БСЭ. Субгармонические функции
Начало Вверх

СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ, функции, удовлетворяющие в нек-рой области неравенству.

В случае, когда Af = 0, функция f является гармонической функцией. Понятие С. ф. можно рассматривать как обобщение понятия гармонической функции. При n = 1 условие А>=O принимает вид

25A-15.JPG

т, е. С. ф. одного переменного есть выпуклая функция.

25A-14.JPG

Поэтому понятие С. ф. можно рассматривать также как распространение понятия выпуклой функции на случай любого числа переменных. Так, напр., подобно тому как всякая дуга графика выпуклой функции лежит ниже хорды, соединяющей её концы, всякая ограниченная нек-рым контуром часть поверхности z = f(x,y), где f(x, у) - С. ф. двух переменных, лежит ниже проходящей через тот же контур поверхности z = F(x, у), где F(x, у) - гармоническая функция (отсюда назв. "субгармоническая", т. е. "подгармоническая").

Приведённое выше определение предполагает, что функция f имеет частные производные второго порядка. От этого ограничения освобождаются, непосредственно выражая отмеченное только что свойство графика С. ф. располагаться ниже графика гармонической функции. Супергармонические функции (от лат. super - над) - функции, удовлетворяющие неравенству Af<=0. Если f - супергармонич. функция, To f есть С. ф., и наоборот. Классич. примеры С. ф. и супергармонич. функций: для п = 2 логарифмич. потенциал
25A-16.JPG

и для n = 3 объёмный потенциал
25A-17.JPG

(здесь р - плотность масс или зарядов). Функции эти внутри областей G и Т удовлетворяют соответственно уравнениям Пуассона AV = -2 лр и AU = = -4 лр и, следовательно, являются супергармоническими при р>= 0 и С. ф. при р<0.С. ф. применяются, напр., при решении задач математич. физики (в частности, в теории потенциала), теории случайных процессов.

Лит.: Привалов И.И., Субгармонические функции, М. -Л., 1937.

Яндекс.Метрика

© (составление) libelli.ru 2003-2017