СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ векторов а и б, скаляр, равный произведению длин этих векторов и косинуса угла между ними; обозначается (а, b) (или аb). Напр., работа постоянной силы F вдоль прямолинейного пути S равна (F, S). Свойства С. п.: 1) (а, b) = (b, а), 2) (аа, b) = а(а, b) (а - скаляр),
(a, b) = 0, то либо а = 0, либо b = 0, либо a l b. Если а = (а₁, а₂, а₃) и b = (b₁,b₂,b₃), то (а, b) = a₁b₁ + a₂b₂ + а₃b₃ (в прямоугольных декартовых координатах). Понятие "С. п." обобщают на n-мерные векторные пространства, где равенство

принимают за определение С. п. и с помощью так определённого С. п. вводят геометрич. понятия длины вектора, угла между векторами и т. д. Бесконечномерное линейное пространство, в к-ром определено С. п. и выполнена аксиома полноты относительно нормы (см. Полное пространство), называют гильбертовым пространством. Гильбертовы пространства играют важную роль в функциональном анализе и квантовой механике. Для векторных пространств над полем комплексных чисел условие 1) заменяют условием (а, b) = (b, а) и С. п. определяют как

Векторы a и b можно рассматривать как кватернионы a₁i + a₂j + а₃ k и b₁i + b₂j + b₃k. Тогда их С. п. равно взятой с обратным знаком скалярной части произведения этих кватернионов (а векторное произведение - векторной части).