УМНОЖЕНИЕ, операция образования по двум данным объектам а и b, называемым сомножителями, третьего объекта с, называемого произведением. У. обозначается знаком X (ввёл англ. математик У. Оутред в 1631) или (ввёл нем. учёный Г. Лейбниц в 1698); в буквенном обозначении эти знаки опускаются и вместо а X b или а ^. b пишут ab. У. имеет различный конкретный смысл и соответственно различные конкретные определения в зависимости от конкретного вида сомножителей и произведения. У. целых положительных чисел есть, по определению, действие, относящее числам а и b третье число с, равное сумме b слагаемых, каждое из к-рых равно а, так что ab = a + а + ... ...+ а (b слагаемых). Число а наз. множимым, b - множителем. У. рациональных

чисел дает число, абсолютная величина к-рого равна произведению абсолютных величин сомножителей, имеющее знак плюс (+), если оба сомножителя одинакового знака, и знак минус (-), если они разного знака. У. иррациональных чисел определяется при помощи У. их рациональных приближений. У. комплексных чисел, заданных в форме a = а + bi и b = с + di, определяется равенством ab = ас - bd + (ad + bc)i. При У. комплексных чисел, записанных в тригонометрич. форме:

У. чисел однозначно и обладает следующими свойствами: 1) ab = bа (коммутативность, переместительный закон); 2) a(bc)= (ab)c (ассоциативность, сочетательный закон); 3) а(b + с) = аb + ас (дистрибутивность, распределительный закон). При этом всегда а •0 = 0; а •1 = а. Указанные свойства лежат в основе обычной техники У. многозначных чисел.

Дальнейшее обобщение понятия У. связано с возможностью рассматривать числа как операторы в совокупности векторов на плоскости. Напр., комплексному числу r(cosф + isin ф) соответствует оператор растяжения всех векторов в r раз и поворота их на угол ф вокруг начала координат. При этом У. комплексных чисел отвечает У. соответствующих операторов, т. е. результатом У. будет оператор, получающийся последовательным применением двух данных операторов. Такое определение У. операторов переносится и на другие виды операторов, к-рые уже нельзя выразить при помощи чисел (напр., линейные преобразования). Это приводит к операциям У. матриц, кватернионов, рассматриваемых как операторы поворота и растяжения в трёхмерном пространстве, ядер интегральных операторов и т. д. При таких обобщениях могут оказаться невыполненными нек-рые из перечисленных выше свойств У., чаще всего - свойство коммутативности (некоммутативная алгебра). Изучение общих свойств операции У. входит в задачи общей алгебры, в частности теории групп и колец.