БСЭ. Самосопряженная матрица - Самосопряжен...
Начало Вверх

САМОСОПРЯЖЁННАЯ МАТРИЦА (матем.), матрица, совпадающая со своей сопряжённой, т. е. такая, что аik= аki, где а - число, комплексно сопряжённое с а. Если элементы С. м. действительны, то она симметрическая (см. Симметрическая матрица). С. м. имеет действительные собственные значения Л1, Л2, ..., Лn и соответствует линейному преобразованию в комплексном га-мерном пространстве, сводящемуся к растяжениям в [Лi| раз по п взаимно перпендикулярным направлениям и зеркальным отражениям в плоскостях, ортогональных тем из этих направлений, для к-рых Лi<0. Билинейную форму вида
2239-4.jpg

коэффициенты к-рой образуют С. м., называют эрмитовой формой. Всякая матрица может быть записана в виде А1 + iА2, где A1 и А2 суть С. м., а также в виде AU, где А является С. м., a U - унитарная матрица. Если А а В суть С. м., то АВ является С. м. тогда и только тогда, когда А и В перестановочны.

САМОСОПРЯЖЁННОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ, уравнение, имеющее те же решения, что и сопряжённое с ним (см. Сопряжённые дифференциальные уравнения). Обыкновенное С. д. у. чётного порядка имеет вид
2239-5.jpg

а нечётного порядка - 1 имеет вид
2239-6.jpg

где Ai - функции от .т. Понятие С. д. у. играет большую роль в теории дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными. При нек-рых краевых условиях левая часть С. д. у. определяет самосопряжённый дифференциальный оператор. Наиболее важны в приложениях С. д. у. второго порядка.

САМОСОПРЯЖЁННЫЙ ОПЕРАТОР оператор, совпадающий со своим сопряжённым (см. Сопряжённые операторы); иначе называется эрмитовым. Теория С. о. возникла как обобщение теории интегральных уравнений с симметрич. ядром, самосопряжённых дифференциальных уравнений, симметрич. матриц и т. д. Примерами С. о. могут служить оператор умножения на независимое переменное в пространстве функций, заданных на всей числовой прямой и имеющих интегрируемый квадрат, оператор дифференцирования
2239-7.jpg

в том же пространстве и т. д.
2239-8.jpg

самосопряжён. Спектр С. о. (см. Спектр оператора) лежит на действительной оси. В квантовой механике физич. величинам соответствуют С. о., спектр к-рых даёт возможные значения этих величин. С. о. может быть в известном смысле представлен в виде интеграла, являющегося пределом линейных комбинаций попарно ортогональных проекционных операторов с действительными коэффициентами. См. Спектральный анализ линейных операторов, Операторов теория.

Яндекс.Метрика

© (составление) libelli.ru 2003-2017