БСЭ. Фазовой плоскости метод
Начало Вверх

ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ МЕТОД, графоаналитический метод исследования динамических систем, описываемых ур-ниями вида:

где х и у - переменные состояния системы, Р (х, у) и Q (х, у)- функции, удовлетворяющие условиям теорем существования и единственности решений, f - время (независимая переменная). Поведение такой системы можно представить геометрически на плоскости в прямоугольных декартовых координатах. При таком представлении каждому состоянию динамич. системы однозначно соответствует точка на плоскости с координатами х, у и, наоборот, каждой точке плоскости соответствует одно, и только одно состояние исследуемой динамич. системы. Плоскость О х у наз. фазовой плоскостью. Изменение состояния системы отображается на фазовой плоскости движением точки, к-рую называют фазовой, изображающей или представл я-ющей точкой. Траектория, по к-рой движется изображающая точка, наз. фазовой траекторией; скорость и направление её движения определяются вектором фазовой скорости {Р, Q}. Существенно, что через каждую точку фазовой плоскости проходит только одна фазовая траектория. Совокупность фазовых траекторий наз. фазовым портретом системы и отображает совокупность всех возможных сочетаний системы и типы возможных движений в ней.

На фазовой плоскости обычно выделяют следующие три типа фазовых траекторий: особые точки, или положения равновесия, определяемые в результате решения системы ур-ний

Р(х, y) = 0, Q(x, y) = 0; изолированные замкнутые траектории, отвечающие периодич. движениям в системе; сепаратрисы, разделяющие фазовую плоскость на области, заполненные траекториями разных типов. Ф. п. м. состоит в построении фазового портрета системы и последующего анализа этого портрета. Метод позволяет определить число, типы и характер особых точек, изолированных замкнутых траекторий и сепаратрис и даёт возможность по виду фазовых траекторий

наглядно представить всю совокупность движений, возникающих в динамич. системе при всевозможных нач. условиях. Особые точки классифицируют по характеру фазовых траекторий в их окрестности; осн. типы особых точек изображены на рис. 1. Изолированные замкнутые траектории (предельные циклы) классифицируют по характеру их устойчивости (рис. 2).

В сочетании с аналитич. методами Ф. п. м. позволяет получать количеств. оценки решений дифференциальных ур-ний, описывающих динамич. систему, напр. оценивать длительность перехода изображающей точки из одного состояния в другое (т. е. продолжительность переходного процесса), определять период и "амплитуду" периодич. движения и т. п. Теоретич. основы Ф. п. м. разработаны А. Пуанкаре. Ф. п. м.- один из методов качеств. теории динамич. систем; он широко используется в теории колебаний, теории автоматич. управления, в электротехнике и механике.

Лит.: Пуанкаре А. О., О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, пер. с франц., М. - Л., 1947; Немыцкий В. В., Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М. - Л., 1949; Андронов А. А., Витт А. А., Xайкин С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М., 1959; Качественная теория динамических систем второго порядка, М., 1966; Емельянов С. В., Системы автоматического управления с переменной структурой, М., 1967; Марчуков Б. А., Проектирование систем управления методами фазовой плоскости, М., 1976.

С. К. Коровин, Н. Н. Миловидов.

Яндекс.Метрика

© (составление) libelli.ru 2003-2017