НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ, функции, заданные соотношениями между независимыми переменными, неразрешёнными относительно последних; эти соотношения являются одним из способов задания функции. Напр., соотношение х²+у²-1=0 задаёт H. ф. y = y(х), соотношения x = cos\vasin\va, у = sin\vasin\va, z = cos\va задают H. ф.: =(х, у, z),\va=\va(x, у, Z),\va = \va(x,у,z). В простейших случаях соотношения, задающие H. ф., могут быть разрешены в классе элементарных функций, т. е. удаётся найти элементарные функции, удовлетворяющие этим соотношениям. Так, в первом из приведённых выше примеров имеем:

а во втором:

Вообще же таких элементарных функций найти не удаётся. H. ф. могут быть как однозначными, так и многозначными. Не всякое соотношение (или система соотношений) между переменными задаёт H. ф. Так, если ограничиваться лишь действительными значениями переменных, то соотношение х² + у² + 1 = О не задаёт H. ф., так как не удовлетворяется ни одной парой действительных значений x и y; соотношение же е^ху = 0 вообще не удовлетворяется ни одной парой действительных или комплексных значений x и у. Теорема существования H. ф. в её простейшей формулировке утверждает, что если функция F(x,y) обращается в нуль при паре значений x = x₀, у = y₀ [F(x₀, y₀)<>0] и дифференцируема в окрестности точки (х₀, y₀), причём F'_X(x,y)и F'_y (х,у) непрерывны в этой окрестности и F'_y(x₀, y₀)<>0, то в достаточно малой окрестности точки x₀существует одна и только одна однозначная непрерывная функция y = у(х), удовлетворяющая соотношению F(x, y) = 0 и обращающаяся в y₀ при x = x₀; при этом у'(х) = -F'_X(x, y)/F'_y(x, y).

Для приближённого вычисления значений H. ф. вблизи точки x₀, где её значение y₀ уже известно, широко применяются степенные ряды. Так, если F(x, y) - аналитическая функция [т. е. может быть разложена в окрестно сти точки (x₀, y₀) в сходящийся двойной степенной ряд] и F'_y(x₀, y₀)<>0, то H. ф., заданная соотношением F(x, у) = 0, может быть получена в виде степенного ряда

сходящегося в нек-рой окрестности точки x = x₀. Коэффициенты C_k, k = 1, 2,..., могут быть найдены либо подстановкой этого ряда в соотношение F(x, y) = О, либо последовательным дифференцированием этого соотношения по x. Напр., если H. ф. задана соотношением

y⁵+xy-1= 0, x₀ = 0, y₀ = 1, то

откуда

Co=1, C1=--1/5Co^-3, C₂= -2C1²Co^-1-1/5C1Co^-4=-1/25 И T. Д.

Если соотношение F(x, y) = 0 может быть представлено в виде у = а +x\va(y), где \va(у) - аналитическая функция, то H. ф. у = у(х), заданная этим соотношением и принимающая значение а при x =0, разлагается в ряд Лагранж а

сходящийся в нек-рой окрестности точки x = О. Напр., из соотношения у = а + xsiny (т. н. Кеплера уравнение) можно получить:

Вычисление значений H. ф. в общем случае может быть произведено по методу последовательных приближений.

Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 1, 22 изд., M., 1967; т. 3, ч. 2, 8 изд., M., 1969; Фихтенгольц Г. M., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 1, M., 1969; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 2, M., 1970.  

Обыкновенная неясыть.

НЕЯСЫТИ (Strix), род птиц отряда сов. 12 видов. Распространены в Европе, Сев. Африке, Азии и Америке. В СССР - 3 вида. Обыкновенная H. (S. aluco) - дл. тела 41-46 см, весит 0,45-0,68 кг; обитает в лесах и парках в средней полосе и на Ю. Русской равнины и Юго-Зап. Сибири, на Кавказе и в горах Cp. Азии. Уральская, или длиннохвостая, H. (S. uralensis) - дл. тела 50-58 см, весит 0,56-0,95 кг, и бородатая H. (S. nebulosa) - дл. тела ок. 65 см, весит 0,7-1,2 кг, населяют хвойные леса Русской равнины, Сибири и Д. Востока. Зимой совершают нерегулярные кочёвки. Гнездятся в дуплах, старых гнёздах сорок, ворон и др. птиц, иногда на земле. В кладке 3-4 белых яйца; насиживает самка ок. 1 месяца; птенцов кормят оба родителя. Питаются H. гл. обр. мышевидными грызунами, реже птицами, лягушками, ящерицами или насекомыми.  

НЗЕРЕКОРЕ (N'zerekore), город на Ю.-В. Гвинейской Республики. Адм. ц. округа Нзерекоре. 8,6 тыс. жит. (1964). Узел шосс. дорог, аэропорт. Центр с.-х. (масличная пальма, кофе, какао, табак) и лесопром. р-на. Деревообр. пром-сть. К В. от H.- крупные железорудные месторождения (Нимба).

НЗУЛА (Nzula) Альберт Томас [псевд. - Д ж э к с о н (Jackson) Том] (16.11.1905 - 17.1.1934, Москва), деятель рабочего и коммунистич. движения Юж. Африки. По национальности зулус. Преподавал в школе в Эватоне (Трансвааль). Активно участвовал в деятельности Афр. нац. конгресса. В 1928 вступил в Коммунистич. партию Юж. Африки (КПЮА). Переехав в Йоханнесбург, преподавал в организованной коммунистами вечерней школе для африканцев. В кон. 20 - нач. 30-х гг. был секретарём ЦК КПЮА и секретарём Афр. федерации профсоюзов. Боролся за единый фронт демократич. сил, против расизма. Неоднократно подвергался преследованиям со стороны властей. Последние два года жизни работал в Москве, был чл. Центр, совета Профинтерна как представитель прогрессивных профсоюзов ЮАС, чл. редколлегии журн. "Нигро уоркер" ("Negro Worker") - органа Междунар. профсоюзного комитета негритянских рабочих.

Лит.: Джексон Т., Страна алмазов и рабов, [M.], 1932; З у с м а н о в и ч А. З., П о т е х и н И., Джексон Т., Принудительный труд и профдвижение в негритянской Африке, M., 1933.

НИАГАРА (Niagara), река в Сев. Америке, служит границей между США и Канадой. Дл. 54 км, пл. басс. 665 тыс. км². Вытекает из оз. Эри, впадает в оз. Онтарио. В верх, течении разветвляется на два рукава, между к-рыми - о. Гранд-Айленд. В среднем течении находятся Ниагарский водопад и пороги, в обход к-рых сооружён канал Уэлленд. Cp. годовой расход воды 5,9 тыс. м³/сек, колебания расхода от 2,8 тыс. м³/сек до 7,7 тыс. м³/сек. На H. - гг. Буффало (в истоке) и Ниагара-Фоле.

НИАГАРА-ФОЛС (Niagara Falls), город на Ю.-В. Канады, в пров. Онтарио, на лев. берегу р. Ниагара, у Ниагарского водопада (напротив г. Ниагара-Фоле, США). 65,3 тыс. жит. (1971). Электромаш.-строит, и хим. пром-сть (развились на базе дешёвой электроэнергии). Крупный з-д по произ-ву автомоб. стекла. Центр туризма.

НИАГАРА-ФОЛС (Niagara Falls), город на С. США, в шт. Нью-Йорк; фактически пригород Буффало. Расположен на прав, берегу р. Ниагара, у Ниагарского водопада. Связан мостом с канад. г. Ниагара-Фоле. 86 тыс. жит. (1970). Крупная ГЭС (мощностью св. 2 Гвт). В пром-сти 15 тыс. занятых. Развиты гл. обр. энергоёмкие произ-ва: электрометаллургия, электрохимия и др. Центр туризма.

НИАГАРСКИЙ ВОДОПАД (англ. Niagara Falls, вероятно, от ирокезск. ниакаре - большой шум), водопад в Сев Америке, на р. Ниагара, соединяюще озера Эри и Онтарио (уровень вод в оз. Эри на 99 м выше, чем в Онтарио Образовался примерно 8-9 тыс.лет назад на уступе куэсты, сложенной до митовыми известняками и глинистыми сланцами. За счёт размыва сланцев водопад постоянно отступает: за время своего существования - уже более чем на 11 км (ныне отступает со скоростью 7-10 см в год, на отд. участках - до 1,5 м). Островом Козий H. разделён на 2 потока: левый - канальский (наз. также Подковой, шир. ок. 800 м, вые. 48 м), через к-рый проходит ок. 95% всего расхода воды (5730 м³1сек), вытекающей из оз. Эри; правый - американский, шир. 300 м, вые. 51 м. Запасы гидроэнергии ок. 3 Гвт, большая часть их используется ГЭС (св. 2 Гвт). В обход H. в. сооружён судоходный канал Уэлленд. Туризм.

НИАМЕЙ (Niamey), столица Республики Нигер. Осн. политич., экономия. и культурный центр страны. Адм. ц. департамента Ниамей. Расположена на берегу р. Нигер, на высоте 163 м. Климат субэкваториальный, ср. годовая темп-pa ок. 25 ⁰C. Осадков 350 мм в год. Ок. 100 тыс. жит. (1973; 8,8 тыс. в 1946, ок. 60 тыс. в 1966; 86 тыс. в 1971).

В кон. 19 в. на месте совр. H. существовала деревня, ставшая одним из опорных пунктов франц. колонизаторов. В 1926 в H. был перенесён адм. центр франц. колонии Нигер, находившийся ранее в г. Зиндер. С авг. 1960 - столица Республики Нигер.

Важный трансп. центр, пристань на р. Нигер, узел шосс. дорог; аэропорт междунар. значения. Торг, центр с.-х. р-на (вывоз скота, шкур, кож, арахиса, хлопка и др. с.-х. продукции). Текст, ф-ка. Произ-во стройматериалов, изделий из пластмассы, мебели, мелкого с.-х. инвентаря. Газовый з-д. Пищевкусовая пром-сть (скотобойня; заводы: муком., мыловар., молочный, по произ-ву пива и безалкогольных напитков). Ремёсла (выделка кож и кож. изделий, гончарные изделия, изделия из серебра, золота, дерева и др.). ТЭС. Кварталы H., с прямолинейной, прорезанной диагоналями уличной сетью, застроены 2-3-этажными жилыми и обществ, зданиями (дворец президента, гостиницы "Гранд отель дю Нижер" и "Терминюс", здание Нац. об-ва арахиса). На берегу . р. Нигер - коттеджи состоятельной части населения. На рыночной площади - обелиск в честь павших в 1-й и 2-й мировых войнах.

В H. находятся ун-т (создан в 1973), Нац. адм. школа, Нац. школа здравоохранения.

Науч. учреждения - Бюро по геологии и горному делу, Центр социальных исследований, Технич. центр тропич. лесоводства, Ин-т тропич. агрономии, Региональный центр изучения и записи устных нар. традиций и др.; библиотека при Нац. адм. школе, Нац. музей Нигера, при нём - Центр художеств, ремёсел.

Ниамей. Дворец президента.  

НИАС (Nias), остров в Индийском ок., к З. от о. Суматра. Принадлежит Индонезии. Пл. св. 4 тыс. км². Преобладают холмы и низкогорья вулканич. происхождения, вые. до 886 м. Влажные экваториальные вечнозелёные леса на латеритных почвах. Вдоль побережий - мангровые леса, на С. и В. - болота. Рисосеяние, плантации кокосовой и саговой пальм, мускатного ореха. Рыболовство. Осн. порт - Гунунгситоли.

НИАСЦЫ, н и а с ы, народ, населяющий о. Ниас, у зап. побережья о. Суматра (Индонезия). Численность ок. 450 тыс. чел. (1974, оценка). Язык относится к индонезийской группе малайско-полинезийской семьи языков. У H. сохраняются древние анимистич. верования и культы. В соседских общинах H., возглавляемых наследственными вождями, имеет место значит, социальная дифференциация, но вместе с тем сохраняются и пережитки отцовско-родовых отношений. Занимаются земледелием, рыболовством, охотой; развито свиноводство.

Лит.: Народы Юго-Восточной Азии, M., 1966 (есть лит.); Suzuki P., The Religious system and culture of Nias, Indonesia, 's-Gravenhage, [1959].  

НИАЦИН, витамин PP, то же, что никотиновая кислота.

HИБУР (Niebuhr) Бартольд Георг (27.8.1776, Копенгаген, - 2.1.1831, Бонн), немецкий историк античности. Сын датского путешественника-ориенталиста Карстена Нибура. Преподавал в 1810-13 е Берлинском ун-те, с 1823 - в Боннском ун-те. Осн. труд - "Римская история" [остался незавершённым; изложение доведено до кон. 1-й Пунической войны (241 до н. э.)]. H.- основатель критич. метода в изучении истории. Пытался проследить, как возникла римская традиция, и на основании тщательных исследований извлечь из неё ист. зерно. Он полагал, что у древних римлян существовал свой эпос, но он не был записан, а потому и не сохранился; утраченные эпич. песни ист. содержания в изменённом виде составили основу традиции о древнейшем Риме. Большую роль в построениях H. играли этнографич. данные и метод аналогии (для объяснения нек-рых явлений в Др. Риме H. изучал совр. ему пережитки родовых отношений у различных народов). H. выдвинул теорию возникновения Рима в результате слияния разноплемённых общин и теорию происхождения плебеев вследствие завоевания римскими царями латинских поселений. Он первым признал существование родового строя у древних римлян, как и у других народов, но считал, что род является искусств, организацией (группой семей). Взгляды H. оказали большое влияние на развитие европ., в частности русской, историографии (П. H. Кудрявцев, T. H. Грановский и др.).

С о ч.: Romische Geschichte, neue Ausg., Bd 1 - 3, В., 1873 - 74; Kleine historische und philologische Schriften, Bd 1 - 2, Bonn, 1828-43; Historische und philologische Vortrage, Abt. 1-4, Bd 1-8, В., 1846 - 58.

Лит.: Кудрявцев П. H., О достоверности истории, Соч., т. 1, M., 1887; Eyssenhardt F., В. G. Niebuhr, ein biographischer Versuch, Gotha, 1886; КоГnегааnn E., Niebuhr und der Aufbau der altrömischen Geschichte, "Historische Zeitschrift", 1931, Bd 145, H. 2.

С. Л. Утченко.

НИБУР (Niebuhr) Рейнхольд (21.6. 1892, Райт-Сити, Миссури, - 1.6.1971, Стокбридж, Массачусетс), американский протестантский теолог, представитель диалектической теологии. Пастор в Детройте (1915-28), с 1928 - проф. теологии в федеральной теологич. семинарии (Нью-Йорк). В условиях экономич. кризиса 1929-33 и разочарования в либерализме возглавил переход большинства амер. протестантских теологов с позиций модернизма на позиции т. н. теологии кризиса. В знаменующей этот поворот кн. "Нравственный человек и безнравственное общество" (1932) H. объявляет надежды "социального евангелия" на приведение общества в соответствие с требованиями христ. морали и изживание зла иллюзорными и наивными. В последующих работах "Природа и судьба человека" (т. 1-2, 1941-43), "Вера и история" (1949), "Ирония американской истории" (1952) H. отрекается от всего бурж.-просветит, прогрессивного наследия, защиту к-рого называет опасным донкихотством, отказывается от идей социального прогресса, совершенствования человеческой личности и т. п., утверждая, что любые попытки построения справедливого обществ, порядка наталкиваются на злую и эгоистичную ("греховную") сущность человека. Всякий альтруизм рассматривается им как лицемерие, за к-рым скрывается эгоизм личности, класса, нации, хитроумно выдающих свои эгоистич. интересы за всеобщие. История, будучи сферой столкновения иррациональной свободной воли людей и воли бога, непознаваема и неподвластна человеку, к-рый, пытаясь подчинить её себе, всегда получает результаты, обратные желаемым. В этом и состоит "ирония истории". Отсюда H. делает вывод: следует отказаться от всех попыток кардинальных социальных преобразований и ограничиться непосредств. практич. деятельностью, направленной на смягчение неразрешимых в принципе противоречий.

Лит.: Мельвиль Ю. К., Ч а н ы ш е в A. H., Ирония истории, "Вопросы философии", 1954, № 2; Harland G., The thought of R. Niebuhr, N. Y., 1960.

A. H. Чанышев.

НИВА, река в Мурманской обл. РСФСР. Дл. 36 км, пл. басс. 12 800 км². Вытекает из оз. Имандра, впадает в Кандалакшскую губу Белого м. Питание снеговое и дождевое. Сток зарегулирован в истоке (Имандрское водохранилище). Cp. расход воды в 15 км от устья 164 м³/сек. На порогах не замерзает. Сплавная. На H.- 3 ГЭС; в устье - г. Кандалакша.

"НИВА", русский еженедельный иллюстрированный журнал для семейного чтения, выходивший в Петербурге в 1870-1918 в издательстве А. Ф. Маркса. В "Н." печатались писатели разных направлений, в т. ч. П. Д. Боборыкин, И. А. Гончаров, H. С. Лесков, Д. H. Мамин-Сибиряк, Д. С. Мережковский, Л. H. Толстой, А. П. Чехов, И. А. Бунин, А. А. Блок и др. Обществ.-политич. жизнь освещалась в "благонамеренном" духе. В 1894-1916 выходили "Ежемесячные литературные приложения к журналу „Нива"". С 1891 в качестве бесплатного приложения к "Н." издавались собр. соч. многих рус. и иностр. писателей, что обеспечило журналу большие тиражи и популярность.

НИВАЛЬНЫЙ КЛИМАТ (от лат. nivalis - снежный, холодный), климат, в к-ром твёрдых осадков выпадает больше, чем успевает растаять и испариться, что приводит к образованию ледников (климат Антарктиды, Гренландии, ледниковых высокогорных районов в др. широтах) и сохранению снежников. Термин предложен нем. географом А. Пен-ком при разработке им геоморфологич. классификации климатов.

НИВАЛЬНЫЙ ПОЯС, пояс вечных снегов, самый верхний природный высотный пояс гор, расположенный обычно выше снеговой границы. Характеризуется нивальным климатом. В полярных и субполярных областях нередко распространяется до уровня моря. Из-за метелевой и лавинной концентрации снега и выдвижения ледниковых языков на более низкие уровни элементы H. п. могут встречаться ниже снеговой границы. Самое высокое положение границы H. п. - в пустынных горах Центр. Азии (местами выше 6500 м). Для ландшафтов H. п. характерно сочетание снежников и ледников со скалами и осыпями; интенсивны процессы физич. (гл. обр. морозного) выветривания. Opганич. мир крайне беден. Растительность (мхи, лишайники, отд. высшие растения) разреженная, животные встречаются редко; постоянно обитают лишь нек-рые виды птиц и насекомых.

В. M. Котляков.

НИВАЦИЯ (от лат. nix, род. падеж nivis - снег), рельефообразующий процесс, протекающий под действием снега гл. обр. в полярных, субполярных и высокогорных р-нах. Необходимыми условиями H. служат колебание темп-ры воздуха около точки замерзания воды и поступление воды от тающих снежников. Под влиянием этих условий горные породы разрушаются и мелкие частицы уносятся водой. Более крупные обломки выносятся из-под снежников вместе с грязью, насыщенной водой. В результате подснежником образуется относительное понижение, к-рое нередко превращается в кар. Деятельность H. наиболее ярко выражена в областях, где накапливаются большие массы снега и остатки его в тёплое время года существуют в виде снежников.

НИВЕЛИР (от франц. niveler - выравнивать, niveau - уровень), геодезический инструмент для измерения превышений точек земной поверхности - нивелирования, а также для задания горизонтальных направлений при монтажных и т. п. работах. Наибольшее распространение имеют оптико-механич. H., снабжённые зрительной трубой, при помощи к-рой производят отсчёт по рейке. Перед отсчётом визирную линию зрительной трубы устанавливают горизонтально при помощи уровня; в H. с самоустанавливающейся линией визирования это осуществляется автоматически.

Главное требование, предъявляемое к H. с уровнем, - обеспечение близкого к параллельному и достаточно стабильного по времени и при изменениях темп-ры взаимного положения визирной линии и оси уровня, достигаемого при выверке инструмента, к-рую приходится часто повторять. Гл. обр. для упрощения выверки были созданы весьма разнообразные и многочисленные типы H., различающиеся родом соединения между собой трёх основных частей H.- зрительной трубы, уровня и подставки. Так, уровень может быть скреплён с трубой, перекладываемой на подставке, или с этой подставкой и т. д. Однако оказались наиболее стабильными и получили наибольшее распространение т. н. глухие H., в к-рых уровень и труба наглухо соединены с подставкой (рис. 1). Для облегчения установки пузырька уровня в нуль-пункт и повышения её точности глухие H. часто снабжают элевационным винтом (рис. 2). Подставкой в этой схеме являются все детали, соединяющие зрит, трубу с горизонт, осью. По точности H. делятся на высокоточные, точные и технические, дающие на 1 км хода ошибки, не превышающие, соответственно, 0,5-1,0 мм, 4-8 мм и 15 мм.

Рис. 1. Высокоточный глухой нивелир Н2.

Рис. 2. Принципиальная схема глухого нивелира с элевационным винтом: 1 - зрительная труба; 2 - объектив; 3 - сетка нитей; 4 - окуляр; 5 - визирный луч; 6 - ось уровня; 7 - уровень; 8 - горизонтальная ось; 9 - элевационный винт; 10 - контрпружина элевационного винта; 11 - вертикальная ось; 12 - трегер с подъёмными винтами.

Изредка применяют гидростатические H., в к-рых используется свойство сообщающихся сосудов. Многочисл. попытки создания т. н. нивелиров-автоматов, определяющих превышения интегрированием по пройденному пути углов наклона движущейся по местности повозки (велосипеда, автомобиля и т. д.), пока (1974) не дали приемлемых результатов.

Лит.: ГОСТ 10528 - 69, Нивелиры; Гусев H. А., Маркшейдерско-геодезические инструменты и приборы, 2 изд., M., 1968; Д е й м л и х Ф., Геодезическое инструментоведение, M., 1970. Г. Г. Гордон.
 

НИВЕЛИРНАЯ ВЫСОТА, высота точки земной поверхности, определяемая методами нивелирования относительно начала отсчёта (точка О), выбираемого на геоиде. Из геометрич. нивелирования непосредственно получают элементарные превышения dh каждых двух последовательно взятых достаточно близких друг к другу точек вдоль нивелирной линии. Зная также величины силы тяжести g вдоль нивелирной линии, H. в. точки К относительно точки О определяют по формуле

где __т - среднее значение нормальной силы тяжести вдоль отрезка H₀нормали к поверхности земного эллипсоида, задающего систему координат при изучении фигуры и гравитационного поля Земли. Такой способ определения H. в. предложен M. С. Молоденским в 1945. Получаемая этим способом H. в. наз. нормальной высотой. Нормальная H. в. в сумме с высотой квазигеоида определяет высоту точки над земным эллипсоидом (см. Геодезическая гравиметрия).

Раньше стремились из геометрич. нивелирования вывести ортометрическую высоту, определяемую по
формуле

где g_т - среднее значение действительной силы тяжести вдоль отвесной линии от поверхности геоида до земной поверхности в исследуемой точке К. Этот способ требует сведений о внутреннем строении Земли и связан с гипотезами о распределении плотностей внутри неё.

В нек-рых случаях H. в. выводят в форме динамических высот, определяя их по формуле

где _₀- соответствующим образом выбранное постоянное для всей данной нивелирной сети значение силы тяжести. Иногда при обработке результатов геометрич. нивелирования вычисляют только величину

к-рая представляет собой разность потенциалов силы тяжести в точках К и О и наз. геопотенциальной отметкой.

Лит.: Еремеев В. Ф. и Юркинa M. И., Теория высот в гравитационном поле Земли, M., 1972.

M. И. Юркина.

НИВЕЛИРНАЯ СЕТЬ, сеть пунктов земной поверхности, высоты к-рых над уровнем моря определены из нивелирования, т. е. высотная опорная геодезическая сеть. Пункты H. с. закрепляют на местности марками нивелирными реперами, к-рые закладывают в стены долговечных сооружений или непосредственно в грунт на нек-рую глубину. H. с. служит высотной основой топографич. съёмок, а при повторных определениях нивелирных высот её пунктов используется также для изучения вертикальных движений земной коры.  

НИВЕЛИРОВАНИЕ, определение высот точек земной поверхности относительно исходной точки ("нуля высот или над уровнем моря. H.- один из видов геодезич. измерений, к-рые производятся для создания высотной опорно-геодезической сети (т. е. нивелирной сети) и при топографической съёмке (см. Топография), а также в целях проектирования, строительства и эксплуатации инженерных сооружений, железных и шоссейных дорог и т. д. Результаты H. используются в науч. исследованиях по изучению фигуры Земли, колебаний уровней морей и океанов, вертикальных движений земной коры и т. п.

По методу выполнения H. различают: геометрическое, тригонометрическое, барометрическое, механическое и гидростатическое H. При изучении фигуры Земли высоты точек земной поверхности определяют не над уровнем моря, а относительно поверхности референц-эллипсоида и применяют методы астрономического или астрономо-гравиметрического нивелирования.

Геометрическое H. выполняют путем визирования горизонтальным лучом трубой нивелира и отсчитывания высоты визирного луча над земной поверхностью в нек-рой ее точке по отвесно поставленной в этой точке рейке с нанесенными на ней делениями или штрихами (см. Геодезические инструменты). Обычно применяют метод H. из середины, устанавливая рейки на башмаках или колышках в двух точках, а нивелир - на штативе между ними (рис. 1). Расстояния от нивелира до реек зависят от требуемой точности H. и условий местности, но должны быть примерно равны и не более 100-150 м. Превышение h одной точки над другой определяется разностью отсчетов а и Ь по рейкам, так что h = a - b. Так как точки, в к-рых установлены рейки, близки друг к другу, то измеренное превышение одной из них относительно другой можно принять за расстояние между проходящими через них уровенными поверхностями. Если геометрическим H. определены последовательно превышения между точками А и В, В и С, С и D и т. д. до любой удаленной точки К, то путем суммирования можно получить измеренное превышение точки К относительно точки А или исходной точки О, принятой за начало счета высот. Уровенные поверхности Земли, проведенные на различных высотах или в различных точках земной поверхности, не параллельны между собой. Поэтому для определения нивелирной высоты точки К необходимо измеренное превышение относительно исходной точки исправить поправкой, учитывающей параллельность уровенных поверхностей Земли.

Физич. смысл геометрич H. состоит в том, что на перемещение единицы массы на бесконечно малую высоту dh затрачивается работа dW = -gdh, где g -ускорение силы тяжести. Применительно к H. от исходной точки О до текущей точки К можно написать

где W₀ и W_K - потенциалы силы тяжести в этих точках, а интеграл вычисляется по пути H. между ними (полученную по этой формуле величину наз. геопотенциальной отметкой) T. о., H. можно рассматривать как один из способов измерения разности потенциалов силы тяжести в данной и исходной точках

Исходную точку H , или начало счета нивелирных высот, выбирают на уровне моря. Нивелирную высоту h над уровнем моря определяют по формуле

где _т - нек-рое значение ускорения силы тяжести, от выбора к-рого зависит система нивелирных высот. В СССР принята система нормальных высот, отсчитываемых от среднего уровня Балтийского моря, определенного из многолетних наблюдений относительно нуля футштока в Кронштадте.

В зависимости от точности и последовательности выполнения работы по геометрич. H. подразделяются на классы. Гос. нивелирная сеть СССР строится по особой программе и делится на 4 класса. H. I класса выполняют высокоточными нивелирами и штриховыми инварными рейками по особо выбранным линиям вдоль железных и шоссейных дорог, берегов морей и рек, а также по др. трассам, важным в том или ином отношении. По линиям H I класса средняя квадратич. случайная ошибка определения высот не превышает ±0,5 мм, а систематич. ошибка всегда менее ±0,1 мм на 1 км хода. В СССР H. I класса повторяют не реже, чем через 25 лет, а в отд. районах значительно чаще, чтобы получить данные о возможных вертикальных движениях земной коры. Между пунктами H. I класса прокладывают линии H. II класса, к-рые образуют полигоны с периметром 500-600 км и характеризуются средней квадратич. случайной ошибкой ок. ±1 мм и систематич ошибкой ±0,2 мм на 1 км хода. Нивелирные линии III и IV классов прокладываются на основе линий высших классов и служат для дальнейшего сгущения пунктов нивелирной сети. Для долговременной сохранности нивелирные пункты, выбираемые через каждые 5-7 км, закрепляются на местности реперами или марками нивелирными, закладываемыми в грунт, стены каменных зданий, устои мостов и т. д.

Тригонометрическое H., часто наз. геодезич. H., основано на простой связи угла наклона визирного луча, проходящего через две точки местности, с разностью высот этих точек и расстоянием между ними Измерив теодолитом в точке А угол наклона  визирного луча, проходящего через визирную цель в точке В, и зная горизонтальное расстояние s между этими точками, высоту инструмента l и высоту цели а (рис. 2), разность высот h этих точек вычисляют по формуле:

h = stg  + l- а

Эта формула точна только для малых расстояний, когда можно не считаться с влиянием кривизны Земли и искривлением светового луча в атмосфере (см. Рефракция). Более полная формула имеет вид: h = s tgv + l-a + (1-k)s²/2R, где R - радиус Земли как шара и k - коэффициент рефракции.

Тригонометрич. H. g определяют высоты пунктов триангуляции иполигонометрии. Оно широко применяется в топографич. съемке. Тригонометрич. H. позволяет определять разности высот двух значительно удаленных друг от друга пунктов, между к-рыми имеется оптич. видимость, но менее точно, чем геометрич. H. Точность его результатов в основном зависит от трудно учитываемого влияния земной рефракции

Барометрическое H. основано на зависимости давления воздуха от высоты точки над ур. м. (см. Барометрическая формула). Давление воздуха измеряют барометром. Для вычисления высоты в измеренное давление вводят поправки на влияние темп-ры и влажности воздуха. Барометрич. H. широко применяют в географич. и геологич. экспедициях, а также при топографич. съемке труднодоступных районов. При благоприятных метеорологич. условиях погрешности определения высоты не превышают 2-3 м.

Механическое H. выполняют установленным на велосипеде или автомашине нивелир-автоматом, позволяющим автоматически вычерчивать профиль местности и измерять расстояние по пройденному пути. В нивелир-автоматах вертикаль задается тяжелым отвесом, ? расстояние фиксируется фрикционным диском, связанным с колесом велосипеда. Электромеханический нивелир-автомат монтируется на автомашине и позволяет определять не только разность высот смежных точек и расстояние между ними на соответствующих счетчиках, но и профиль местности на фотоленте.

Гидростатическое H. основано на том, что свободная поверхность жидкости в сообщающихся сосудах находится на одном уровне. Гидростатич. нивелир состоит из двух стеклянных трубок, вставленных в рейки с делениями, соединенных резиновым или металлическим шлангом и заполненных жидкостью (вода, диметилфталат и т. п. ). Разность высот определяют по разности уровней жидкости в стеклянных трубках, причем учитывают различие темп-ры и давления в различных частях жидкости гидростатич. нивелира. Погрешности определения разности высот этим методом составляют 1-1мм. Гидростатич. H. применяют для непрерывного изучения деформаций инженерных сооружений, высокоточного определения разности высот точек, разделённых широкими водными преградами, и др.

Астрономическое и астрономо-гравиметрическое H. применяют для определения высот геоида или квазигеоида над референцэллипсоидом.. Путём сравнения астрономич. широт и долгот точек земной поверхности с их геодезич. широтами и долготами сначала находят составляющие отклонения отвеса в плоскостях меридиана и первого вертикала в каждой из этих точек. По этим составляющим вычисляют отклонения отвеса  в вертикальных плоскостях, проходящих через точки A и В, B и С и т. д., и тем самым получают углы наклона геоида относительно референц-эллипсоида в этих плоскостях. Выбирая точки А и В, В и С и т. д. настолько близко друг к другу (рис. 3), чтобы изменение отклонений отвеса между ними можно было считать линейным, разность высот  в смежных точках вычисляют по формуле

Зная высоту геоида в исходном пункте H. и суммируя найденные приращения высот, получают высоту геоида в любом исследуемом пункте. Складывая же высоту геоида с ортометрич. высотой, получают высоту точек земной поверхности над референц-эллипсоидом. Отклонения отвеса меняются от пункта к пункту линейно только при малых расстояниях между ними, так что астрономич. H. требует густой сети астрономо геодезич. пунктов и поэтому невыгодно.

В СССР влияние нелинейной части уклонений отвеса учитывается по гравиметрич. данным. В этом случае астрономич. H. превращается в астрономо-гравиметрическое H., к-рое позволяет определять высоты квазигеоида и широко применяется в исследованиях фигуры и гравитационного поля Земли.

Историческая справка. H. возникло в глубокой древности в связи со строительством оросит, каналов, водопроводов и т. п. Первые сведения о водяном нивелире связывают с именами рим. архитектора Марка Витрувия (1 в. до н. э.) и древнегреч. учёного Герона Александрийского (1 в. н. э.). Дальнейшее развитие методов H. связано с изобретением зрительной трубы (кон. 16 в.), барометра - Э. Торричелли (1648), сетки нитей в зрительных трубах - Ж. Пикаром (1669), цилиндрич. уровня - англ. оптиком Дж. Рамсденом (1768).

В созданной Петром I оптич. мастерской в 1715-25 И. E. Беляев изготовлял различные приборы, включая и ватерпасы с трубой, т. е. нивелиры. В 18 в. высоты пунктов в России определяли барометром, а с нач. 19 в. стали применять тригонометрич. H. Под руководством В. Я. Струве в 1836-37 тригонометрич. H. были определены разность уровней Азовского и Чёрного морей и высота г. Эльбрус. Метод геометрич. H. впервые был широко использован в 1847 при инженерных изысканиях Суэцкого канала. Первые применения геометрич. H. в России в 19 в. также были связаны со строительством водных и сухопутных путей сообщения.

В 1871 Военно-топографич. отдел Главного штаба России начал работы по созданию нивелирной сети страны, а в 1913 приступил к выполнению H. высокой точности. Рус. геодезисты С. Д. Рыльке, H. Я. Цингер, И. И. Померанцев и др. своими исследованиями внесли большой вклад в развитие теорий и методов нивелирных работ. В СССР нивелирные работы интенсивно развивались в связи с решением различных народнохозяйств. и инженерно-технич. задач. По результатам повторных нивелировок определены скорости совр. вертикальных движений земной коры в пределах почти всей Европ. части терр. СССР. В Центральном н.-и. ин-те геодезии, аэросъёмки и картографии выполнены широкие исследования по теоретич. и методич. проблемам H., к-рое является одним из основных и важнейших видов совр. геодезич. работ.

Лит : Красовский Ф. H., Д а н и л о в В. В., Руководство по высшей геодезии, ч. 1, в. 2, M., 1939; З а к а т о в П. С., Курс высшей геодезии, 3 изд., M., 1964; Чеботарев А. С., Геодезия, 2 изд., ч. 1 - 2, M., 1955-62; Еремеев В. Ф. и Юркина M. И., Теория высот в гравитационном поле Земли, M., 1972; И з о т о в А. А. и Пеллинен Л. П., Исследования земной рефракции и методов геодезического нивелирования, M., 1955 (Tp. Центрального н.-и. ин-та геодезии, аэросъёмки и картографии, в. 102); Э н т и н И. И., Высокоточное нивелирование, M., 1956 (там же, в. 111); Инженерная геодезия, M., 1967; Прихода А. Г., Барометрическое нивелирование, 2 изд., M., 1972.

А. А. Изотов, А. В. Буткевич.