ФАКТОР ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ, в фотометрии величина, определяющая геометрию пучка излучения. Ф. г. G зависит только от размеров и взаимного расположения диафрагм (см. Диафрагма в оптике), совместно выделяющих в пространстве из всех возможных прямых такое множество направлений, к-рое определяет луч или, при конечных размерах области, занятой излучением,- пучок этого излучения. Ф. г. одинаков для всех поверхностей, пересекаемых прямыми, входящими в данное множество (инвариантен относительно них), и принимается за меру этого множества (см. Мера множества). Для сопряжённых нач. и конечной диафрагм А_и и А_п оптич. системы, например,

где d²G - второй дифференциал от Ф. г., dA_И и dA_П - площади сопряжённых участков диафрагм или источника и приёмника; Ои и Оп - углы между направлением излучения и перпендикулярами к излучающей и освещаемой поверхностям;  заполненные излучением телесные углы со стороны А_и и А_п. Инвариантность Ф. г. сохраняется и для широких световых пучков. Ф. г. используют для построения систем фотометрических величин: так, яркость вдоль луча L = d² Ф/d²G, где Ф - или световой поток, или поток излучения. Понятие о мере множества лучей было впервые введено сов. учёным А. А. Гершуном в 30-х гг. 20 в.

Лит.: Гершун А. А., Мера множества лучей, "Труды Государственного оптического ин-та", 1941, т. 14, в. 112 - 20; Теrriеn J., Desvignes F., La photometric, P., 1972.

А. А. Волькенштейн.

ФАКТОРГРУППА (матем.), группа, элементами к-рой являются нек-рые совокупности элементов другой группы G, а именно: классы смежности G по нормальному делителю Н.

ФАКТОРИАЛ (англ. factorial, от factor-сомножитель) (матем.), произведение натуральных чисел от единицы до к.-л. данного натурального числа п, то есть l*2*...*n; обозначается n!. При больших п приближённое выражение Ф. даётся Стирлинга формулой. Ф. равен числу перестановок из п элементов.

ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ, раздел статистического анализа многомерного, объединяющий методы оценки размерности множества наблюдаемых переменных посредством исследования структуры ковариационных или корреляционных матриц. Основное предположение Ф. а. заключается в том, что корреляционные связи между большим числом наблюдаемых переменных определяются существованием меньшего числа гипотетич. ненаблюдаемых переменных или факторов. В терминах случайных величин - результатов наблюдений X₁,..., Х_п общей моделью Ф. а. служит следующая линейная модель:

где случайные величины f_jсуть общие факторы, случайные величины Ui суть факторы, специфические для величин Xi и не коррелированные с f_j, a e_i суть случайные ошибки. Предполагается, что k < п задано, случайные величины e_i независимы между собой и с величинами f_jи U_i и имеют

Постоянные коэффициенты а_ij наз. факторными нагрузками (нагрузка i-й переменной

на j-й фактор). Значения а_ij, b_i и c_i² считаются неизвестными параметрами, подлежащими оценке. В указанной форме модель Ф. а. отличается нек-рой неопределённостью, т. к. п переменных выражаются здесь через п + k других переменных. Однако уравнения (*) заключают в себе гипотезу о ковариационной матрице, к-рую можно проверить. Напр., если факторы f_j некоррелированы и с_ij - элементы матрицы ковариаций между величинами Xi, то из уравнений (*) следует выражение для с_ij через факторные нагрузки и дисперсии ошибок:

Т. о., общая модель Ф. а. равносильна гипотезе о ковариационной матрице, а именно о том, что ковариационная матрица представляется в виде суммы матрицы А = {а_ij} и диагональной матрицы А с

Процедура оценивания в Ф. а. состоит из двух этапов: оценки факторной структуры - числа факторов, необходимого для объяснения корреляционной связи между величинами X_i, и факторной нагрузки, а затем оценки самих факторов по результатам наблюдения. Принципиальные трудности при интерпретации набора факторов состоят в том, что при k > 1 ни факторные нагрузки, ни сами факторы не определяются однозначно, т. к. в уравнении (*) факторы f_jмогут быть заменены любым ортогональным преобразованием. Это свойство модели используется в целях преобразования (вращения) факторов, к-рое выбирается так, чтобы наблюдаемые величины имели бы максимально возможные нагрузки на один фактор и минимальные нагрузки на остальные факторы. Существуют различные практические способы оценки факторных нагрузок, имеющие смысл в предположении, что Х₁, ..., Х_п подчиняются многомерному нормальному распределению с ковариационной матрицей С = {c_ij}. Выделяется максимального правдоподобия метод, к-рый приводит к единственным оценкам для с_ij, но для оценок а_ij даёт уравнения, к-рым удовлетворяет бесчисленное множество решений, одинаково хороших по статистическим свойствам.

Ф. а. возник и первоначально разрабатывался в задачах психологии (1904). Область его приложения значительно шире - Ф. а. находит применение при решении различных практич. задач в медицине, экономике, химии и т. д. Однако многие результаты и методы Ф. а. пока ещё не обоснованы, хотя практики ими широко пользуются. Математическое строгое описание совр. Ф. а.- задача весьма трудная и до сих пор в полной мере не решённая.

Лит.: Лоули Д., Максвелл А., Факторный анализ как статистический метод, пер. с англ., М., 1967; Xарман Г., Современный факторный анализ, пер. с англ., М., 1972.

А. В. Прохоров.