теории диофантовых приближений. Он явился создателем новых направлений исследований в теории чисел и новых методов исследований.

Наиболее многочисленны работы Ч. в области математич. анализа. Ему была, в частности, посвящена диссертация на право чтения лекций, в к-рой Ч. исследовал интегрируемость нек-рых иррациональных выражений в алгебраич. функциях и логарифмах. Интегрированию алгебраич. функций Ч. посвятил также ряд др. работ. В одной из них (1853) была получена известная теорема об условиях интегрируемости в элементарных функциях дифференциального бинома. Важное направление исследований по математич. анализу составляют его работы по построению обшей теории ортогональных многочленов. Поводом к её созданию явилось параболическое интерполирование способом наименьших квадратов. К этому же кругу идей примыкают исследования Ч. по проблеме моментов и по квадратурньм формулам. Имея в виду сокращение вычислений, Ч. предложил (1873) рассматривать квадратурные формулы с равными коэффициентами (см. Приближённое интегрирование). Исследования по квадратурным формулам и по теории интерполирования были тесно связаны с задачами, которые ставились перед Ч. в артиллерийском отделении военно-учёного комитета.

Ч.- основоположник т. н. конструктивной теории функций, основной составляющий элемент к-рой - теория наилучшего приближения функций (см. Приближение и интерполирование функций, Чебышева многочлены). Простейшая постановка задачи Ч. такова (1854): дана непрерывная функция f(x); среди всех многочленов степени n найти такой P(x), чтобы в данном промежутке [а, b] выражение max | f (x) - P (x)| а<=x <=b было возможно меньшим.

Помимо указанного равномерного наилучшего приближения, Ч. рассматривал также квадратическое приближение, а помимо приближений алгебраич. многочленами,- приближение посредством тригонометрич. полиномов и с помощью рациональных функций.

Теория машин и механизмов была одной из тех дисциплин, к-рыми Ч. систематически интересовался всю жизнь. Особенно многочисленны его работы, посвящённые синтезу шарнирных механизмов, в частности параллелограмму Уатта (1861, 1869, 1871, 1879 и др.). Большое внимание он уделял конструированию и изготовлению конкретных механизмов. Интересны, в частности, его стопоходящая машина, имитирующая движение животного при ходьбе, а также автоматич. арифмометр. Изучение параллелограмма Уатта и стремление усовершенствовать его натолкнуло Ч. на постановку задачи о наилучшем приближении функций (см. выше). К прикладным работам Ч. относится также оригинальное исследование (1856), где он поставил задачу найти такую картографич. проекцию данной страны, сохраняющую подобие в малых частях, чтобы наибольшее различие масштабов в разных точках карты было наименьшим. Ч. высказал без доказательства мнение, что для этого отображение должно сохранять на границе постоянство масштаба, что впоследствии и было доказано Д. А. Граве.

Ч. оставил яркий след в развитии математики и собственными исследованиями, и постановкой соответствующих вопросов перед молодыми учёными. Так, по его совету A. M. Ляпунов начал цикл исследований по теории фигур равновесия вращающейся жидкости, частицы которой притягиваются по закону всемирного тяготения.

Труды Ч. ещё при жизни нашли широкое признание не только в России, но и за границей: он был избран чл. Берлинской АН (1871), Болонской АН (1873), Парижской АН (1874; чл.-корр. I860), Лондонского королев. об-ва (1877), Шведской АН (1893) и почётным чл. многих др. русских и иностр. научных об-в, академий и ун-тов.

В честь Ч. АН СССР учредила в 1944 премию за лучшие исследования по математике. Портрет стр. 41.

Соч.: Сочинения, т. 1 - 2, СПБ, 1899- 1907; Полн. собр. соч., т. 1-5, М.-Л., 1944- 1951 (лит.); Избр. труды, M., 1955.

Лит.: Ляпун OB A. M., Пафнутий Львович Чебышев, в кн.: Чебышев П. Л., Избр. математические труды, М. -Л., 1946; Стеклов В. А., Теория и практика в исследованиях Чебышева. Речь..., П., 1921; Крылов A. H., Пафнутий Львович Чебышев. Биографический очерк. М. -Л., 1944; Научное наследие П. Л. Чебышева. в. 1 - 2, М.-Л., 1945; Делоне Б. H., Петербургская школа теории чисел, М. -Л., 1947 (лит.).

Б. В. Гнеденко.

ЧЕБЫШЕВА МНОГОЧЛЕНЫ, 1) Ч. м. 1-го рода - спец. система многочленов последовательно возрастающих степеней. Для n = 0, 1, 2, ... определяются формулой:
2902-4.jpg

В частности, T0 = 1; T1 = х; Т2 = 2x2 - 1; T3= 4x3 - Зх; T4 = 8x4 - 8x2 + 1. Ч. м. Тп(х) ортогональны (см. Ортогональные многочлены) на отрезке [- 1: +1] относительно веса (1 - x2)½. Дифференциальное ур-ние:

2) Ч. м. 2-го рода Un(x) - ортогональная на отрезке [-1; +1] относительно веса (1 - x2)½ система многочленов, связанная с Ч. м. 1-го рода, напр., рекуррентным соотношением:

(1 - x2) Un-1 (х) = хТn(х) - Tn+1 (х).

Лит.: Чебышев П. Л., Поли. собр. соч., т. 2 - 3, М. -Л., 1947 - 48; Сеге Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ., M., 1962.

ЧЕБЫШЕВА НЕРАВЕНСТВО, 1) одно из основных неравенств для монотонных последовательностей или функций. В случае конечных последовательностей

a1<=a2<=...<=an и

b1<=b2<=...<=bnоно имеет вид:
2903-3.jpg

а в интегральной форме - вид:
2903-4.jpg

где f(x) >= 0, g(x) >= О и обе функции либо убывают, либо возрастают. Ч. н. установлено П. Л. Чебышевым (1882). 2) Неравенство, дающее оценку вероятности того, что отклонение случайной величины от её математич. ожидания превзойдёт нек-рую заданную границу. Пусть e - какая-либо случайная величина, Ee = а - её математич. ожидание, а De= g2 - её дисперсия. Тогда Ч. н. утверждает, что вероятность неравенстване | e-a|>=kg не превосходит величины 1/k2. Если e - сумма независимых случайных величин, то при нек-рых дополнит, ограничениях оценка l/k2 может быть заменена оценкой 2e-k2/4, убывающей с ростом k значительно быстрее.

Своё название Ч. н. получило по имени П. Л. Чебышева, который с его помощью установил (1867) весьма широкие условия приложимости закона больших чисел к суммам независимых случайных величин. См. Больших чисел закон, Предельные теоремы теории вероятностей.

ЧЕБЫШЕВА ПАРАЛЛЕЛОГРАММ, шарнирный механизм, предложенный П. Л. Чебышевым в 1868 для воспроизведения движения нек-рой точки механизма по прямой линии. Ч. п. представляет собой плоский шарнирный четырёхзвенник ABCD (рис.), наз. также прямолинейно-направляющим механизмом, в к-ром длины звеньев удовлетворяют соотношению 3d - а = 2b. Длина приближённо-прямолинейного участка траектории точки M становится больше с увеличением AB, но одновременно возрастает и отклонение от прямолинейности. Ч. п., показанный на рис. сплошными линиями, в ср. положении напоминает греч. букву лямбда  и наз. поэтому лямбдообразным. Чебышев указал также др. модификацию этого механизма АB1C1D1, показанную штриховой линией. В этой модификации, наз. перекрёстной, траектория точки M совпадает с траекторией той же точки в лямбдообразном механизме, а длины звеньев связаны соотношениями: AB1 = C1D1= 2b, B1C1 = 2а, B1M = a, АD1 =2d. Известен также Ч. п., в к-ром угол между линиями CB и CM отличается от 180°. Ч. п. применяется в приборах для получения прямолинейного движения точки без направляющих.

Чебышева параллелограмм.

Лит.: Чебышев П. Л., Об одном механизме, Полн. собр. соч., т. 4, М. -Л., 1948.

Н. И. Левитский.

ЧЕБЫШЕВА ФОРМУЛА, формула для приближённого вычисления определённого интеграла:
2903-5.jpgточная для многочленов степени не выше и - 1, где n - число узлов интерполяции. Значения xi в Ч. ф. для некоторых и вычислены. Например, для n = 9: x1= - х9 = 0,911589; x2 = -х8 = 0,601019; x3 = - x7 = 0,528762; x4 =-x6= 0,167906; x5 = 0. При n=8 и n > 9 абсциссы xi имеют комплексные значения, поэтому Ч. ф. применима только для n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,9. Ч. ф. установлена П. Л. Чебышевым (1873).

Яндекс.Метрика

© (составление) libelli.ru 2003-2018