МАССА, физ. величина, одна из осн. характеристик материи, определяющая её инерционные и гравитац. свойства. Соответственно различают М. инертную и М. гравитац. (тяжёлую, тяготеющую).

Понятие М. было введено в механику И. Ньютоном. В классич. механике Ньютона М. входит в определение импульса (количества движения) тела: импульс р пропорционален скорости движения тела v, p = mv. (1) Коэфф. пропорциональности - постоянная для данного тела величина т - и есть М. тела. Эквивалентное определение М. получается из ур-ния движения классич. механики f = ma. (2) Здесь М.- коэфф. пропорциональности между действующей на тело силой f и вызываемым ею ускорением тела а. Определённая соотношениями (1) и (2) М. наз. инерциальной м а с с о й, или инертной массой; она характеризует динамич. свойства тела, является мерой инерции тела: при постоянной силе чем больше М. тела, тем меньшее ускорение оно приобретает, т. е. тем медленнее меняется состояние его движения (тем больше его инерция).

Действуя на различные тела одной и той же силой и измеряя их ускорения, можно определить отношения М. этих тел: m₁ : т₂ : т₃ . . . = а₁ : а₂ : а₃ . . .; если одну из М. принять за единицу измерения, можно найти М. остальных тел.

В теории гравитации Ньютона М. выступает в др. форме - как источник поля тяготения. Каждое тело создаёт поле тяготения, пропорциональное М. тела (и испытывает воздействие поля тяготения, создаваемого др. телами, сила к-рого также пропорциональна М. тел). Это поле вызывает притяжение любого др. тела к данному телу с силой, определяемой Ньютона законом тяготения:

где r - расстояние между телами, G - универсальная гравитационная постоянная, a m₁и т₂ - М. притягивающихся тел. Из формулы (3) легко получить формулу для веса Р тела массы т в поле тяготения Земли:

Р = т*g. (4)

Здесь д = G*M/r² - ускорение свободного падения в гравитац. поле Земли, а r ~ К - радиусу Земли. М., определяемая соотношениями (3) и (4), наз. гравитационной массой тела.

В принципе ниоткуда не следует, что М., создающая поле тяготения, определяет и инерцию того же тела. Однако опыт показал, что инертная М. и гравитац. М. пропорциональны друг другу (а при обычном выборе единиц измерения численно равны). Этот фундаментальный закон природы наз. принципом эквивалентности. Его открытие связано с именем Г. Галилея, установившего, что все тела на Земле падают с одинаковым ускорением. А. Эйнштейн положил этот принцип (им впервые сформулированный) в основу общей теории относительности (см. Тяготение). Экспериментально принцип эквивалентности установлен с очень большой точностью. Впервые (1890-1906) прецизионная проверка равенства инертной и гравитац. М. была произведена Л. Этвешем, который нашёл, что М. совпадают с ошибкой ~ 10^-8. В 1959-64 амер. физики Р. Дикке, Р. Кротков и П. Ролл уменьшили ошибку до 10^-11, а в 1971 сов. физики В.Б. Брагинский и В. И. Панов - до

Принцип эквивалентности позволяет наиболее естественно определять М. тела взвешиванием.

Первоначально М. рассматривалась (напр., Ньютоном) как мера количества вещества. Такое определение имеет ясный смысл только для сравнения однородных тел, построенных из одного материала. Оно подчёркивает аддитивность М.- М. тела равна сумме М. его частей. М. однородного тела пропорциональна его объёму, поэтому можно ввести понятие плотности - М. единицы объёма тела.

В классич. физике считалось, что М. тела не изменяется ни в каких процессах. Этому соответствовал закон сохранения М. (вещества), открытый М. В. Ломоносовым и А. Л. Лавуазье. В частности, этот закон утверждал, что в любой хим. реакции сумма М. исходных компонентов равна сумме М. конечных компонентов.

Понятие М. приобрело более глубокий смысл в механике спец. теории относительности А. Эйнштейна (см. Относительности теория), рассматривающей движение тел (или частиц) с очень большими скоростями - сравнимыми со скоростью света с ~ 3*10¹⁰см/сек. В новой механике - она наз. релятивистской механикой - связь между импульсом и скоростью частицы даётся соотношением:

При малых скоростях (v << с) это соотношение переходит в Ньютоново соотношение р = mv. Поэтому величину то наз. массой покоя, а М. движущейся частицы т определяют как зависящий от скорости коэфф. пропорциональности между р и v:

Имея в виду, в частности, эту формулу, говорят, что М. частицы (тела) растёт с увеличением её скорости. Такое релятивистское возрастание М. частицы по мере повышения её скорости необходимо учитывать при конструировании ускорителей заряженных частиц высоких энергий. М. покоя mo (M. в системе отсчёта, связанной с частицей) является важнейшей внутр. характеристикой частицы. Все элементарные частицы обладают строго определёнными значениями то, присущими данному сорту частиц.

Следует отметить, что в релятивистской механике определение М. из ур-ния движения (2) не эквивалентно определению М. как коэфф. пропорциональности между импульсом и скоростью частицы, т. к. ускорение перестаёт быть параллельным вызвавшей его силе и М. получается зависящей от направления скорости частицы .

Согласно теории относительности, М. частицы т связана с её энергией Е соотношением :

М. покоя определяет внутр. энергию частицы - т. н. энергию покоя Е_о - m_ос². Т. о., с М. всегда связана энергия (и наоборот). Поэтому не существует по отдельности (как в классич. физике) закона сохранения М. и закона сохранения энергии - они слиты в единый закон сохранения полной (т. е. включающей энергию покоя частиц) энергии. Приближённое разделение на закон сохранения энергии и закон сохранения М. возможно лишь в классич. физике, когда скорости частиц малы (v << с) и не происходят процессы превращения частиц.

В релятивистской механике М. не является аддитивной характеристикой тела. Когда две частицы соединяются, образуя одно составное устойчивое состояние, то при этом выделяется избыток энергии (равный энергии связи) Е, к-рый соответствует М. т = E/с². Поэтому М. составной частицы меньше суммы М. образующих его частиц на величину Е/с² (т. н. дефект масс). Этот эффект проявляется особенно сильно в ядерных реакциях. Напр., М. дейтрона (d) меньше суммы М. протона (р) и нейтрона (п); дефект М. Дт связан с энергией Е_т гамма-кванта (у), рождающегося при образовании дейтрона: р + n -> d + у, E_y= тс². Дефект М., возникающий при образовании составной частицы, отражает органич. связь М. и энергии.

Единицей М. в СГС системе единиц служит грамм, а в Международной системе единиц СИ - килограмм. М. атомов и молекул обычно измеряется в атомных единицах массы. М. элементарных частиц принято выражать либо в единицах М. электрона т,, либо в энергетич. единицах, указывая энергию покоя соответствующей частицы. Так, М. электрона составляет 0,511 Мэв, М. протона - 1836,1 те, или 938,2 Мэв и т. д.

Природа М.- одна из важнейших нерешённых задач совр. физики. Принято считать, что М. элементарной частицы определяется полями, к-рые с ней связаны (электромагнитным, ядерным и др.). Однако количеств, теория М. ещё не создана. Не существует также теории, объясняющей, почему М. элементарных частиц образуют дискретный спектр значений, и тем более позволяющей определить этот спектр.

В астрофизике М. тела, создающего гравитац. поле, определяет т. н. гравитационный радиус тела R_rp = 2GM/C². Вследствие гравитац. притяжения никакое излучение, в том числе световое, не может выйти наружу, за поверхность тела с радиусом R =< R_rp. Звёзды таких размеров будут невидимы; поэтому их назвали "чёрными дырами". Такие небесные тела должны играть важную роль во Вселенной.

Лит.: Д ж е м м е р М., Понятие массы в классической и современной физике, пер. с англ., М., 1967; X а и к и н С. Э., Физические основы механики, М., 1963; Элементарный учебник физики, под ред. Г. С. Ландсберга, 7 изд., т. 1, М., 1971.

Я. А. Смородинский.

МАССА (Massa), город в Центр. Италии, в Тоскане, близ берега Лигурийского м. (аванпорт Марина-ди-Масса). Адм. ц. провинции Масса-э-Каррара. 62,8 тыс. жит. (1971). Произ-во изделий из каррарского мрамора, добываемого в Апуанских Альпах. Машиностроение (энергетич. и хим. оборудование), небольшая металлургическая и химическая промышленность.

МАССА ПРИБАВОЧНОЙ СТОИМОСТИ, см. Прибавочная стоимость.

МАССА ПРИБЫЛИ, см. Прибыль.

МАССА СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫХ ЖИВОТНЫХ, масса тела с.- х. животных, важный хоз.-биологич. показатель, характеризующий рост и развитие животных. По изменениям массы за определённый период судят о скорости роста и развития животных, о результатах их выращивания и откорма. Быстрорастущие животные при прочих равных условиях расходуют меньше питательных веществ корма на 1 кг привеса, чем медленнорастущие, и быстрее достигают хоз. зрелости. М. с. ж. учитывают при бонитировке животных, в зависимости от их массы составляют нормы и рационы кормления. Живая масса тела животного определяется взвешиванием или косвенно - по промерам тела различными способами (Клювер-Штрауха, Фровейна, Придорогина).

Убойная масса - масса туши с внутренним и подкожным салом - характеризует соотношение частей тела, идущих в пищу человеку (мясо, сало), и побочных продуктов (кожа, внутренности, кости и др.). По убойной массе, выраженной в процентах к предубойной живой массе, судят об убойном выходе. У кр. рог. скота он равен примерно 50-65% и выше, у свиней 70-85% и выше, у овец 40-60%, у с.-х. птиц 75-85%, у кроликов до 60-62% .

МАССА ТЕЛА ЧЕЛОВЕКА, в сочетании с др. антропометрическими признаками [длиной тела (ростом) и окружностью груди] - важный показатель физич. развития и состояния здоровья. Зависит от пола, роста, связана с характером питания, наследственностью, социально-экономич. условиями, а также с р-ном обитания. Масса новорождённых европеоидов-мальчиков составляет в среднем 3400-3500 г, девочек - 3200-3300 г. В течение первого года жизни дети прибавляют в среднем 6-7 кг, к концу второго года - ещё 2-3 кг. Обычно средняя масса тела мальчиков несколько больше средней массы тела девочек соответств. возраста или равна ей, за исключением периода полового созревания девочек (12-13 лет у европеоидов), когда масса тела девочек превышает массу тела мальчиков на 3-4 кг. С 15 лет масса тела у представителей муж. пола существенно превосходит массу тела представителей жен. пола. Период относительно стабильной массы приходится на возраст 25-45 лет, в старческом возрасте она значительно падает, что связано гл. обр. с потерей организмом воды. Взрослые мужчины-европеоиды весят в среднем 65-68 кг, женщины на 8-10 кг меньше. Наименьшая масса тела свойственна пигмеям Африки и Азии. Как правило, в странах с тропич. климатом масса тела населения меньше, чем в местностях с умеренным климатом. Дневные колебания М. т. ч. составляют ±2 кг. М. т. ч. можно разделить на массу жировую (пассивную) и обезжиренную (активную), причём соотношение их может быть разным (например, у спортсменов относительно более развита обезжиренная масса). Некоторые специалисты предлагают дифференцировать М. т. ч. на массу клеточную и внеклеточную, мотивируя это тем, что в первой протекают процессы обмена веществ и энергии, а второй свойственны лишь функции поддержки и транспорта. Считается, что при прибавках (потерях) массы основная их доля приходится на жир (в среднем св. 600 г жира на каждый кг прибавок или потерь). В результате процессов акцелерации почти повсеместно отмечено увеличение М. т. ч. Показатели М. т. ч. часто используются для построения разного рода индексов и схем при диагностике физич. развития.

Лит.: Башкиров П. Н., Учение о физическом развитии человека, М., 1962; М а r t i n R., Sallet K., Lehrbuch der Anthro-Eologie in systematischer Darstellung mit  besonderer Berücksichtigung der anthropologischen Methoden, Bd 2, Lfg 5-9, Stuttg., 1958-59.

В.П. Чтецов.

МАССА 1000 СЕМЯН, вес 1000 семян, показатель крупности и выполненности воздушно-сухих семян, выраженный в граммах. М. 1000 с. весьма различна у разных видов растений (напр., у огородных бобов -1200 г, у мака - 0,4 г); различается она и у разных сортов одного и того же вида. М. 1000 с. определяют для правильного расчёта нормы высева семян. В спец. семеноведческих исследованиях для сравнения двух образцов семян М. 1000 с. перечисляют на сухое безводное вещество - определяют абсолютный вес семян. На М. 1000 с. влияют метеорологич. факторы, приёмы агротехники и др. В период засухи и недостатка влаги в почве семена на растениях развиваются щуплыми и легковесными. Отрицательно влияет на М. 1000 с. и полегание стеблей, поражение растений болезнями и повреждение вредителями. Приёмы агротехники на семенных посевах должны способствовать повышению М. 1000 с. Наибольшее значение имеет обеспечение растений влагой и питательными веществами.

Лит.: Строка И. Г., Общее семеноведение полевых культур, М., 1966, с. 117.

МАССАГЕТЫ (греч. Massagetai), собирательное назв. группы племён Закаспия и Приаралья в сочинениях др.-греч. авторов. Неясность приводимых источниками сведений породила в науке многочисл. гипотезы об отождествлении М. и их этнич. принадлежности. Одни учёные считали, что назв. "М." происходит от слова "масуо"- рыба и означает "рыбоеды". Другие объясняют его как составное из слов "мае", "сака" и "та" и означающее "большая сакская (скифская) орда". По предположениям третьих, слово "М." означает "мазагеты"-"великие геты", а сами М. тождественны с "да (большие) юечжи" др.-кит. летописей. Разделяющий эту точку зрения С. П. Толстое считает массагетскими нек-рые археол. памятники низовьев Сырдарьи. Однако ни одну из гипотез нельзя считать общепризнанной. О каких племенах говорит тот или иной автор, называя их М., не всегда ясно. По Геродоту, М.- кочевники; сражались они пешими и на конях, причём их кони имели на груди латы; их утварь и оружие изготовлялись из меди и золота. В борьбе с ними погиб основатель Ахеменидской державы Кир, побеждённый "царицей" М. Томирис. По Страбону, М. поклонялись солнцу и приносили ему в жертву лошадей. Наряду с кочевниками Страбон относит к М. обитателей приаральских болот и островов, живших примитивным собирательством и рыбной ловлей, а также нек-рые знавшие земледелие племена (например, хорезмийцев).

Лит.: Толстов С. П., Древний Хорезм, М., 1948; его же, По древним дельтам Окса и Яксарта, М., 1962; П ь я н к о в И.В ., К вопросу о маршруте похода Кира II на массагетов, "Вестник древней истории", 1964, № 3.

Б. Я. Ставиский.

МАССАЖ (франц. massage, от masser - растирать, от араб, масс - касаться, щупать), лечебный метод, совокупность приёмов механического и рефлекторного воздействия на ткани и органы, осуществляемых рукой или спец. аппаратом.

М. может быть общим (массируется всё тело) или местным (лицо, конечность, живот и т. п.). Осн. приёмы М.: поглаживание, к-рое проводится медленно, ритмично по току крови одной или двумя руками, поглаживанием начинают и заканчивают М., оно применяется также после каждого др. приёма; растирание - приём, более энергичный, чем поглаживание, осуществляют пальцами, всей ладонью, её основанием или краем, одной или двумя руками во всех направлениях, продольно, поперечно, кругообразно, зигзагообразно или спиралевидно; разминание выполняют одной или двумя руками в продольном, поперечном, полукруговом и спиралевидном направлениях (применяется преим. для мышечной ткани); вибрация - прерывистая в виде различных поколачиваний, рубления и собственно вибрация (применение колебательных движений без отрыва руки от массируемого участка). Вибрация может осуществляться также с помощью аппаратов для общей (вибрационный стул и велотраб) и местной (портативный аппарат с набором вибратодов и аппарат для ударного М.) вибрации.

Общее обязательное правило при проведении всех приёмов М.- максимальное расслабление мышц массируемого участка.

М. оказывает разностороннее влияние на организм, вызывает сложные реакции с вовлечением всех тканей, органов и систем. М. улучшает продвижение лимфы и крови по сосудам, тонизирует сосудистую систему, облегчая работу сердца. В крови увеличивается содержание гемоглобина, число эритроцитов и лейкоцитов. М. повышает газообмен, увеличивает выделение минеральных солей, мочевины, мочевой кислоты. Изменяя характер, силу, продолжительность М., можно влиять на функциональное состояние коры головного мозга - снижать или повышать общую возбудимость, усиливать ослабленные и оживлять утраченные рефлексы, улучшать функцию проводящих путей, усиливать рефлекторные связи коры головного мозга с мышцами, сосудами и внутр. органами. М. может ускорить регенерацию нерва при его повреждениях, ослабить или прекратить боль. Кожа под влиянием М. делается розовой, упругой, эластичной, повышается её сопротивляемость к температурным и механич. влияниям, улучшается обменная функция. В мышцах повышается эластичность волокон, их сократительная функция, тонус, сила, уменьшаются явления атрофии. М. укрепляет сумочно-связочный аппарат суставов, увеличивает их подвижность. М. применяют с гигиенич., профилактич., спортивно-тренировочной и леч. целями. Гигиенический М. служит для укрепления здоровья и является одним из способов ухода за телом. Предупреждает избыточное отложение жира, солей, помогает сохранению фигуры. Применяют чаще в виде общего М. Один из видов гигиенического М.- М. косметический (см. Косметика), применяемый с целью предупреждения увядания кожи и выравнивания недостатков лица, шеи Спортивный М. применяют для сохранения спортивной формы, устранения утомления и восстановления сил после усиленной мышечной работы. Различают подготовительный, тренировочный и восстановительный М. С гигиенич. целью по утрам в сочетании с утренней гигиенич. гимнастикой и водными процедурами применяют самомассаж. Самомассаж может быть иногда назначен с леч. целью, напр, при ушибах и растяжениях. Лечебный М. применяют при лечении заболеваний и травм опорно-двигательного аппарата, заболеваний сердечно-сосудистой, дыхательной и нервной систем, нарушений обмена веществ (ожирение, сахарный диабет, подагра) и др. С леч. целями назначают рефлекторно-сегментарный М.- воздействие на различные органы и ткани посредством М. определённых участков кожи, подкожной клетчатки, мышц; пневмомассаж, или вакуумный М. (воздействие воздушными волнами для улучшения периферич. кровообращения); синкардиальный М., состоящий в ритмичном сдавлении сосудов конечностей с помощью спец. аппарата "синкардон"; подводный М., осуществляемый с помощью спец. аппарата в виде подводной струи под давлением до 2- 4 атм. При внезапной остановке сердца применяют непрямой М. сердца (толчкообразным давлением на грудину), а в нек-рых случаях прямой М. сердца после вскрытия грудной клетки.

Лит.: В е р б о в А. Ф., Основы лечебного массажа, 4 изд., М., 1958 (лит.); Губерт К. Д., Р ы с с М. Г., Гимнастика и массаж в раннем возрасте, 2 изд., Л., 1963; Саркизов-Серазини И. М., Спортивный массаж, 4 изд., М., 1963.

Г. С. Фёдорова.

МАССАЛИТИНОВ Николай Осипович (24.2.1880, Елец, ныне Липецкой обл.,- 22.3.1961, София), русский и болгарский театр, деятель, актёр, режиссёр, педагог, нар. арт. НРБ (1948). В 1907 окончил школу Малого театра. В 1907-19 актёр МХТ, где под рук. К. С. Станиславского и В. И. Немировича-Данченко совершенствовал своё мастерство, выступал в ролях: Скалозуб ("Горе от ума" Грибоедова), Солёный ("Три сестры" Чехова). С 1925 жил и работал в Болгарии. На болг. сцене играл роли: Тартюф ("Тартюф" Мольера), Маттиас Клаузен ("Перед заходом солнца" Гауптмана) и др. В 1925-44 гл. режиссёр, затем режиссёр Нар. театра в Софии, в 1925 возглавил при нём школу-студию (с 1948- Высший ин-т театр, иск-ва). Деятельность М. способствовала утверждению реализма на болг. сцене, освоению творческих принципов МХАТа, системы К.С.Станиславского. М. одним из первых начал ставить в Болгарии сов. драматургию ("Квадратура круга" Катаева, 1931, "Платон Кречет" Корнейчука, 1940, и др.). Среди др. пост.: "Бесприданница" Островского (1937), "Калин Орёл" Икономова (1941), "Враги" Горького (1944), "Царская милость" Зидарова (1948) и др. Димитровская пр. (1950). Портрет стр. 448.

Лит.: Тихова Н., Масалитинов, София, 1959.

МАССАЛИТИНОВА Варвара Осиповна [17(29).7.1878, Елец,-20.10.1945, Москва], русская советская актриса, нар. арт. РСФСР (1933). В 1901 окончила драматические курсы при Моск. театральном уч-ще по классу А. П. Ленского и принята в труппу Малого театра. Первую крупную роль (Коробочка в "Мёртвых душах" по Гоголю) сыграла на сцене Нового театра (филиал Малого). Основными в репертуаре М. стали характерные роли старух в пьесах Островского, Гоголя. В 1919-20 актриса Гос. показательного театра. С 1922 вновь в Малом театре, где создала свои лучшие работы: Ненила Сидоровна ("В чужом пиру похмелье" Островского), Хлёстова ("Горе от ума" Грибоедова), Демидьевна ("Нашествие" Леонова), и вернулась к сыгранным ранее ролям Манефы и Кукушкиной ("На всякого мудреца довольно простоты", "Доходное место" Островского) и др. Воплощая реалистические традиции Малого театра, М. умела сочетать глубокий психологизм, бытовую достоверность, основанную на метких жизненных наблюдениях, с яркой выразительностью внешнего рисунка образа. Искала для каждой роли индивидуальную речевую характерность. Смелость и сила сатирич. изображения поднимали иск-во актрисы до глубоких социальных обобщений. С 1918 снималась в кино. Светлый жизнеутверждающий характер бабушки Акулины Ивановны создала в фильмах "Детство Горького" и "В людях" (1938, 1939; Гос. пр. СССР, 1941). Награждена 2 орденами. Портрет стр. 448.

Лит.: Афанасьев В., В. О. Массалитинова, М., 1951; Ильина М.,В. Массалитинова, в кн.: Актёры советского кино, в. 6, Л., 1970.

МАССАЛЬСКИЙ Павел Владимирович [р. 22.8(4.9).1904, Москва], русский советский актёр, нар. арт. СССР (1963). В 1922-24 учился в театр, студии под рук. Ю. А. Завадского. С 1925 актёр МХАТа, дебютировал в роли князя Дмитрия Шуйского ("Царь Фёдор Иоаннович" А. К. Толстого). Актёрскую индивидуальность М. отличают тонкий юмор. комедийная лёгкость и изящная элегантность, пластичность движений, обаяние. Блестящая отточенность формы свойственна его лучшим комедийным ролям: Джингль ("Пиквикский клуб" по Диккенсу), граф Альмавива ("Безумный день, или Женитьба Фигаро" Бомарше), Чарльз Сэрфес ("Школа злословия" Шеридана), лорд Горинг ("Идеальный муж" Уайльда), Вово ("Плоды просвещения" Л. Н. Толстого), Николас Динери ("Осенний сад" Хелман), Людовик ("Жил-был каторжник" Ануя). Играл и драматические роли: Барон, Захар Бардин ("На дне", "Враги" Горького), Вронский ("Анна Каренина" по Л. Н. Толстому). С 1927 снимается в кино: Кнейшиц ("Цирк", 1936), польский король Сигизмунд ("Иван Грозный"; 2-я серия 1958) и др. С 1947 преподаёт в Школе-студии им. Вл. И. Немировича-Данченко (с 1961 - проф.). Гос. пр. СССР (1952). Награждён 2 орденами и медалью. Портрет стр. 448.

П. В. Массальский в роли Чарльза Сэрфеса ("Школа злословия" Р. Шеридана).

МАССАНДРА, посёлок гор. типа в Крымской обл. УССР, в 5 км к В. от Ялты. В М.- крупный виноградо-винодельче-ский комбинат "Массандра". Приморский климатич. курорт на Южном берегу Крыма. Леч. средства: аэрогелиотерапия, виноградолечение (сентябрь - ноябрь), морские купания (с июня по октябрь).

"МАССАНДРА", виноградо-винодельч. комбинат пищевой пром-сти СССР. "М."- одно из крупнейших предприятий по произ-ву винограда, высококачественных марочных виноградных вин, табака, фруктов и др. с.-х. продукции. В состав "М." входят совхозы, расположенные на Юж. берегу Крыма. Осн. культура - виноград. Заводы и совхозы "М." выпускают вина 33 марок: крепкие (портвейн, мадера, херес), десертные (токай, мускат, кагор и др.), столовые и шампанское (см. Вино виноградное). Вина отличаются высоким качеством - ароматом, вкусом. На междунар. конкурсах удостоены многих медалей.

В "М." находятся старейшие главные винные з-ды (подвалы) для долголетней выдержки и обработки вин (осн. в 1897). Заводы оснащены совр. механизированным и автоматизированным оборудованием, применяется передовая технология при высокой культуре произ-ва (см. Виноделие). В подвалах "М." хранится св. 400 тыс. бутылок коллекционного отечеств, и зарубежного вина более; 700 сортов; возраст нек-рых из них исчисляется начиная с 1775.

Лит.: Охременко Н. С., Виноделие; и вина Украины, М., 1966. И. Н. Околелое.,

"МАССА-СВЕТИМОСТЬ" ДИАГРАММА в астрономии, зависимость между массами звёзд и их светимостями, изученная эмпирически на основе наблюдений двойных звёзд. Зависимость между массами и светимостями была теоретически предсказана англ, астрономом А. Эддингтоном в нач. 20 в. Найденному эмпирич. закону подчинены практически все типы звёзд (за исключением белых карликов). Однако параметры зависимости между болометрическими светимостями Li, и массами звёзд ЗЛ:

для разных групп звёзд могут заметно отличаться. Так, по наиболее полным данным, полученным к нач. 70-х гг. 20 в., для слабых звёзд с болометрически-; ми звёздными величинами М_b слабее 7,5 звёздной величины будет k=0,l, n = 1,5. Для более ярких звёзд вплоть до М_b = = - 0,3 звёздной величины k~1, n= 4,0.

Распространённая на одиночные звёзды "М.-с."д. позволяет оценивать массы звёзд по определённым из наблюдений их светимостям .

Лит.: Мартынов Д. Я., Курс общей астрофизики, М., 1965.

МАССАУА, М а с с а в а, город на С. Эфиопии, в Эритрее. 18, 5 тыс. жит. (1970). Порт (ок. 1/3 внешнеторг. грузооборота страны) на Красном м.; обслуживает в основном Эритрею. Порт и торг, часть города расположены на островах, соединённых с материком дамбами. Жел. дорогой и шоссе М. соединён с Асмарой. Цем., рыбоконсервная пром-сть, солеварение. Добыча перламутра и жемчуга.

МАССАЧУСЕТС (Massachusetts), залив Атлантич. ок., у вост. берегов Сев. Америки (шт. Массачусетс, США), часть зал. Мэн. Дл. 55 км. Глуб. до 93 м. Приливы полусуточные, их величина до 1,8 л. Порт Бостон.

МАССАЧУСЕТС (Massachusetts), штат на С. Атлантич. побережья США, в Новой Англии. Пл. 21,4 тыс. км². Нас. 5,7 млн., в т. ч. городского 85% (1970). Адм. центр, крупнейший город, экономич. и культурный центр - Бостон.

Вост. часть штата - волнистая Приатлантич. низменность, центр, часть - плоскогорье, прорезанное долиной р. Коннектикут, зап. часть занимают отроги Аппалачей (выс. до 1064 м). Климат умеренный океанич., осадков св. 1000 мм в год. Ок. ²/з всей площади, гл. обр. в горах, занимают хвойные и лиственные леса.

М. - один из самых густонаселённых (плотность населения ок. 270 чел. на 1 км²) и экономически развитых штатов. Из 2,3 млн. чел. экономически активного населения занято (в 1969, в % ): в пром-сти 30, в торговле и обслуживании 40, в финансах 5, на гос. службе 13, в с. х-ве ок. 1,5. Ведущее место принадлежит обрабат. пром-сти, особенно разнообразному машиностроению и лёгкой пром-сти. После 1950 особое развитие получила радиоэлектронная пром-сть, тесно связанная с воен. произ-вом. Развиты также электротехнич. пром-сть, произ-во разнообразного пром. оборудования (станков, текст., обув, и др. машин), судостроение, текст, (гл. обр. шерстяная), кож.-обув., химич., резиновая, бум., полиграфич. пром-сть. Мощность электростанций (1970) 6,4 млн. кет. Развивается ядерная энергетика. С. х-во пригородного типа, специализировано на произ-ве цельномолочных продуктов, яиц, овощей, ягод; животноводство даёт св. ½ товарной с.-х. продукции (53% в 1970). На побережье - рыболовство (осн. центры Глостер, Нью-Бедфорд, Бостон) и переработка рыбы. В М.- Гарвардский (в Кембридже) и Кларкский (в Вустере) ун-ты. Туризм.

В.М.Гохман.

МАССАЧУСЕТССКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (Massachusetts Institute of Technology), крупнейший центр США по подготовке высококвалифицированных специалистов для пром. и науч. учреждений. Осн. в 1861, начал функционировать в 1865 в Бостоне, в 1916 переведён в Кембридж (шт. Массачусетс). В М. т. и. впервые в США осуществлено сочетание в процессе подготовки специалистов изучения естеств., гуманитарных и обществ, наук с практич. деятельностью обучаемых и преподавателей.

В составе М. т. и. (1973): школы - инженерная (отделения аэронавтики и астронавтики, химико-технологич., гражданского строительства, электротехники, инж. механики, металлургии, кораблестроения, ядерной техники), естеств. наук (отделения биологии, химии, наук о Земле и планетах, математики, метеорологии, питания и пищевых продуктов, физиологии, физики), гуманитарных и обществ, наук (отделения экономики и обществ, наук, гуманитарных наук, совр. языков), архитектуры и планирования (отделения архитектуры, проблем городов и гор. планирования), организации и управления произ-вом (Слоунская школа менеджеров). М. т. и. располагает большим количеством лабораторий и центров, многие из к-рых частично или полностью субсидируются федеральными ведомствами (Комиссией по атомной энергии, Мин-вом обороны), напр. Кембриджский электронный ускоритель (совместно с Гарвардским ун-том), вычислительный центр, лаборатория им. Линкольна, центр междунар. исследований, ядерная лаборатория, нац. магнитная лаборатория, лаборатория спектроскопии, центр инженерный и материаловедения, центр космич. исследований, университетская корпорация технич. информации и др. В общей и спец. б-ках М. т. и. св. 1,2 млн. тт.

Все обучающиеся в ин-те могут посещать занятия в Гарвардском университете, а обучающиеся в Гарварде - М. т. и. В 1972/73 уч. г. в М. т. и. обучалось ок. 8 тыс. студентов (более половины - дипломированные специалисты), работало ок. 1,4 тыс. преподавателей, в т. ч. св. 800 профессоров.

МАССАЧУСЕТССКОЕ ВОССТАНИЕ 1689-91, восстание поселенцев англ, колонии Массачусетс в Сев. Америке против классового гнёта в колонии. Вспыхнуло в Бостоне 18 апр. 1689 после получения известий о гос. перевороте в Англии (т. н. Славная революция) и вскоре охватило всю колонию. Повстанцы свергли губернатора и образовали врем, пр-во колонии, тем самым самоуправление колонии было расширено. Однако в соответствии с королевской хартией 1691 законы и судопроизводство колонии были поставлены под полный контроль метрополии, исполнит, власть целиком перешла к англ, губернатору.

МАССЕЙС, М е т с е й с (Massys, Metsys) Квинтен [1465 или 1466, Лёвен(?), -1530, Антверпен], нидерландский живописец. Вступил в антверпенскую гильдию художников в 1491. __ Испытал влияния Рогира ван дер Вейдена, Д. Баутса, А. Дюрера. В триптихах М., принёсших ему известность ("Св. Анна с Марией, младенцем Христом и Иоанном Крестителем", 1507-09, Музей старинного иск-ва, Брюссель; "Оплакивание Христа", 1508-11, Королевский музей изящных иск-в, Антверпен), иератизм и нек-рая плоскостность композиции сочетаются с живыми характеристиками персонажей и нарядным красочным строем. Нек-рые произв. М. обнаруживают его знакомство с творчеством Леонардо да Винчи ("Мадонна с младенцем", Нац. музей, Познань; острогротескный "Портрет старика", 1513, Музей Жакмар-Андре, Париж). Тяготение к жизненно-реальному началу, порою вступающее в конфликт с позднеготич. тенденциями, приводит М. к созданию жанровых композиций с морализующим подтекстом ("Меняла с женой", 1514, Лувр, Париж), а также портретов, отдельные из к-рых [парные портреты Эразма Роттердамского, 1517, Нац. гал. (Палаццо Корсини), Рим, и Петра Эгидия, 1517, Лонгфорд-касл, Англия] свидетельствуют о духовной близости мастера к гуманистич. кругам.

Лит.: Boon К. G., Quinten Massys, Amst., 1957; F r i е d l a n d е г М., . The early Netherlandish painting, v. 6 (Quinten Massys) Leyden - Brussels, 1971.

Н. Н. Никулин.

MACCEHA (Massena) Андре (6.5.1758, близ Ниццы,-4.4.1817, Париж), маршал Франции (1804), герцог Риволи (1808), князь Эслингский (1810). Сын виноторговца. В армии с 1775, был солдатом, в 1789 вышел в отставку, но в 1791 вступил в революц. армию. В 1793 бригадный генерал, участвовал в осаде Тулона. В 1794 дивизионный генерал. В Итальянском походе Бонапарта 1796-97 успешно действовал во главе авангарда армии. В 1799 командовал войсками в Швейцарии, нанёс поражение рус.-австр. корпусу ген. А. М. Римского-Корсакова. В 1800 командовал войсками, осаждёнными в Генуе. В австро-франц. войне 1809 командовал лев. крылом при Ваграме. В 1810-11 командующий войсками в Португалии, был смещён за ряд поражений. В 1814 перешёл на сторону Бурбонов. С 1815 пэр Франции.

"МАССЕС ЭНД МЕЙНСТРИМ", американский литературный и обществ.-политич. журнал (1948-57); см. "Мейи-стрим".

МАССИВНАЯ ТЕКСТУРА, сложение зернистых горных пород преим. магматического (интрузивного) происхождения, для к-рых характерно беспорядочное расположение породообразующих минералов. Породы с М. т. противопоставляются сланцеватым и слоистым горным породам.

МАССИНА (Massena), город на С.-В. США, в шт. Нью-Йорк, на правом берегу р. Св. Лаврентия, у границы с Канадой. 14 тыс. жит. (1970). Один из старейших и наиболее крупных центров алюминиевой пром-сти США (з-ды фирм Алкоа и Рейнолдс), использующий электроэнергию гидростанций на р. Св. Лаврентия, часть энергии получает из Канады.

К. М а с с е и с. "Меняла с женой". 1514. Лувр. Париж.

МАССИНЬОН (Massignon) Луи (25.7.1883, Ножан,-4.11.1962, Париж), французский востоковед-исламовед. С 1919 проф. Сорбонны, президент Ин-та иранистики (Сорбонна), чл. мн. академий и науч. об-в, иностр. чл. АН СССР (1924). Редактор журн. "Revue du monde musulman" (c l918 - "Revue des etudes islamique") и "Annuaire du monde musulman". Труды М. посвящены проблемам религии, философии, политич. и культурной истории мусульм. мира, его взаимоотношениям с др. цивилизациями. Значителен вклад М. в изучение суфизма.

Соч.: Opera minora, t. 1 - 3, P., 1969.

Лит.: Крачковский И. Ю., Бартольд В., Ольденбург С., Записка об учёных трудах Луи Массиньона, "Известия Российской академии наук. VI серия", 1924, т. 18; Беляев Е. А., Луи Массиньон, "Народы Азии и Африки", 1963, № 4.

МАССНЕ (Massenet) Жюль Эмиль Фредерик (12.5.1842, Монто, близ г. Сент-Этьенн, - 13.8.1912, Париж), французский композитор. Чл. Ин-та Франции (1878). В 1863 окончил Парижскую консерваторию (класс композиции А. Тома), получил Рим. пр. (за кантату "Давид Риццио"). 1864-65 как стипендиат провёл в Риме. В 1878-96 проф. Парижской консерватории. Среди его учеников - А. Брюно, П. Видаль, Ш. Кёклен, Ж. Тьерсо, Г. Шарпантье, Э. Шоссон, Дж. Энеску. В 1910 президент Академии изящных иск-в. М.- один из виднейших представителей франц. лирич. оперы и франц. романса. Написал св. 30 опер, в т. ч. "Двоюродная бабушка" (1867), "Дон Сезар де Базан" (1872), "Король Лахорский" (1877), "Сид" (1885), "Таис" (1894), "Сафо" (1897), "Дон-Кихот" (1910, Монте-Карло, с Ф. И. Шаляпиным в гл. роли). Вершины оперного творчества М. - "Манон" (1884) и "Вертер" (1886), прочно вошедшие в мировой оперный репертуар. В них с наибольшей полнотой раскрылось лирич. дарование композитора. Самая сильная сторона его музыки - мелодия, яркая, проникновенная, сочетающая декламационность с напевностью. Помимо опер, М. написал 3 балета, оратории, симфонии, фп. произведения, ок. 200 романсов и песен и др.

Соч.: Mes souvenirs (1848 - 1912), P., [1912].

Лит.: К р е м л е в Ю., Жюль Массне, М., 1969; Bruneau A., Massenet, P., 1935; Сoquis A., J. Massenet, [P., 1965].

МАССОВАЯ КОММУНИКАЦИЯ (англ, mass communication), систематическое распространение сообщений (через печать, радио, телевидение, кино, звукозапись, видеозапись) среди численно больших, рассредоточенных аудиторий с целью утверждения духовных ценностей данного общества и оказания идеологич., политич., экономич. или организационного воздействия на оценки, мнения и поведение людей.

Материальной предпосылкой возникновения М. к. в 1-й пол. 20 в. стало создание технич. устройств, позволивших осуществить быструю передачу и массовое тиражирование больших объёмов словесной, образной и муз. информации. Собирательно комплексы этих устройств, обслуживаемых работниками высокой проф. специализации, принято называть "средствами массовой информации и пропаганды" или "средствами М. к.".

М. к. представляет собой систему, состоящую из источника сообщений и их получателя, связанных между собой физич. каналом движения сообщений. Такими каналами являются: печать (газеты, журналы, брошюры, книги массовых изданий, листовки, плакаты); радио и телевидение - сеть широковещат. станций и аудиторий, имеющих радио- и телеприёмные устройства; кино, обеспеченное постоянным притоком фильмов и сетью проекционных установок; звукозапись (система произ-ва и распространения грампластинок, магнитофонных роликов или кассет); видеозапись.

Эффективность М. к. определяется не только целями и задачами воздействия на читателей, слушателей, зрителей передаваемых сообщений, но и соответствием их содержания и формы постоянным и текущим информационным нуждам людей.

Будучи мощным орудием идейно-по-литич. борьбы, социального управления, регулирования отношений социальных групп и распространения культуры, М. к. стала важным элементом обществ, отношений, оказывающих существ, влияние на её содержание и формы, на своеобразие идеологич., политич. и иной пропаганды, на передачу распоряжений власти, просвещение различного вида и назначения, коммерч. рекламу и развлечения, осуществляемые с помощью средств М. к.

В условиях капитализма цели М. к., выступающей в качестве орудия господствующего класса, определяются задачами апологетики строя социальной несправедливости, извращения сознания личности с помощью манипуляторских приёмов и "массовой культуры". В социалистич. обществе М. к. призвана укреплять идейное и морально-политич. единство общества, бороться с бурж. идеологией и пропагандой, служить воспитанию гармонически развитой личности.

Социология и психология М. к., возникшие в 20-х гг. 20 в., изучают структуру, закономерности и эффективность деятельности систем М. к., функционирование отдельных её элементов. Теория и методология исследования М. к. в марксистской и бурж. социологии определяются качеств, различием их целей и задач.

Лит.: Фрид Н., Эстерлинг К., Размышления о пропаганде, "Проблемы мира и социализма", 1963, №4; Вооглайд Ю., Как складывается идеологическое воздействие, "Коммунист Эстонии", 1967, № 8; Социология и идеологическая деятельность.Сб.,М., 1967; Алексеев А. Н., О массовой коммуникации и ее социальных средствах, в сб.: Журналист, пресса, читатель, Л., 1969; Проблемы социальной психологии и пропаганда. Сб., М., 1971; Шерковин Ю. А., Психологические проблемы массовых информационных процессов, М., 1973 ; Р а и л и-младший Дж. и Райли М., Массовая коммуникация и социальная система, в сб.: Социология сегодня. Проблемы и перспективы, пер. с англ., М., 1965; Wарles D., Berelson В., В г a d s h a w F., What reading does to people, Chi., 1940; Меrton R. K., Mass persuasion, N. Y.- L., 1946; The process and effects of mass communication, ed. W. Schramm, Urbana, 1955; People, society and mass communications, ed. L. A. Dexter, D. M. White, L., 1964.

Ю.А. Шерковин.

"МАССОВАЯ КУЛЬТУРА" (англ, mass culture), в философии, социологии понятие, обобщённо выражающее состояние бурж. культуры с сер. 20 в. В понятии "М. к." нашли отражение существ, сдвиги в механизме бурж. культуры: развитие средств массовой коммуникации - радио, кино, телевидения, гигантские тиражи иллюстрированных журналов, дешёвых "карманных" книг, грампластинок; индустриально-коммерч. тип произ-ва и распределения стандартизированных духовных благ; относит, демократизация культуры, повышение уровня образованности масс; увеличение времени досуга и затрат на досуг в бюджете средней семьи. В условиях гос.-монополистич. капитализма использование средств массовой коммуникации преобразует культуру в отрасль экономики, превращая её в "М. к.". Через систему массовой коммуникации "М.к." охватывает подавляющее большинство членов общества; через единый механизм моды ориентирует, подчиняет все стороны человеческого существования: от стиля жилья и одежды до типа хобби, от выбора идеологич. ориентации до форм и ритуалов интимных отношений; претендует на охват и подчинение культуры всего мира, его культурную "колонизацию".

Серийная продукция "М. к." обладает рядом специфич. признаков: примитивность характеристики отношений между людьми, низведение социальных, классовых конфликтов к сюжетно занимат. столкновениям "хороших" и "плохих" людей, чья цель - достижение личного счастья любой ценой; почти не знающая исключений обязательность "счастливого конца"; развлекательность, забавность, сентиментальность комиксов, ходовых книжно-журнальных публикаций, коммерч. кино с натуралистич. смакованием насилия и секса; ориентированность на подсознание, инстинкты - жажда обладания, чувство собственности, нац. и расовые предрассудки, культ успеха, культ сильной личности и, вместе с тем, культ посредственности, условность, примитивная символика (чёрный костюм "чёрного характера" в фильме-вестерне, квадратная челюсть супермена в комиксах, "сказочность" Джеймса Бонда). Огромная роль деталей внешней формы (одежда, обстановка, тип дома, район проживания, тип автомобиля и пр.), отделяющих "своих" от всех остальных -"чужаков". Эти и подобные признаки присущи бурж. культуре с начала общего кризиса капитализма, но их концентрация в массовой продукции духовных благ образует новое качество, позволяющее относить понятие "М. к." именно к новейшему времени.

"М. к." утверждает тождественность материальных и духовных ценностей, в равной степени выступающих как продукты массового потребления; понятие "бестселлер" приобрело в ней универсальный характер. Для "М. к." характерно возникновение и ускоренное развитие особого проф. аппарата, задачей к-рого является использование содержания потребляемых благ, техники их произ-ва и распределения в целях подчинения массового сознания интересам монополий и гос. аппарата, искажения и заглушения протеста.

Аппарат "М. к." объединяет исследовательскую, проектную и организационно-коммерч. деятельность специалистов высшей квалификации. Социально-психологич. исследования поставляют монополиям данные о колебаниях предпочтений и антипатий у различных категорий потребителей, об эффективности используемых приёмов обработки массового сознания. Здесь определяется влияние оформления упаковки на выбор товара, "уговаривающих" формулировок рекламы на масштабы туризма, режиссуры политич. телевизионных турниров на решение колеблющихся избирателей и т. п.

Специальное проектирование, дизайн, непрерывно создаёт новые образцы всего, что зрительно или на слух воспринимается массой потребителей: от графики на конверте грампластинки до системы оформления города, от музейной экспозиции до режиссуры нац. праздника. Организационно-коммерч. звено "М. к.", т. н. маркетинг, использует новейшие средства капиталистич. организации произ-ва и торговли в индустрии духовных благ. Маркетинг оказывает решающее влияние на репертуар театров, финансирование кинофильмов, структуру телевизионных программ, политику издания книг и грампластинок, особый рынок молодёжной моды. Маркетинг как звено "М. к." придал культурным процессам "спортивный" характер, вовлекая все проявления творчества в бесконечный процесс возвышения и падения очередных "звёзд" и "идолов". При общей ориентации на массу аппарат "М. к." осуществляет чёткое расслоение духовной продукции по типам потребителей.

Осмысление "М. к." в бурж. философии было начато книгами О. Шпенглера (Германия), X. Ортега-и-Гасета (Испания), Т. Адорно (Германия, ФРГ), связавшими "М. к." с концепцией "массового общества", предвещавшими крах "высшей" культуры в столкновении с "массой", "толпой". С 50-х гг. 20 в. преобладает критический анализ "М. к." с позиций традиционного буржуазного либерального гуманизма (Э. Фромм, Д. Рисмен, Э. ван ден Хаг, Г. Маркузе - США), Э. Морен (Франция), когда "М. к." однозначно интерпретируется как предельное выражение духовной несвободы, средство отчуждения и угнетения личности. Преувеличивая роль технич. средств массовой коммуникации, критики "М. к." рассматривают её вне связи с бурж. характером культуры и одновременно игнорируют двойств. природу "М. к.". Несомненно, что через систему массовой коммуникации миллионы людей получают известную возможность ознакомиться с произведениями подлинной литературы, искусства, достижениями науки. Эта двойственность служит почвой для возникновения апологетич. концепций, оправдывающих дифференциацию культурной продукции и утверждающих, что "М. к." соответствует запросам массового потребителя (Т. Парсонс, США, и др.). Канад. социолог М. Мак-Люэн утверждает, что "М. к." приобщает к духовным ценностям массы, в прошлом отчуждённые от господствующей культуры, создаёт относительно высокий стандарт формы массовой культурной продукции. С романтич. позиций отрицая "цивилизацию письменности", Мак-Люэн рисует картину "глобальной деревни", где с помощью массовой коммуникации возникает идиллия свободного от индивидуализма общения людей.

"М. к.", изображаемая как чудовище, пожирающее в человеке всё человеческое, - гл. герой множества "антиутопий", книг-кошмаров, книг-предостережений в зап. лит-ре: Дж. Оруэлл, О. Хаксли, Р. Брэдбери, Р. Шекли и др.

Борьба с "М. к.", с её открыто антиде-мократич. содержанием стала одной из важных задач в программах и практике прогрессивных, демократич. сил в капиталистич. странах. С сер. 60-х гг. анализ и критика "М. к." во всех формах её проявления успешно развиваются в работах философов и социологов-марксистов.

Лит.: Ашин Г. К., Миф об элите и "массовом обществе", М., 1966; Давыдов Ю. Н., Искусство и элита, М., 1966; Г л а з ы ч е в В. Л., Поэзия роботов, в сб.: Искусство нравственное и безнравственное, [М., 1969]; его же. Проблема "массовой культуры", "Вопросы философии", 1970, № 12; Мог in E., L'esprit du temps, P., 1962; Riesman D., The lonely crowd, 7 ed., New Haven - L., 1963; Me L u h a n M., The guthenberg galaxy, Toronto, 1967; Mareuse H., One dimensional man, 11 ed., Boston, [1969]; Toep1itz К. Т., Akyrema, 2 wyd., Warsz., 1970.

В.Л. Глазычев.

МАССОВАЯ ПОЛИТИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТЕРА, агитационно - пропагандистская литература, термин, принятый в сов. книговедении для обозначения совокупности произведений печати, освещающих в популярной форме вопросы идеологии и политики с целью формирования у широких масс стойких, осознанных ориентации на социально-классовые ценности. В СССР и других социалистич. странах М. п. л. является важным средством коммунистич. просвещения и воспитания народа. В развитой форме агитационно-пропагандистская литература сложилась во 2-й пол. 19 в. как одно из эффективных средств идеологич. и организаторской работы политич. партий в массах. Ещё в кон. 40-х гг. К. Маркс и Ф.Энгельс отмечали необходимость "распространять дешево изданные популярные произведения и брошюры коммунистического содержания" для объединения рабочих (Соч., 2 изд., т. 4, с. 19). В России произведения революц.-демократич. литературы, написанные специально для народа, стали выходить с нач. 1860-х гг. (прокламации, "Историческая библиотека" Н. А. Некрасова, Н. Г. Чернышевского и И. И. Панаева, и т. д.). В 70-е гг. нелегально издавались агитационные произведения революц. народников "для крестьян и фабричных" ("Русскому народу" А. В. Долгушина, "Хитрая механика" В. Е. Варзара и т. д.). Новый этап в развитии М. п. л. начался с 1883-84, когда плехановская группа "Освобождение труда" стала выпускать 2 серии брошюр ("Библиотека современного социализма" и "Рабочая библиотека"), популяризировавшие марксизм как научную идеологию пролетариата. Ленинский "Союз борьбы за освобождение рабочего класса" (1895) тесно связал М. п. л. с практикой борьбы за социализм (брошюры В. И. Ленина "Объяснение закона о штрафах", 1895, "К деревенской бедноте", 1903, и др.). Придавая первостепенное значение политич. периодике, Ленин, большевики в то же время заботились и об издании популярных брошюр по вопросам марксизма и революц. борьбы, адресуя их разным категориям читателей (рабочим, крестьянам, солдатам). В 1904 М. п. л. выпускало "Изд-во социал-демократической литературы В. Бонч-Бруевича и Н. Ленина" в Женеве. 3-й съезд РСДРП (1905) поставил задачу создания агитац. и пропагандистских брошюр на нац. языках. В годы Революции 1905-07 небывалый размах получило легальное издание М. п. л. По словам Ленина, "Миллионы дешевых изданий на политические темы читались народом, массой, толпой, „низами" так жадно, как никогда еще дотоле не читали в России" (Поли. собр. соч., т. 22, с. 83). Массовую популярную марксистскую лит-ру выпускали большевистские изд-ва "Вперёд", "Зерно", позднее - "Жизнь и знание", "Прибой", "Просвещение", "Волна" и др. (см. Большевистская печать), а также ряд демократич. изд-в ("Знание", "Парус" и др.). После Октябрьской революции 1917 М. п. л. была поставлена на службу социалистич. строительству. Выпуск её в 20-е гг. осуществляли изд-во ВЦИК, "Коммунист", отдел парт, лит-ры Госиздата, "Красная новь", в 30-е гг.- Масспартгиз, "Московский рабочий" и др.

Ныне М. п. л. в СССР выпускается большинством центральных, республиканских изд-в, зональными и областными книжными изд-вами; крупнейшие из них - Политиздат, "Знание", "Молодая гвардия". В 1971 издано св. 5 тыс. названий книг и брошюр массово-политич. характера общим тиражом ок. 139 млн. экз. (в 1940 - 3,3 тыс. названий тиражом 63,8 млн. экз.); произведения М. п. л. публиковались более чем в 6 тыс. газет различных типов, в партийных, комсомольских, а также в общественно-политич. и лит.-художеств, журналах.

Коммунистам, партия осуществляет повседневное руководство изданием и распространением М. п. л., определяет её задачи на каждом этапе коммунистич. строительства (см. О партийной и советской печати, радиовещании и телевидении. Сб. документов и материалов, М., 1972). В. И. Ленин и литераторы ленинской школы внесли большой вклад как в развитие М. п. л., так и в разработку принципиальных основ её теории.

В совр. М. п. л. выделяют две основные разновидности: пропагандистскую и агитационную. Социалистич. пропагандистская литература разъясняет массовому читателю гносеологич., классовый и практич. смысл идеологич. теорий (философии, политич. экономии, науч. коммунизма), помогает понять сущность социальных фактов и процессов, закономерный и прогрессивный характер деятельности марксистско-ленинских партий и социалистич. государств, добиваясь того, чтобы знания формировали у людей активное отношение к обществ, жизни. Агитационная литература отражает, как правило, типичные, политически значимые и несущие большой эмоциональный заряд факты и события текущей общественной жизни, давая им гл. обр. эмоциональную морально-политич. оценку с позиций классового идеала; она формирует обобщённый, классово-оценочный, эмоционально окрашенный образ социальных явлений, опираясь на непосредственный опыт масс. См. также Публицистика.

Лит.: Маркс К. и Энгельс Ф. Коммунисты и Карл Гейнцен, Сочинения 2 изд., т. 4, с. 268-85; Энгельс Ф. Предисловие к первому немецкому изданию "Развития социализма от утопии к науке" там же, т. 19. с. 321-23; Л е н и н В. И.. Что делать?, Поли. собр. соч., 5 изд., т. 6: его же, Попятное направление в русской социал-демократии, там же, т. 4; е г о же, Партийная организация и партийная литература, там же, т. 12; Литературное наследие Г. В. Плеханова, сб. 8, М., 1940.

Л. Н. Кастрюлина.

МАССОВАЯ СИЛА, сила, действующая на каждый элемент объёма тела и пропорциональная массе этого элементарного объёма; то же, что объёмная сила.

МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ ТЕОРИЯ, математич. дисциплина, изучающая системы, предназначенные для обслуживания массового потока требований случайного характера (случайными могут быть как моменты появления требований, так и затраты времени на их обслуживание). Типичным примером объектов М. о. т. могут служить автоматич. телефонные станции, на к-рые случайным образом поступают "требования" - вызовы абонентов, а "обслуживание" состоит в соединении абонентов с др. абонентами, поддержании связи во время разговора и т. д. Целью развиваемых в М. о. т. методов является, в конечном счёте, отыскание разумной организации обслуживания, обеспечивающей заданное его качество. С этой точки зрения М. о. т. рассматривают как часть операций исследования.

М. о. т. широко использует аппарат теории вероятностей и (в меньшей степени) математической статистики. Задачи М. о. т., сформулированные математически, обычно сводятся к изучению спец. типа случайных процессов. Исходя из заданных вероятностных характеристик поступающего потока вызовов и продолжительности обслуживания и учитывая схему системы обслуживания (наличие отказов или очередей и т. п., см. также Очередей теория), М. о. т. определяет соответствующие характеристики качества обслуживания (вероятность отказа, среднее время ожидания начала обслуживания, среднее время простоя линий связи и т. д.). В ряде более простых случаев это определение возможно аналитическими методами, в более сложных случаях приходится прибегать к моделированию соответствующих случайных процессов по Монте-Карло методу.

Пример. Предположим, что автоматич. линия связи имеет п одинаково доступных для абонентов каналов. Вызовы поступают в случайные моменты времени. Если при поступлении очередного вызова все и каналов линии связи оказываются занятыми, то поступивший вызов получает отказ и теряется. В противном случае немедленно начинается разговор по одному из свободных каналов, длящийся, вообще говоря, случайное время.

Одной из характеристик эффективности работы такой линии связи является доля вызовов, получающих отказ, т. е. предел р при Т -" бесконечность (если он существует) отношения v_T/N_T числа v_T вызовов, потерянных в течение времени Т, к общему числу N_T вызовов, поступивших за это время. Этот предел можно назвать вероятностью отказа.

Другим, не менее естественным, показателем качества работы линии связи может служить относительное время её занятости, т. е. предел р* при Т -" бесконечность (если он существует) отношения t_Т/Т, где t_т- суммарное время, в течение к-рого за период Т все п каналов линии связи одновременно заняты. Этот предел можно назвать вероятностью занятости. Обозначим X(t) число каналов, занятых в момент t. Тогда можно показать, что: 1) если моменты поступления вызовов образуют пуассоновский поток однородных событий, 2) длительности разговоров последоват. абонентов суть независимые (между собой и от моментов поступления вызовов) одинаково распределённые случайные величины, то случайный процесс X(t), t>=0, обладает эргодич. распределением, т. е. существуют [не зависящие от начального распределения X(0)j пределы

где р - произведение интенсивности потока поступлений вызовов на ср. длительность разговора отд. абонента. Кроме того, в этом случае р = р*, и их общее значение равно р_п. Формулы (*) используются для расчёта минимального количества каналов линии связи, обеспечивающей заданную вероятность отказа. Эти формулы наз. Эрланга формулами. Следует добавить, что при отказе от условия 1) равенство р = р* может не выполняться.

Становление М. о. т. было вызвано интересом к математич. задачам, возникающим в организации телефонных сетей, дат. инженера А. К. Эрланга, первые публикации к-рого относятся к 20-м гг. 20 в. М. о. т. получила дальнейшее развитие в 40-50-х гг. в работах К. Пальма (Швеция), Ф. Поллачека (Франция), А. Я. Хинчина (СССР). Последнему принадлежит сам термин "М. о. т.". Эти работы были продолжены сов. математиком Б. В. Гнеденко и др. Развитие М. о. т. в значит, мере стимулируется расширением круга её применений. Являясь формально частью теории случайных процессов, М. о. т. выделилась в самостоят, область исследований со своим кругом задач и методов их решения и в свою очередь стимулирует развитие теории случайных процессов.

Лит.: X и н ч и н А. Я., Работы по математической теории массового обслуживания, М., 1963; Розенберг В. Я., Прохоров А. И., Что такое теория массового обслуживания, М., 1965; Гнеденко Б. В., Коваленко И.Н., Введение в теорию массового обслуживания, М., 1966; С а а т и Т. Л., Элементы теории массового обслуживания и её приложения, пер. с англ., М., 1971; Боровков А. А., Вероятностные процессы в теории массового обслуживания, М., 1972.

О. В. Висков.

"МАССОВОЕ ДЕЙСТВО", театрализованное зрелище, в к-ром участвуют большие массы народа (исполнители и зрители). "М. д." проводятся обычно под открытым небом - на площадях, улицах, в парках, на стадионах. Яркие образцы нар. зрелищ создала Др. Греция (празднества, состязания, игры - олимпийские, пифийские и др.). Истоки "М. д." восходят к ср.-век. мистериям. В Англии в 17 в. устраивался театрализованный майский праздник, основой к-рого стала игра о легендарном нар. герое Робин Гуде. Во время Великой франц. революции появились агитационные, проникнутые революц. пафосом массовые представления. 14 июля 1790 в празднестве на Марсовом поле участвовали представители 83 департаментов.

В России "М. д." вначале были связаны с сел. праздниками и нар. творчеством. В 15-16 вв. они стали частью церк. богослужения. Новые монументальные формы нар. массового празднества возникли после Окт. революции 1917. В 1918-21 были осуществлены масштабные представления: "Действо о III Интернационале", "Мистерия освобождённого труда", "К мировой коммуне", "Взятие Зимнего дворца" (все в Петрограде), "Борьба труда и капитала" (Иркутск). Постановщики этих "М. д."- крупнейшие сов. режиссёры Н. В. Петров, К. А. Марджанов, Н. П. Охлопков и др. В последующие годы большое распространение получили тематич. массовые представления на стадионах. В 1957 в дни 6-го Междунар. фестиваля молодёжи и студентов в Москве проводились торжественная церемония открытия фестиваля на стадионе и заключит, представление-митинг на Манежной площади. В 1961 в Севастополе было показано массовое представление "Пролог" об обороне Севастополя в 1854-55, в к-ром воссоздавались также важнейшие эпизоды боёв города-героя во время Великой Отечеств, войны 1941-45.

Лит.: Луначарский А. В., О народных празднествах, в его кн.: Театр и революция, М., 1924, с. 63-67; История советского театра, т. 1, Л., 1933, с. 264-90.

А. И. Дубинская.

"МАССОВОЕ ОБЩЕСТВО" (англ, mass society), понятие, употребляемое немарксистскими социологами и философами для обозначения ряда специфич. черт совр. общества. В области социально-экономической "М. о." связывается с индустриализацией и урбанизацией, стандартизацией произ-ва и массовым потреблением, бюрократизацией обществ, жизни, распространением средств массовой коммуникации и "массовой культуры".

Истоки теорий "М. о."- в консерва-тивно-аристократич. критике бурж.-демократич. преобразований в Европе и Америке в 18-19 вв. Э. Бёрк (Великобритания), Ж. де Местр, Л. Г. А.Бональд (Франция) выступили против разрушения ср.-век. обществ, групп и корпораций, что, по их мнению, превращает общество в массу изолированных индивидов. Ясно сознавая неизбежность "нового порядка", А. Токвиль (Франция) использовал идею "М. о." для характеристики развивающегося бурж. общества с точки зрения соотношения в нём свободы и равенства. Токвиль показал, что централизация и бюрократизация, осуществляемые во имя равенства в борьбе с феод, аристократией, приводят к установлению контроля бурж. гос-ва над всеми сферами обществ, жизни и удушению свободы. С кон. 19 в. идеи "М. о." получают развитие в элитарной критике т. н. "омассовления", "деспотизма масс" [Ф. Ницше, О. Шпенглер (Германия), X. Ортега-и-Гасет (Испания), Н. А. Бердяев].

Возникновение фашизма в Европе в 20-30-х гг. 20 в. обусловило резкое изменение содержания теорий "М. о.": аристократич. защита ценностей элиты от "сверхдемократии" сменяется защитой бурж.-демократич. прав от неограниченного господства "властвующей элиты" (К. Манхейм, Э.Ледерер, X. Арендт - Германия). В этих концепциях, не раскрывающих подлинные социально-экономич. причины и классовую сущность фашизма, игнорируется противоположность между фашистской диктатурой и социализмом, критика фашизма тесно переплетается с антикоммунизмом.

После 2-й мировой войны 1939-45 критика авторитарных тенденций гос.-монополистич. капитализма с позиций бурж. и мелкобурж. либерализма и романтизма становится осн. направлением в концепциях "М. о.". Р. Миллс, Э. Фромм, Д. Рисмен (США) подвергают критике различные стороны бурж. общества: экономич., политич. и социальное отчуждение, централизацию власти и упадок промежуточных автономных ассоциаций и орг-ций, конформизм "массового" человека, распространение стандартизированной культуры. Эта социальная критика нередко превращается в обвинит. акт против совр. гос.-монополистич. капитализма. Однако она абсолютизирует отчуждение и отрицает существование социальных сил, способных разрушить зловещий мир "М. о.".

Против этих концепций выступили мн. бурж. социологи (Т. Парсонс, А. Этциони, Д. Белл, Р. Виленский - США), подчёркивая их односторонность, абстрактность и показывая, что критики "М. о." недооценивают значение как первичных групп и орг-ций, промежуточных между индивидом и гос-вом, так и ценностных ориентации индивидов, через призму к-рых преломляется восприятие средств массовой коммуникации. Параллельно с этой критикой в совр. бурж. социологии были предприняты попытки "позитивной трактовки" "М. о." (Д. Мартиндейл, Д. Белл, Э. Шиле - США). Испытав большое влияние со стороны доктрин "нар. капитализма", "государства всеобщего благоденствия" и особенно теории "единого среднего класса", данный вариант теории"М. о." разрывает с интеллектуальной традицией, в русле к-рой выросли критич. концепции "М. о.". Анализируя материальные основы "М.о.", его социальные и культурные институты, представители этого направления утверждают, что под влиянием массового произ-ва и массового потребления происходит процесс становления экономич., социальной и политич. однородности, стирание классовых различий. Т. о., в этой концепции социальный критицизм сменяется прямой апологетикой бурж. общества.

Марксистский анализ теорий "М. о.", раскрывая их теоретич. несостоятельность, лежащие в их основе идеологич. иллюзии и фикции, в то же время отмечает постановку в них ряда важных проблем (о судьбах социальной свободы, личности и культуры в совр. бурж. мире, значении средств массовой коммуникации, роли "первичных" и "промежуточных" групп и др.) и критику бурж. цивилизации.

Лит.: М и л л с Р., Властвующая элита, пер. с англ., М., 1959; Стрельцов Н. Н., Теоретические истоки и эволюция концепций "массового общества", "Вопросы философии", 1970, № 12; А шин Г. К., Доктрина "массового общества", М., 1971; К о г n h a u s e r W., The politics of mass society, 4 ed., N. Y., 1965; Mass society in crisis, ed. by B. Rosenberg (a.o.), 2 ed., N. Y., 1966.

H.H. Стрельцов.

МАССОВОЕ ПРОИЗВОДСТВО, один из типов организации произ-ва, характеризующийся ограниченной номенклатурой однородной продукции, изготовляемой в больших количествах. М. п. представляет собой высшую форму специализации произ-ва, позволяющую сосредоточивать на предприятии выпуск одного или неск. типоразмеров одноимённых изделий или деталей этих изделий. М. п. характерно для мн. отраслей пром-сти: машиностроения (произ-во инструментов, крепёжных материалов, подшипников), приборостроения (произ-во часов), лёгкой пром-сти (изготовление обуви, галантереи), пищ. пром-сти (произ-во консервов). М. п. может быть организовано как в рамках отд. цехов, их участков, так и предприятия в целом. М. п. обеспечивает, как правило, значит, увеличение объёма продукции при постоянном или улучшенном её качестве, рост производительности труда благодаря применению специальных оборудования и оснастки и сведения к минимуму подготовительно-заключит. времени на операции, снижение себестоимости и повышение рентабельности. Особенности М. п. отражаются в самом процессе произ-ва и методах его осуществления, в специализации рабочих мест и их расположении в порядке следования операций. Технологич. процесс в большинстве случаев прогрессивен и относительно постоянен. Квалификация рабочих при узкой специализации должна быть высокой. Технологич. операции при М. п. синхронизируются, и движение предметов труда по рабочим местам происходит непрерывно, часто с применением механизированных транспортных средств (конвейеров). Это обеспечивает минимальную продолжительность производств, цикла и как следствие - макс, скорость оборота. При М. п. различные изделия выпускаются одновременно и, как правило, непрерывно. Условие этого - макс, стандартизация и нормализация узлов и деталей при конструировании (см. Стандартизация).

При М. п. возрастают степень загрузки рабочих мест, механизация учёта и контроля, осуществляются непрерывная ди-станц. диспетчеризация произ-ва, внедрение автоматизированных систем управления предприятием (АСУП).

Лит. см. при ст. Организация производства.

МАССОВОЕ ЧИСЛО, число нуклонов (протонов и нейтронов) в атомном ядре; обозначается буквой А и указывается обычно слева вверху рядом с символом элемента, напр. ³²S означает изотоп серы с А = 32. М. ч. и заряд ядра Z, выраженный в единицах элементарного электрического заряда, определяют состав атомного ядра: Z протонов и (А - Z) нейтронов. Масса любого атома, выраженная в атомных единицах массы и округлённая до ближайшего целого числа, равна его М. ч. См. Ядро атомное, Атомная масса.

МАССОН Михаил Евгеньевич [р. 21.11 (3.12). 1897, Петербург], советский археолог и историк-востоковед, акад. АН Туркм. ССР (1951). Проф., зав. кафедрой археологии (с 1940) Средне-азиат. гос. ун-та в Ташкенте. Участник археол. экспедиций в республиках Ср. Азии. Проводил раскопки кушанского и ср.-век. Термеза (1936-38). С 1946 руководитель Юж.-Туркменистанской археол. комплексной экспедиции, ведущей работы в Туркм. ССР, в т. ч. раскопки парфянских Нисы и Мерва. Исследования М. посвящены доказательству существования в Ср. Азии рабовладельч. строя, закономерностям развития городов (Самарканд, Бухара, Ташкент и др.), истории ден. х-ва и горного дела, архитектуре, эпиграфике, историч. географии. Награждён орденом Трудового Красного Знамени.

Лит.: О в е з о в Д. М., Академик АН Туркменской ССР М. Е. Массой. [Биобиблиография], Аш., 1970.

МАССООБМЕН, самопроизвольный необратимый процесс переноса массы данного компонента в пространстве с неоднородным полем химич. потенциала этого компонента (в простейшем случае - с неоднородным полем концентрации или парциального давления этого компонента). В случае термодиффузии М. вызывается также разностью темп-р. М. между движущейся средой и поверхностью раздела с др. средой наз. массоотдачей. Массообменные процессы обычно многостадийны и включают как перенос вещества в пределах одной фазы, так и переход вещества через фазовую поверхность.

М. лежит в основе мн. технологич. процессов: ректификации, экстракции, абсорбции, адсорбции, сушки, изотопного обмена и др., к-рые широко используются для разделения веществ и для их очистки от вредных или балластных примесей.

При прохождении через аппарат потока вещества D, концентрация диффундирующего компонента в к-ром изменяется от у₁до у₂, количество вещества G = = D (у₁ - у₂), перешедшее за время т через межфазную поверхность F, определяется ур-нием массообмена

где Д с - ср. разность рабочих и равновесных концентраций фазы, движущая сила процесса М., к-рая может быть выражена через разности хнмич. потенциалов, концентраций, парциальных давлений и т. д.; К - коэффициент мас-сопередачи, численная величина к-рого определяется физико-химич. свойствами контактирующих фаз, конструкцией аппарата и гидродинамич. условиями процесса. При технологич. расчётах часто используется понятие объёмного коэффициента массопередачи, поскольку неизвестна истинная поверхность контакта фаз.

Лит.: Кафаров В. В., Основы массопередачи, М., 1972; Ра мм В. М., Абсорбция газов, М., 1966; Т рей бал Р., Жидкостная экстракция, пер. с англ., М., 1966; Франк-Каменецкий Д. А., Диффузия и теплопередача в химической кинетике, 2 изд., М.. 1967; Хоблер Т., Массопередача и абсорбция, пер. с польск., Л., 1964.

В.Л. Пебалк.

МАССООТДАЧА, процесс конвективного массообмена между движущейся средой и поверхностью раздела с другой средой (твёрдым телом, жидкостью или газом).

МАСС-СПЕКТРОМЕТРЫ, приборы для разделения ионизированных частиц вещества (молекул, атомов) по их массам, основанные на воздействии магнитных и электрич. полей на пучки ионов, летящих в вакууме. В М.-с. регистрация ионов осуществляется электрич. методами, в масс-спектрографах - по потемнению чувствит. слоя фотопластинки, помещаемой в прибор.

М.-с. (рис. 1) обычно содержит устройство для подготовки исследуемого вещества 1; ионный источник 2, где это вещество частично ионизуется и происходит формирование ионного пучка; массанализатор 3, в к-ром происходит разделение ионов по массам, точнее, обычно по величине отношения массы т иона к его заряду е; приёмник ионов 4, где ионный ток преобразуется в электрич. сигнал, к-рый затем усиливается и регистрируется. В регистрирующее устройство 6, помимо информации о количестве ионов (ионный ток), из анализатора поступает также информация о массе ионов. М.-с. содержит также системы электрич. питания ц устройства, создающие и поддерживающие высокий вакуум в ионном источнике и анализаторе. Иногда М.-с. соединяют с ЭВМ.

При любом способе регистрации ионов масс-спектр в конечном счёте представляет собой зависимость величины ионного тока I от т. Напр., в масс-спектре свинца (рис. 2) каждый из пиков ионного тока соответствует однозарядным ионам изотопов свинца. Высота каждого пика пропорциональна содержанию данного изотопа в свинце. Отношение массы иона к ширине от пика (в единицах массы) R = m/бm наз. разрешающей силой или разрешающей способностью М.-с. Поскольку ширина пика на разных уровнях относит, интенсивности ионного тока различна, величина R на разных уровнях также различна. Так, напр., в спектре рис. 2 в области пика изотопа ²⁰⁸Рb на уровне 10% относительно вершины пика R = 250, а на уровне 50% (полувысота) R = 380. Для полной характеристики разрешающей способности прибора необходимо знать форму ионного пика, к-рая зависит от мн. факторов. Иногда разрешающей способностью наз. значение той наибольшей массы, при к-рой два пика, отличающиеся по массе на 1, разрешаются до заданного уровня. Т. к. для мн. типов М.-с. R не зависит от отношения т/е, то оба приведённых определения R совпадают. Принято говорить, что М.-с. с R до 10² имеет низкую разрешающую силу, с R ~ 10²-10³- среднюю, с R ~ 10³ - 10⁴ - высокую, с R > 10⁴- 10⁵ - очень высокую.

Рис. 1. Скелетная схема масс-спектрометра: 1 - система подготовки и введения исследуемого вещества; 2 - ионный источник: 3 - масс-анализатор; 4 - приёмник ионов; 5 - усилитель; 6 - регистрирующее устройство; 7- ЭВМ; 8 - система электрического питания; 9 - откачные устройства. Пунктиром обведена вакуумируемая часть прибора.

Общепринятого определения чувствительности М.-с. не существует. Если исследуемое вещество вводится в ионный источник в виде газа, то чувствительностью М.-с. часто наз. отношение тока, создаваемого ионами данной массы заданного вещества, к парциальному давлению этого вещества в ионном источнике. Эта величина в приборах разных типов и с разными разрешающими способностями лежит в диапазоне от 10^-6 до 10^-3 а/мм рт. ст. Относит, чувствительностью наз. миним. содержание вещества, к-рое ещё может быть обнаружено с помощью М.-с. в смеси веществ. Для разных приборов, смесей и веществ она лежит в диапазоне от 10^-3 до 10^-7 %. За абс. чувствительность иногда принимают миним. количество вещества в г, к-рое необходимо ввести в М.-с. для обнаружения этого вещества.

Рис. 2. Масс-спектр ториевого свинца (бт_50% - ширина пика на полувысоте; бт 10% - ширина пика на уровне 1/10 от максимальной интенсивности).

Mace-анализаторы. В основе классификации М.-с. лежит принцип устройства масс-анализатора. Различают статич. и динамич. М.-с. В статич. масс-анализаторах для разделения ионов используются электрич. и магнитные поля, постоянные или практически не изменяющиеся за время пролёта иона через прибор. Разделение ионов является в этом случае пространственным: ионы с разными значениями т/е движутся в анализаторе по разным траекториям. В массспектрографах пучки ионов с разными величинами т/е фокусируются в разных местах фотопластинки, образуя после проявления следы в виде полосок (выходное отверстие ионного источника обычно делается в форме прямоугольной щели). В статич. М.-с. пучок ионов с заданным т/е фокусируется на щель приёмника ионов. Масс-спектр образуется (развёртывается) при изменении магнитного или электрич. поля, в результате чего в приёмную щель последовательно попадают пучки ионов с разными величинами т/е. При непрерывной записи ионного тока получается график с ионными пиками (рис. 2). Для получения в такой форме масс-спектра, зарегистрированного масс-спектрографом на фотопластинке, используются микрофотометры. На рис. 3 приведена схема распространённого статич. масс-анализатора с однородным магнитным полем. Ионы, образованные в ионном источнике, выходят из щели шириной S₁ в виде расходящегося пучка, к-рый в магнитном поле разделяется на пучки ионов с разными т/е(m_a/e;m_b/e;m_c/e), причём пучок ионов с массой ть фокусируется на щель S₂ приёмника ионов. Величина т_b/е определяется выражением:

где ть - масса иона (в атомных единицах массы), е - заряд иона (в ед. элементарного электрического заряда), r - радиус центральной траектории ионов (в см), Н - напряжённость магнитного поля (в э), V - приложенная разность потенциалов (в в), с помощью к-рой ускорены ионы в ионном источнике (ускоряющий потенциал).

Рис. 3. Схема статического магнитного анализатора с однородным магнитным полем; S₁ и S₂ - щели источника и приёмника ионов; ОАВ - область однородного магнитного поля Н, перпендикулярного плоскости рисунка, тонкие сплошные линии - границы пучков ионов с разными m/e; r - радиус центральной траектории ионов.

Развёртка масс-спектра производится изменением Н или V. Первое предпочтительнее, т. к. в этом случае по ходу развёртки не изменяются условия "вытягивания" ионов из ионного источника. Разрешающая способность такого М.-с.:

Если бы фокусировка ионов была идеальной, то в случае масс-анализатора, у к-рого X₁ = Х₂ (рис. 3), оч было бы в точности равно ширине щели источника S₁. В действительности б₁> S₁, что уменьшает разрешающую способность М.-с. Одной из причин уширения пучка является разброс в кинетич. энергии у ионов, вылетающих из ионного источника. Это в большей или меньшей степени неизбежно для любого ионного источника (см. ниже). Др. причинами являются: наличие у данного пучка значит, расходимости, рассеяние ионов в анализаторе из-за столкновения с молекулами остаточного газа, "расталкивание" ионов в пучке из-за одноимённости их зарядов. Для ослабления влияния этих факторов применяют "наклонное вхождение" пучка в анализатор и криволинейные границы магнитного поля. В нек-рых М.-с. применяют неоднородные магнитные поля, а также т. н. призменную оптику (см. Электронная и ионная оптика). Для уменьшения рассеяния ионов стремятся к созданию в анализаторе высокого вакуума (=<J10^-8 мм рт. ст. в приборах со средней и высокой величиной R). Для ослабления влияния разброса по энергиям применяют М.-с. с двойной фокусировкой, к-рые фокусируют на щель S₂ ионы с одинаковыми т/е, вылетающие не только по разным направлениям, но и с разными энергиями. Для этого ионный пучок пропускают не только через магнитное, но и через отклоняющее электрич. поле спец. формы (рис. 4).

Сделать S₁ и S₂ меньше неск. мкм технически трудно. Кроме того, это привело бы к очень малым ионным токам. Поэтому в приборах для получения высокой и очень высокой разрешающей способности приходится использовать большие величины r и соответственно длинные ионные траектории (до неск. м).

В динамич. масс-анализаторах для разделения ионов с разными т/е используют, как правило, разные времена пролёта ионами определённого расстояния. Существуют динамич. анализаторы, в к-рых используется сочетание электрического и магнитного полей, и чисто электрич. анализаторы. Для динамич. масс-анализаторов общим является воздействие на ионные пучки импульсных или радиочастотных электрич. полей с периодом, меньшим или равным времени пролёта ионов через анализатор. Предложено более 10 типов динамич. масс-анализаторов, в том числе время-пролётный (1), радиочастотный (2), квадрупольный (3), фарвитрон (4), омегатрон (5), магнито-резонансный (6), циклотронно-резонансный (7). Первые четыре анализатора являются чисто электрическими, в последних трёх используется сочетание постоянного магнитного и радиочастотного электрич. полей.

Рис. 4. Пример масс-анализатора с двойной фокусировкой. Пучок ускоренных ионов, вышедших из щели S₁ источника ионов, последовательно проходит через электрическое поле цилиндрического конденсатора, который отклоняет ионы на 90°, затем через магнитное поле, отклоняющее ионы ещё на 60°, и фокусируется в щель S₂ приёмника коллектора ионов.

Во время- п р о л ё т н о м М.-с. (рис. 5) ионы образуются в ионном источнике очень коротким электрич. импульсом и "впрыскиваются" в виде "ионного пакета" через сетку 1 в анализатор 2, представляющий собой эквипотенциальное пространство. "Дрейфуя" вдоль анализатора по направлению к коллектору ионов 3, исходный пакет "расслаивается" на ряд пакетов, каждый из к-рых состоит из ионов с одинаковыми т/е.

Рис. 5. Схема время-пролётного масс-анализатора. Пакет ионов с массами m₁ и т₂ (чёрные и белые кружки), "вброшенный " в анализатор через сетку 1, движется в дрейфовом пространстве 2 так, что тяжёлые ионы (m₁) отстают от лёгких (m₂); 3- коллектор ионов.

Расслоение обусловлено тем, что в исходном пакете энергия всех ионов одинакова, а их скорости и, следовательно, времена пролёта t анализатора обратно пропорциональны

Здесь V - ускоряющий потенциал, L - длина анализатора. Последовательность ионных пакетов, приходящих на коллектор, образует масс-спектр, к-рый регистрируется, напр, на экране осциллографа. В радиочастотном М.-с. (рис. 6) ионы приобретают в ионном источнике одинаковую энергию eV и проходят через систему последовательно расположенных сеточных каскадов. Каждый каскад представляет собой три плоскопараллельные сетки 1, 2, 3, расположенные на равном расстоянии друг от друга. К средней сетке относительно двух крайних приложено высокочастотное электрич. со поле U_вч. При фиксированных частоте этого поля и энергии ионов eV только ионы с определённым т/е имеют такую скорость v, что, двигаясь между сетками 1 я 2 в полупериоде, когда поле между ними является ускоряющим для ионов, они пересекают сетку 2 в момент смены знака поля и проходят между сетками 2 и 3 также в ускоряющем поле. Т. о., они получают макс, прирост энергии и попадают на коллектор. Ионы других масс, проходя эти каскады, либо тормозятся полем, т. е. теряют энергию, либо получают недостаточный прирост энергии и отбрасываются в конце пути от коллектора высоким тормозящим потенциалом U₃ В результате на коллектор попадают только ионы с определённым т/е. Масса таких ионов определяется соотношением:
 

Рис. 6. Схема радиочастотного масс-анализатора: 1, 2, 3 - сетки, образующие трёхсеточный каскад, на среднюю сетку 2 подано высокочастотное напряжение U_B4, Ионы с определённой скоростью и, следовательно, определённой массой, внутри каскада ускоряясь высокочастотным полем, получают больший прирост кинетической энергии, достаточный для преодоления тормозящего поля и попадания на коллектор.

где а - численный коэффициент, S - расстояние между сетками. Перестройка анализатора на регистрацию ионов др. масс осуществляется изменением либо начальной энергии ионов, либо частоты высокочастотного поля.

В квадрупольном М.-с. (рис. 7) разделение ионов осуществляется в поперечном электрич. поле с гиперболич. распределением потенциала. Поле создаётся квадрупольным конденсатором (квадруполем), состоящим из четырёх стержней круглого или квадратного поперечного сечения, расположенных симметрично относительно центр, оси и параллельно ей. Противолежащие стержни соединены попарно, и между парами приложены постоянная и переменная высокочастотные разности потенциалов. Пучок ионов вводится в анализатор вдоль оси квадруполя через отверстие 1. При фиксированных значениях частоты w я амплитуды переменного напряжения U₀только у ионов с определённым значением т/е амплитуда колебаний в направлении, поперечном оси анализатора, не превышает расстояния между стержнями. Такие ионы за счёт начальной скорости проходят через анализатор и, выходя из него через выходное отверстие 2, регистрируются, попадая на коллектор ионов. Сквозь квадруполь проходят ионы, масса которых удовлетворяет условию:

Рис. 7. Квадрупольный масс-анализатор: 1 и 2 - входное и выходное отверстия анализатора; 3- траектории ионов; 4- генератор высокочастотного напряжения.

где а - постоянная прибора. Амплитуда колебаний ионов др. масс нарастает по мере их движения в анализаторе так, что эти ионы достигают стержней и нейтрализуются. Перестройка на регистрацию ионов др. масс осуществляется изменением амплитуды U₀ или частоты со переменной составляющей напряжения.

В фарвитроне (рис. 8) ионы образуются непосредственно в самом анализаторе при ионизации молекул электронами, летящими с катода, и совершают колебания вдоль оси прибора между электродами 1 и 2, При совпадении частоты этих колебаний со с частотой переменного напряжения U_вч , подаваемого на сетку, ионы приобретают дополнит.

Рис. 8. Фарвитрон: 1 и 2 - электроды, между которыми колеблются ионы.

энергию, преодолевают потенциальный барьер и приходят на коллектор. Условие резонанса имеет вид:

где а - постоянная прибора. В динамич. М.-с. с поперечным магнитным полем разделение ионов по массам основано на совпадении циклотронком частоты вращения иона по круговым траекториям в поперечном магнитном поле с частотой переменного напряжения, приложенного к электродам анализатора. Так, в омега троне (рис. 9)

Рис. 9. Анализатор омегатрона.

под действием приложенных высокочастотного электрич. поля Е и постоянного магнитного поля Н ионы движутся по дугам окружности. Ионы, циклотронная частота к-рых совпадает с частотой ю поля Е, движутся по спирали и достигают коллектора. Масса этих ионов удовлетворяет соотношению:

m = aH/w. (7)

где а - постоянная прибора. В магнито-резонансном М.-с. (рис. 10) используется постоянство времени пролёта ионами данной массы круговой траектории. Из ионного источника 1 близкие по массе ионы (область траекторий к-рых I заштрихована), двигаясь в однородном магнитном поле Н, попадают в модулятор 3, где формируется тонкий пакет ионов, к-рые за счёт полученного в модуляторе ускорения начинают двигаться по орбите II. Дальнейшее разделение по массам осуществляется путём ускорения "резонансных" ионов, циклотронная частота к-рых кратна частоте поля модулятора. Такие ионы после неск. оборотов вновь ускоряются модулятором и попадают на коллектор ионов 2.

Рис. 10. Схема магнито-резонансного масс-анализатора; магнитное поле Н перпендикулярно плоскости рисунка.

В циклотрон но-резонансном М.-с. (рис. 11) происходит резонансное поглощение ионами электромагнитной энергии при совпадении циклотронной частоты ионов с частотой переменного электрич. поля в анализаторе; ионы движутся по циклоидам в однородном магнитном поле Н с циклотронной частотой орбитального движения:

w_с = еН/тс (8) (с - скорость света).

Разрешающая способность для каждого типа динамич. масс-анализаторов определяется сложной совокупностью факторов, часть из к-рых, напр, влияние объёмного заряда и рассеяния ионов в анализаторе, являются общими для всех типов М.-с., как динамических, так и статич. Для приборов (1) важную роль играет отношение времени, за к-рое ионы пролетают расстояние, равное ширине ионного пакета к общему времени пролёта ионами пространства дрейфа; для приборов (3)- число колебаний ионов в анализаторе и соотношение постоянной и переменной составляющих электрич. полей; для приборов (5)- число оборотов, к-рые совершает ион в анализаторе, прежде чем попадает на коллектор ионов и т. д. Для нек-рых типов динамич. М.-с. достигнута высокая разрешающая способность: для (1) и (3) R ~ 10³, для (6) R ~ 2,5-10⁴, для (7 )R ~ 2-10³.

Рис. 11. Циклотронно-резонансный масс-анализатор. Высокочастотное электрическое поле в области анализатора позволяет идентифицировать ионы с данной величиной т/е по резонансному поглощению энергии ионами при совпадении частоты поля и циклотронной частоты ионов.

Для М.-с. с очень высокой разрешающей способностью, а также для лабораторных приборов широкого назначения, от к-рых требуются одновременно высокая разрешающая способность, высокая чувствительность, широкий диапазон измеряемых масс и воспроизводимость результатов измерений, наилучшие результаты достигаются с помощью статич. М.-с. С др. стороны, в отд. случаях наиболее удобны динамич. М.-с. Напр., время-пролётные М. удобны для регистрации процессов длительностью от 10^-2 до 10^-5сек; радиочастотные М.-с. благодаря малым величинам веса, габаритов и потребляемой мощности перспективны в космич. исследованиях; квадрупольные М.-с. благодаря малым размерам анализатора, большому диапазону измеряемых масс и высокой чувствительности применяются при работе с молекулярными пучками (см. Молекулярные и атомные пучки). Магнито-резонансные М.-с. вследствие высоких значений R на низких уровнях интенсивности используются в геохимии изотопов гелия для измерения очень больших изотопных отношений.

Ионные источники. М.-с. классифицируются также по способам ионизации, в качестве к-рых используются: 1) ионизация электронным ударом; 2) фотоионизация; 3) ионизация в сильном электрич. поле (полевая ионная эмиссия), 4)ионизация ионным ударом (ионно-ионная эмиссия); 5) поверхностная ионизация; электрич. искра в вакууме (вакуумная искра); 6) ионизация под действием лазерного луча (см. Лазерное излучение).

В аналитич. масс-спектроскопии наиболее часто применяются благодаря относит, технич. простоте и достаточно большим создаваемым ионным токам способы: 1 - при анализе испаряемых веществ; 6- при работе с трудноиспаряемыми веществами и 5 - при изотопном анализе веществ с низкими потенциалами ионизации. Способ 6 благодаря большому энергетическому разбросу ионов обычно требует анализаторов с двойной фокусировкой даже для достижения разрешающей силы в неск. сотен единиц. Значения средних ионных токов, создаваемых ионным источником с ионизацией электронным ударом при энергии ионов в 40-100 эв и ширине щели источника~ неск. десятков мкм (типичной для лабораторных М.-с.), составляют 10^-10-10^-9а. Для др. способов ионизации эти токи обычно меньше. "Мягкая" ионизация, т. е. ионизация молекул, сопровождаемая незначит. диссоциацией ионов, осуществляется с помощью электронов, энергия к-рых лишь на 1-З эв превосходит энергию ионизации молекулы, а также с использованием способов 2, 3, 4. Получаемые при "мягкой" ионизации токи обычно~10^-12 - 10^-14а.

Регистрация ионных токов. Величины ионных токов, создаваемых в М.-с., определяют требования к их усилению и регистрации. Чувствительность применяемых в М.-с. усилителей ~10^-15- 10^-16 а при постоянной времени от 0,1 до 10 сек. Дальнейшее повышение чувствительности или быстродействия М.-с. достигается применением электронных умножителей, к-рые повышают чувствительность измерения токов в М.-с. до 10^-18-10^-19 а.

Примерно те же значения чувствительности достигаются при использовании фотографич. регистрации ионов за счёт длительной экспозиции. Однако из-за малой точности измерения ионных токов и громоздкости устройств введения фотопластинок в вакуумную камеру анализатора фоторегистрация масс-спектров сохранила определ. значение лишь при очень точных измерениях масс, а также в тех случаях, когда необходимо одновременно регистрировать все линии масс-спектра из-за нестабильности источника ионов, напр, при элементном анализе в случае ионизации вакуумной искрой.

В СССР разрабатывается и выпускается много различной масс-спектральной аппаратуры. Принятая система индексов для М.-с. классифицирует приборы в основном не по типу устройства, а по назначению. Индекс состоит из двух букв (МИ - М.-с. изотопный, MX - для химич. анализа, МС - для физико-химических, в т. ч. структурных, исследований, MB - прибор с высокой разрешающей способностью) и четырёх цифр, из к-рых первая указывает на используемый метод разделения ионов по массам (1- в магнитном однородном поле, 2- в магнитном неоднородном, 4 - магнито-динамический, 5 - время-пролётный, 6 - радиочастотный), вторая - на условия применения (1 - индикаторы, 2 - для производств, контроля, 3- для лабораторных исследований, 4 - для спец. условий), а последние две являются номером модели. На рис. 12 показаны два М.-с., изготовленные в СССР. За рубежом М.-с. выпускаются неск. десятками фирм (США, Японии, ФРГ, Великобритании, Франции и Швеции).

Лит.: Астон Ф., Масс-спектры и изотопы, пер. с англ., М., 1948; Р а ф а л ь с о н А. Э., Шерешевский А. М., Mace-спектрометрические приборы, М.- Л., 1968; Бейнон Дж., Масс-спектрометрия и её применение в органической химии, пер. с англ., М., 1964; Материалы I Всесоюзной конференции по масс-спектрометрии, Л., 1972; Д ж е и р а м Р., Масс-спектрометрия. Теория и приложения, пер. с англ., М., 1969; Полякова А. А., Хмельницкий Р. А., Масс-спектрометрия в органической химии, Л., 1972.

В. Л. Тальрозе.

Рис. 12. На столе большого масс-спектрометра с двойной фокусировкой для структурно-химического анализа МС-3301 с разрешающей силой R ~ 5 • 10⁴ лежит миниатюрный масс-спектрометр МХ-6407М (обведён квадратом), применявшийся для исследований ионосферы на искусственных спутниках Земли.

МАСС-СПЕКТРОСКОПИЯ, масс-спектрометрия, масс-спектральный анализ, метод исследования вещества путём определения масс ионов этого вещества (чаще отношений масс ионов к их зарядам) и их количеств. Совокупность значений масс и их относит, содержаний наз. масс-спектром (рис. 1). В М.-с. используется разделение в вакууме ионов разных масс под воздействием электрич. и магнитных полей (см. Масс-спектрометры). Поэтому исследуемое вещество прежде всего подвергается ионизации. Процесс ионизации исключается при изучении ионного состава уже ионизованных газов, напр, в электрич. разряде или в ионосферах планет. В случае жидких и твёрдых веществ их либо предварительно испаряют, а затем ионизуют, либо же применяют поверхностную ионизацию, при к-рой образовавшиеся ионы вылетают в вакуум (см. Ионная эмиссия). Чаще исследуются положит. ионы, т. к. существующие методы ионизации позволяют получать их более простыми путями и в больших количествах, чем отрицательные. Однако в ряде случаев исследуют и отрицат. ионы.

Рис. 1. Масс-спектрограмма (а), полученная на масс-спектрографе с двойной фокусировкой, и фотометрическая кривая этой спектрограммы (б) в области массового числа 20.

Первые масс-спектры были получены в Великобритании Дж. Дж. Томсоном (1910), а затем Ф. Астпоном (1919). Они привели к открытию стабильных изотопов. Вначале М.-с. применялась преим. для определения изотопного состава элементов и точного измерения атомных масс. М.-с. до сих пор является одним из осн. методов, с помощью к-рых получают данные о массах ядер и атомных массах элементов. Вариации изотопного состава элементов могут быть определены с относит, погрешностью ±10^-2 %, а массы ядер - с относит, погрешностью ±10^-5 % для лёгких и ±10^-4 % для тяжёлых элементов.

Высокая точность и чувствительность М.-с. как метода изотопного анализа привели к её применению и в др. областях, где существенно знание изотопного состава элементов, прежде всего в ядерной технике. В геологии и геохимии масс-спектральное определение изотопного состава ряда элементов (свинца, аргона и др.) лежит в основе методов определения возраста горных пород и рудных образований (см., напр., Геохронология). М.-с. широко используется в химии для элементного и молекулярного структурного анализа. Первые применения М.-с. в области химии связаны с работами В. Н. Кондратьева (1923).

Mace-спектральный анализ элементного состава вещества особенно точен, когда это вещество испаряется в виде исходных нераспавшихся молекул и заметная доля этих молекул не распадается в ионном источнике масс-спектрометра. Тогда, применяя масс-спектрометры с высокой разрешающей способностью, можно, напр., однозначно определить число атомов С, Н, О и др. в молекуле органич. вещества по массе молекулярного иона. Для анализа элементного состава труднолетучих веществ применяют ионизацию методом вакуумной искры. При этом достигается высокая чувствительность (~10^-5-10^-7 % ) и универсальность при умеренной точности в определении содержания компонент (от неск. % до десятых долей %). Качественный молекулярный масс-спектральный анализ смесей основан на том, что масс-спектры молекул разного строения различны, а количественный - на том, что ионные токи от компонент смеси пропорциональны содержаниям этих компонент.

Точность количеств, молекулярного анализа в лучшем случае достигает точности изотопного анализа, однако часто количественный молекулярный анализ затруднён из-за совпадения по массе различных ионов, образующихся при обычной и диссоциативной ионизации разных веществ. Для преодоления этой трудности в масс-спектрометрах используют "мягкие" способы ионизации, дающие мало осколочных ионов, либо же комбинируют М.-с. с др. методами анализа, особенно часто с газовой хроматографией. Молекулярный структурный масс-спектральный анализ основан на том, что при ионизации вещества нек-рая доля молекул превращается в ионы, не разрушаясь, а нек-рая доля при этом распадается на осколки - фрагменты (диссоциативная ионизация, фрагментация). Измерение масс и относит, содержания молекулярных и осколочных ионов (молекулярного масс-спектра) даёт информацию не только о молекулярной массе, но и о структуре молекулы.

Теория молекулярного структурного масс-спектрального анализа при наиболее часто применяемом способе ионизации электронным ударом (электроны с энергией, в неск. раз превосходящей энергию ионизации) основана на представлении об образовании при таком ударе возбуждённого молекулярного иона, распадающегося затем с разрывом более слабых связей в молекуле (см. Химическая связь). Состояние теории не даёт пока возможности количественно предсказать масс-спектр молекулы и необходимые для количеств, анализа коэфф. чувствительности прибора к разным веществам. Поэтому для определения неизвестной структуры молекулы по её масс-спектру и для качеств, анализа используют корреляц. данные по масс-спектрам веществ разных классов, а для грубой оценки коэфф. чувствительности - практически линейную связь между суммарной вероятностью ионизации и молекулярной массой для не слишком тяжёлых молекул одного гомологич. ряда. Поэтому при молекулярном масс-спектральном анализе, когда это только возможно, всегда проводят градуировку прибора по известным веществам или смесям известного состава (при определении изотопного состава, вследствие относительно малой разницы в вероятностях ионизации или диссоциации сравниваемых частиц, анализ иногда возможен без градуировки по смесям известного состава).

В физико-химич. исследованиях М.-с. применяется при исследованиях процессов ионизации, возбуждения частиц и др. задач физич. и химич. кинетики; для определения потенциалов ионизации, теплот испарения, энергий связи атомов в молекулах и т. п. С помощью М.-с. проведены измерения нейтрального и ионного состава верхней атмосферы Земли (возможны аналогичные измерения состава атмосфер др. планет). М.-с. начинает применяться как экспрессный метод газового анализа в медицине (рис. 2). Принципы М.-с. лежат в основе устройства наиболее чувствит. течеискателей. Высокая абс. чувствительность метода М.-с. позволяет использовать его для анализа очень небольшого количества вещества (~10^-13 г).

Лит. см. при ст. Масс-спектрометры.

В. Л. Тальрозе.

Рис. 2. Применение масс-спектрометрического газоанализатора МХ-6202 для анализа выдыхаемого газа.

МАССУЛЫ (от лат. massula - комок, кусочек), 1) затвердевшее вещество периплазмодия нек-рых папоротников (сальвиниевых), в к-рое погружены микро- и мегаспоры. 2) Склеившаяся масса пыльцы в пыльцевом гнезде; то же, что поллиний.

МАССЫ СОХРАНЕНИЯ ЗАКОН, см. Масса.

МАСТАБА (араб., букв. - каменная скамья), современное название др.-егип. гробниц периодов Раннего (ок. 3000- ок. 2800 до н. э.) и Древнего (ок. 2800- ок. 2250 до н. э.) царств. Состоит из соединённых вертикальной шахтой наземного прямоугольного в плане сооружения с наклонёнными к центру стенами и подземной погребальной камеры с неск. помещениями. Снаружи стены М. Раннего царства облицовывали кирпичом (I династия) или камнем (II династия), членили нишами, ярко раскрашивали (гробница царицы Хер-Нейт в Саккаре). В М. Древнего царства наземная часть имеет строгий наружный объём с гладкими стенами и сложную внутр. планировку (залы, коридоры, кладовые; гробница начальника сокровищницы Ахетхотепа и его сына Птаххотепа в Саккаре, эпоха V династии). Во внутр. помещениях М. располагались статуи (вместилища душ умерших), стены покрывались рельефами и росписями.

Лит.: Всеобщая история архитектуры, т. 1, М., 1970.

МАСТАРА, село в Талинском р-не Арм. ССР. В М. сохранилась церковь Иоанна (кон. 6 - нач. 7 вв.) - вариант крестово-купольного храма ср.-век. Армении. Церковь представляет собой центрич. здание с широким куполом (по диаметру 11,2 м) на тромпах и с выступающими извне 4 апсидами. Расчленённой объёмно-пространственной композиции церкви свойственна подчёркнутая пластич. выразительность. Илл. см. также т. 2, стр. 241.

Мастара. Церковь Иоанна. Кон. 6 - нач. 7 вв.

МАСТЕР (должность), в СССР руководитель производств, участка. В зависимости от величины и производств, структуры цеха подчиняется нач. цеха, смены, пролёта или старшему М., к-рый руководит не менее чем тремя М. Осуществляет связь между аппаратом управления и рабочими. М. подчиняются основные и вспомогат. рабочие участка, а также служащие - учётчики, распределители, кладовщики. Он обеспечивает выполнение плановых заданий путём наиболее рационального распределения работ между исполнителями и оптимальной загрузки оборудования. В своих решениях М. руководствуется текущими планами и оперативными графиками произ-ва, календарно-плановыми нормативами, маршрутными и операционными технологич. картами, эксплуатац. данными оборудования и квалификац. характеристиками рабочих. М. применяет аппаратуру дистанц. контроля за работой оборудования, средства вызывной и поисковой сигнализации, пром. телевидение, счётные машины. В процессе руководства участком он использует организационно-адм., экономич. и воспитат. методы, содействует развитию социалистич. соревнования и распространению передового производств, опыта, участвует в пересмотре норм выработки и расценок, присвоении рабочим разрядов, поощряет отд. работников или налагает на них дисциплинарные взыскания, премирует из фонда М. и др.

B.C. Рапопорт.

МАСТЕР СПОРТА СССР, спортивное звание, учреждённое постановлением Высшего совета физич. культуры при ЦИК СССР в 1935, присваивается пожизненно спортсменам, выполнившим на официальных соревнованиях установленные Единой Всесоюзной спортивной классификацией для этого звания нормы и требования. В 1935-72 звание М. с. присвоено 93,2 тыс. спортсменам. В 1965 в целях стимулирования роста мастерства сов. спортсменов на уровне совр. достижений в мировом спорте Центр, советом союза спортивных обществ и организаций СССР установлено звание М. с. междунар. класса, к-рое присваивается спортсменам - победителям и призёрам Олимпийских игр, чемпионатов мира, Европы, СССР, а также крупнейших официальных междунар. соревнований. К концу 1972 в СССР было 2,3 тыс. М. с. междунар. класса.

В 1934 постановлением ЦИК СССР учреждено почётное звание заслуженного М. с. СССР, к-рое присваивается спортсменам, добившимся выдающихся достижений на междунар. и всесоюзных соревнованиях и активно участвующим в развитии физической культуры и спорта, завоевавшим звания чемпиона Олимпийских игр, мира или Европы (дважды). В 1934-72 звание заслуженного М. с. СССР присвоено 1874 спортсменам. Среди первых заслуженных М. с.: М. П. Бутусов (футбол), Д. М. Васильев (лыжный спорт), Н.С. Теплякова (теннис), П.А. Романовский (шахматы), М. Г. Шаманова (лёгкая атлетика), Я. Ф. Мельников (конькобежный спорт). Спортсменам, к-рым присвоены звания М. с., мастер спорта междунар. класса, заслуженный М. с. СССР, выдаётся нагрудный значок и удостоверение.

С. Л. Аксельрод.

МАСТЕР ЦЕХОВОЙ (нем. Meister), мелкий экономически самостоят, производитель-ремесленник в ср. века, полноправный член цеха. Работал в собств. мастерской как ремесленник, имея в подчинении подмастерьев и учеников. С развитием ремесленного произ-ва среди мастеров происходило расслоение - разорение одних и обогащение других.

МАСТЕРС (Masters) Эдгар Ли (23.8. 1869, Гарнетт, шт. Канзас, - 5.3.1950, Филадельфия), американский писатель. До 1920 был адвокатом. Известность М. принесла "Антология Спун-ривер" (1915) - сборник эпитафий, в к-рых обрисованы нравы и монотонное существование провинц. городка. М.- автор романов и беллетризованных биографий (об А.Линкольне, 1931; У. Уитмене, 1937, и др.), не свободных от дурной сенсационности.

Соч.: Mitch Miller, L., 1920; The new Spoon river, N. Y., 1924; Mark Twain, N. Y., 1938; The Sangamon, N. Y., 1942; в рус. пер., в кн.: Слышу, поёт Америка, М., 1960.

Лит.: Попов И., Сэм Джинкс на сверхсрочной, "Знамя", 1970, № 7; Б р у к с В. В., Писатель и американская жизнь, т. 2, М., 1971, с. 115-18; Derleth A., Three literary men, N. Y. - Copenhagen, 1963.

"МАСТЕРСКАЯ НАРОДНОЙ ГРАФИКИ" (Taller de Grafica Popular, TGP), объединение мексиканских графиков, гл. обр. гравёров на линолеуме. Осн. в 1937 в Мехико Л. Мендесом, П. О'Хиггинсом и Л. Ареналем при поддержке Д. Сикейроса. Членами "М. н. г." стали А. Бельтран, А. Гарсиа Бустос, А. Сальсе, Р. Ангиано, И. Агирре, А. Брачо, А. Мехиак, А. Гомес и др. "М. н. г." сложилась как коллектив мастеров нац.-демократич. реалистич. иск-ва, поставивших перед собой задачи социальной борьбы. Для творчества членов "М. н. г.", ряд к-рых испытал влияние европ. политич. графики 2-й пол. 19- 20 вв., характерны обращение к нар. мотивам, ярко эмоциональный строй, художеств, выразительность, во многом связанная со стилем, разработанным мекс. монументалистами. Под коллективным грифом "М. н. г." выпускались серии антнфаш. плакатов, а также альбомы гравюр и литографий, поев, истории и современности Мексики, борьбе народов за мир и свободу (альбомы: "Франкистская Испания", 1938; "Чёрная книга нацистского террора в Европе", 1943-44; "Образы мексиканской революции", 1947; "Конституция 1857 года", 1957). В 1953"М. н. г." была удостоена Междунар. премии Мира. Объединение распалось в 60-х гг.

А. Гарсиа Бустос. "Политические заключённые в Гватемале". Линогравюра. 1957.

Лит.: Фрид Н., Графика Мексики, М., 1960; Полевой В. М., Искусство стран Латинской Америки, М., 1967, с. 140-146, 226-241; Taller de Grafica Popular... [Album], Мех., 1949 (на исп. и англ. яз.).

В. М. Полевой.

МАСТЕР-ШТАМП, инструмент, предназначенный для изготовления (штамповки) штампов или их деталей - пуансонов, матриц и вставок. Горячая штамповка гравюры штампа с помощью М.-ш. вместо фрезерования повышает эксплуатац. стойкость штампа и существенно снижает стоимость его изготовления, т. к. сокращается объём механич. обработки. Гравюру М.-ш. получают фрезерованием и после термич. обработки (до твёрдости HRC 60) полируют. В одном М.-ш. можно получить до 150- 200 изделий.

МАСТИКОВАЯ СМОЛА, то же, что мастике.

МАСТИКОВОЕ ДЕРЕВО, фисташка мастиковая (Pistacia lentiscus), невысокое вечнозелёное двудомное дерево или кустарник сем. сумаховых. Листья парноперистые с крылатыми черешками. Цветки мелкие, в плотных кистевидных соцветиях. Плоды - небольшие костянки диам. 4-5 мм, с остриём на верхушке. Дико растёт в Средиземноморье на сухих каменистых склонах в составе маквиса. При подсочке ствола М. д. выделяется ароматичная смола - мастике. Из плодов получают масло, пригодное в пищу и используемое в технике, из листьев - дубильные вещества и жёлтую краску. В СССР М. д. изредка культивируют как декоративное на Кавказе и в Юж. Крыму.

МАСТИКС, мастиковая см ол а, получаемая подсочкой стволов мастикового дерева. В отвердевшем виде представляет собой желтоватые каплеобразные комочки; очень ароматичен. Состоит из эфирного масла (2 - 3 %), смоляных к-т (ок. 42%), горечи мастицина (5%) и углеводородов резенов (ок. 50% ). Благодаря присутствию смоляных к-т М. обладает антисептическим свойством. Используется при произ-ве лаков, а также в виде настоек для полоскания полости рта и как связывающее вещество при приготовлении пилюль и пластырей.

МАСТИТ (от греч. mastds - сосок, грудь), грудница, воспаление молочной железы. У женщин, гл. обр. первородящих, наблюдается в период кормления ребёнка, однако может развиться и перед родами, а также вне зависимости от беременности и родов, реже встречается у девушек и даже у мужчин. Особую форму М. представляет т. н. грудница новорождённых - нагрубание у новорождённого молочных желез (независимо от пола младенца), связанное с переходом лактогенных гормонов из крови матери.

Течение М. острое, реже -хроническое. Осн. причины - застой молока, плохое опорожнение железы при кормлении, трещины соска. Попадая в такие условия, микробы, проникающие по лимфатич. путям и молочным ходам в железу, вызывают её воспаление. Возбудитель - стафилококк, стрептококк инек-рые др.- проникает в железу изо рта ребёнка, через загрязнённое бельё, при несоблюдении гигиенич. правил ухода за молочной железой в период беременности и кормления. Трещины сосков образуются при недостаточно эластичной коже, окружающей сосок, вследствие плохой подготовки сосков перед родами или неправильной техники кормления. Признаками М. являются уплотнение (нагрубание) железы, покраснение кожи, распирающая боль, повышение темп-ры. При прогрессировании воспаления железа увеличивается, кожа становится напряжённой, горячей на ощупь. Образование абсцесса под кожей, в толще железы или позади неё, характеризуется размягчением уплотнения (инфильтрата), повышением темп-ры тела, кормление становится резко болезненным, к молоку иногда примешивается гной. Ограничение или прекращение кормления усугубляет воспаление. При пониженной сопротивляемости или при несвоевременном и нерациональном лечении процесс может приобрести флегмонозный и даже гангренозный характер. Лечение: в нач. стадии - холод на железу, антибиотики, новокаиновая блокада, полное опорожнение железы от молока (систематич. кормление больной грудью и тщательное сцеживание молока). При нагноении - вскрытие гнойника; при этом кормление поражённой грудью прекращают; молоко сцеживают молокоотсосом. Профилактика: подготовка сосков к кормлению, при образовании трещин - их лечение; профилактика застоя молока (сцеживание после каждого кормления), тщательное соблюдение правил кормления ребёнка (чистота рук матери, сосков, правильное прикладывание к груди: ребёнок должен полностью захватывать сосок вместе с околососковым кружком). Грудница новорождённых проходит через 3-4 недели без лечения. Нельзя выдавливать жидкость из молочных желез. Необходима строжайшая чистота.

Лит.: Войно-Ясенецкий В. Ф., Очерки гнойной хирургии, 3 изд., М.- Л., 1956.

А. Б. Галицкий.

У животных М. болеют самки всех видов животных; чаще - коровы и козы в первые недели после отёла (окота) и во время запуска. Предрасполагающие факторы: ушибы, ранения вымени, нарушение технологии машинного доения, болезни жел.-киш. тракта, родовых путей. Клинич. признаки зависят от тяжести процесса и характеризуются общим угнетением, повышением темп-ры тела, резким снижением удоев, уплотнением и болезненностью поражённой части вымени. При сдаивании поражённых четвертей вымени в молоке обнаруживают сгустки и хлопья казеина, в тяжёлых случаях - водянистый экссудат с хлопьевидными сгустками, иногда примесью гноя и крови. Больным животным предоставляют покой, в рационе сокращают кол-во сочных кормов. Назначают антимикробные средства (внутрь и местно); холод, тепло, ионофорез, массаж. Профилактика: отбор коров с учётом пригодности их для машинного доения, полноценное кормление, соблюдение режима доения, своевременный и правильный запуск коров, систематич. исследование коров с целью выявления скрытых М.

У овец и коз наблюдаются также инфекционные М., вызываемые специфич. возбудителями Bact. mastitidis ovis и Bact. mastitidis capri. Болеют преим. первородящие матки. Источником возбудителя инфекции являются больные и переболевшие животные. Заражение лактирующих животных происходит при попадании возбудителя в сосковый канал или через повреждённую кожу вымени. Болезнь протекает с тяжёлыми клинич. признаками и часто заканчивается летально. Переболевшие приобретают стойкий иммунитет.

Лит.: Гейдрих Г. иРенк В., Маститы сельскохозяйственных животных и борьба с ними, пер. с нем., М., 1968.

МАСТИФФ (англ, mastiff, от лат. mansuetus - ручной, приручённый), старинная английская порода догообразных собак. Использовалась для охоты на крупных зверей, охраны стад, "собачьих боёв". Совр. М. выведен в 19 в. в Ирландии. Это крупная (рост кобелей 75-85 см), широкотелая, массивная собака с короткой шерстью рыже-жёлтого, бурого или коричневого окраса (часто с тёмными тигровыми полосами). Используется как сторожевая, в основном в Ирландии и Великобритании.

МАСТИХИН (от итал. mestichino), тонкая упругая стальная (реже роговая) пластинка в виде лопаточки или ножа. М. применяется преим. в масляной живописи для удаления красок с отд. участков полотна, нанесения грунта, дополнит, перетирания красок, чистки палитры. Иногда М. пользуются вместо кисти для нанесения краски ровным тонким слоем или рельефным мазком.

МАСТОДОНЗАВР (Mastodonsaurus), гигантское вымершее земноводное (длина тела до 5 м) надотряда лабиринтодонтов. Голова непропорционально большая, треугольной формы, с несколько удлинённой рыльной частью и очень большими орбитами; туловище широкое и плоское, конечности короткие. Известен из среднего и позднего триаса Центр. Европы и Юж. Приуралья. М.- придонные хищники, обитавшие в пресных водоёмах.

МАСТОДОНТЫ (от греч. mastos - сосок и odus, род. падеж odontos - зуб), большая своеобразная группа вымерших млекопитающих отр. хоботных. Жили в позднем палеогене - антропогене; в Европе и Азии вымерли в конце неогена, в Африке и Сев. Америке - в антропогене. Вые. 1,5-3,2 м. Различают бугорчатозубых М., у к-рых коронки зубов состоят из отдельных соскообразных бугорков (отсюда назв.), и г р е б н е з у б ы х М., у к-рых бугорки на зубах образуют поперечные гребни. Древние М. имели по паре бивней (увеличенных резцов) в верхней и нижней челюсти, поздние М.- одну пару бивней в верх, челюсти. Эволюция М. шла по пути увеличения массивности скелета (включая череп). М. принадлежали к разным эко-логич. типам (обитали на болотах, в лесах и лесостепи). Остатки М. на терр. СССР обнаружены в Казахстане, Ср. Азии и на юге Европ. части. От гребнезубых М. произошли слоны. М. имеют значение для стратиграфии континентальных отложений кайнозоя.

Лит.: Основы палеонтологии. Млекопитающие, М., 1962.

МАСТОИДИТ (от греч. mastoeides - сосцевидный), воспаление ячеек сосцевидного отростка височной кости, захватывающее слизистую оболочку и костную ткань. Чаще М.- осложнение гнойного воспаления среднего уха. Первичный М. возникает вследствие травм отростка и при проникновении инфекции гематогенным путём при сепсисе, сифилисе, туберкулёзе. М. проявляется резкой болезненностью при надавливании на передне-верхний отдел отростка или его верхушку, покраснением кожи, припухлостью, пастозностью и оттопыриванием ушной раковины кпереди и книзу. У детей темп-pa повышается до 39 - 40 ^оС, у взрослых часто остаётся нормальной. Лечение: антибиотики. При длительном (3-4 недели), обильном гноетечении из уха и при первых признаках перехода инфекции на лабиринт и на мозговые оболочки - операция.

МАСТРОЯННИ (Mastroianni) Марчелло (р. 28.9.1923, Фонтана-Лири, близ Фрозиноне), итальянский киноактёр. Был рабочим, участвовал в любительских спектаклях, затем режиссёр Л. Висконти пригласил М. в свою драматич. труппу. Первая большая роль в кино - Эрколе ("Августовское воскресенье", 1949). В 50-е гг. снимался преим. в комедийных фильмах ("Девушки с площади Испании", 1951; "Дни любви", 1954; "Один гектар неба", 1959, и др.). Одна из первых значит, ролей - Уго в антифаш. фильме "Повесть о бедных влюблённых" (1953), В фильме "Белые ночи" (по Ф. М. Достоевскому) играл роль Мечтателя. М. создал в фильмах режиссёров Ф. Феллини (Марчелло -"Сладкая жизнь", 1959, Гу и до Ансельми -"Восемь с половиной", 1962) и М. Антониони (Джованни - "Ночь", 1960) образы совр. западного интеллигента - журналиста, писателя, режиссёра, человека, мятущегося в безжалостном и жестоком бурж. мире, но безвольно и пассивно подчиняющегося его законам. В фильме "Товарищи" (1963) убедительно и реалистически сыграл роль учителя-социалиста, вожака одной из первых забастовок итал. рабочего класса. С успехом снимался в комедиях нравов - "Вчера, сегодня, завтра" (1963), "Брак по-итальянски" (1964), в острой социальной сатирич. комедии реж. П. Джерми "Развод по-итальянски" (1961). Сыграл роль итальянца-военнопленного Антонио, нашедшего вторую родину в СССР ("Подсолнухи", 1971).

М. Мастроянни в фильме "Восемь с половиной". 1962. Реж. Ф. Феллини.

Лит.: Сокольская А. Л., Марчелло Мастроянни, в кн.: Актёры зарубежного кино, в. 2, Л.- М., 1965.

Г. Д. Богемский.

МАСТУРБАЦИЯ (новолат. masturba-tio, от лат. manus - рука и stupro - оскверняю), рукоблудие, искусственное раздражение половых органов с целью достижения оргазма; то же, что онанизм.

МАСТЬ животных, окраска, определяемая пигментацией кожи и кожных покровов (кроющего волоса, шерсти, щетины). Окраска диких животных имеет приспособительный характер и в пределах одного вида обычно одинакова, с очень небольшими индивидуальными отклонениями, поэтому термин "М." по отношению к диким животным не употребляется. У домашних животных приспособит, характер М. в основном потерял своё значение. Мн. породы с.-х. животных (напр., мериносовые и романовские овцы, крупная белая порода свиней и др.) имеют определённую, довольно стандартную М., т. к. в процессе длит, племенной работы проводили отбор и подбор животных по этой М. У таких пород М.- существ, признак в определении чистопородности. М. имеет хоз. значение в смушковом и тонкорунном овцеводстве, кролиководстве и звероводстве, т. к. наряду с др. признаками определяет ценность смушка, меха, шерсти. Наибольшим разнообразием отличаются М. лошадей, носящие зачастую специфич. названия, отличные от названия цвета окраски. Напр., чёрный волосяной покров - вороная М.; коричневый корпус при чёрной окраске ног, гривы и хвоста - гнедая; песочно-жёлтый корпус при тёмной окраске ног, гривы и хвоста - буланая; чёрное туловище, голова и ноги, рыжие подпалины на конце морды, вокруг глаз, под брюхом - караковая; по белому корпусу чёрные или коричневые пятна или по тёмному белые пятна - чубарая и т. п. У жеребят при рождении, как правило, более тёмные оттенки М. У лошадей всех М. могут встречаться небольшие отметины на голове и ногах. Умение точно распознавать и описывать М. важно при составлении зоотехнич. документов на животных.

Лит.: Книга о лошади, под ред. С.М. Буденного, т. 1, М., 1952.

А. С. Красников.

МАСУ (Oncorhynchus masu), рыба рода тихоокеанских лососей; то же, что сима.

МАСУДИ, аль-Масуди Абу-ль-Хасан Али ибн аль-Хусейн (кон. 9 в., Багдад,-956 или 957, Фустат, Египет), арабский историк и путешественник. В 915-945 посетил Иран, Индию, Цейлон, Сев. Африку, Азербайджан, Армению, затем жил в Сирии и Египте. Из значит, числа работ (св. 20) по различным отраслям знаний (истории, философии, му-сульм. богословию и праву) сохранилось две. Наиболее важно соч. "Промываль-ни золота и рудники самоцветов" ("Му-рудж аз-захаб ва маадин аль-джавахир"), содержащее сведения о земле, морях и горах, описание различных народов (в т. ч. славян), полулегендарные рассказы о древних греках, римлянах, историю арабов до 40-х гг. 10 в. Соч. М.- важный источник по истории Араб, халифата, народов Вост. Европы 10 в., Кавказа и Ср. Азии.

Соч.: Macoudi, Les prairies d'or, text et trad, par C. Barbier de Meynard et Pavet de Courteille, t. 1-9, P., 1861-77; то же, revue et corrigee par Ch. Pellat, t. 1-2, P., 1962-65; Kitab at-tanbih wa'l ischraf auctore al-Masudi, B. G. A., pt. 8, Lugduni Batavorum, 1894.

Лит.: Крачковский И. Ю., Арабская географическая литература, Изор. соч., т. 4, М.- Л., 1957; Минорский В. Ф., История Ширвана и Дербенда X-XI веков, М., 1963 (приложение 3); Al-Masudi millenary commemoration volume, ed. by S. Maqbul Ahmad and A. Rahman, [Aligarch], 1960.

В. М. Бейлис.  

МАСУЛИПАТНАМ, город в Индии; см. Мачхалипаттанам.

МАСУМИ Носирджон Асадович [р. 19. 4 (2.5). 1915, с. Каратаг, ныне Гиссарского р-на], советский литературовед, засл. деят. науки Тадж. ССР (1960), чл.-корр. АН Тадж. ССР (1969). Чл. КПСС с 1945. В 1940 окончил лит. ф-т Пед. ин-та им. Т.Г. Шевченко (Душанбе), с 1940 преподаёт в этом ин-те. Директор Ин-та языка и лит-ры им. Рудаки АН Тадж. ССР (1959-72); академик-секретарь Отделения обществ, наук АН Тадж. ССР (с 1971). Лит. деятельность начинал как поэт в 1935; с 1940 выступал преим. как литературовед. В 1944 вышла отд. изданием поэма М. "Страна счастья". Опубл. уч. пособия для вузов: "Таджикский фольклор" (1952) и "Методика преподавания литературы в V-VIII классах" (1960); в 1961 издал монографию о творчестве поэта М. Рахими, в 1962- кн. "Таджикская литература XVIII века и первой половины XIX века". Деп. Верх. Совета Тадж. ССР 6-7-го созывов, чл. Президиума Верх. Совета Тадж. ССР (1967-71). Награждён 2 орденами, а также медалями.

Соч.: Чахонбиий ва майорат, Душанбе, 1966.

МАСХАРАБОЗ (тадж. - шут, скоморох), актёр таджикского нар. театра, площадной комедиант. М. разыгрывали комедийные, сатирич. сценки, исполняли сказки, танцы, песни и т. п. Импровизируя текст на основе сюжетной схемы, М. (любители и профессионалы) создавали образы, исполненные жизнерадостной стихии нар. иск-ва. Среди наиболее известных М. конца 19 - нач. 20 вв.- Хакберди, Холик, Джума, Туда. С 1920-х гг. иск-во М. в значит, степени оттеснено проф. театром.

Лит.: Нурджанов Н., Таджикский народный театр, М., 1956.

МАСШТАБ (нем. MaBstab, от МаВ - мера, размер и Stab - палка),отношение длины отрезков на чертеже, плане, аэрофотоснимке или карте к длинам соответствующих им отрезков в натуре. Определяемый так численный М. - отвлечённое число, большее 1 в случаях чертежей мелких деталей машин и приборов, а также многих микрообъектов, и меньшее 1 в др. случаях, когда знаменатель дроби (при числителе, равном 1) показывает степень уменьшения размеров изображения объектов относительно их действит. размеров. М. планов итопографич. карт - величина постоянная; М. географич. карт - величина переменная (см. Картографические проекции). Для практики важен М. л и н е и н ы и, т. е. прямая линия, разделённая на равные отрезки с подписями, указывающими длины соответствующих им отрезков в натуре. Для более точного нанесения и измерения линий на планах строят т.н.поперечный М. Это линейный М., параллельно к-рому проведён ряд равноотстоящих друг от друга горизонтальных линий, пересечённых перпендикулярами (вертикали) и наклонными линиями (трансверсали). Принцип построения и использования поперечного М. ясен из рис., приведённого для численного М. 1 : 5000. Отрезку поперечного М., помеченному на рисунке точками, соответствует на местности линия 200 + 60 +6 = 266 м. Поперечным М. наз. также металлич. линейку, на к-рой очень тонкими линиями высечено изображение такого рисунка, иногда без к.-л. надписей. Это позволяет легко использовать её в случае любого численного М., применяемого на практике.

Поперечный масштаб.

Лит.: Инженерная геодезия, под общ. ред. П. С. Закатова, М., 1969; Чеботарёв А. С., Геодезия, 2 изд., ч. 1, М., 1955.

МАСШТАБ ЦЕН, весовое количество металла (золота или серебра), принятое в данной стране в качестве ден. единицы и её кратных частей. Служит для измерения и выражения цен всех товаров. Фиксированный гос-вом в законодат. порядке М. ц. не связан с изменением стоимости ден. товара (золота). Первоначально М. ц. совпадал с весовым масштабом. В ходе историч. развития М. ц. обособился, что было связано прежде всего с порчей монет, переходом роли ден. металла от серебра к золоту, введением в обращение иностр. денег и т. д. Ден. единицы (фунт стерлингов, ливр и т. д.), сохраняя прежнее наименование весовых единиц, фактически стали содержать значительно меньшее количество металла. В СССР роль М. ц. играет рубль (равный 100 коп.), золотое содержание к-рого с янв. 1961 определено в 0,987412 г чистого золота (см. также Деньги).

МАСШТАБНОСТЬ, масштабный строй, в архитектуре соотношение размеров, соизмеримость отд. зданий, сооружений и архитектурно организованных пространств с размерами человека. М. не только и не столько выявляет для зрителя действит. размер здания или комплекса, сколько придаёт ему характер, нужный для данного конкретного художеств, образа. М. в архитектуре - результат общего взаимодействия воспринимаемых зрителем мер, положенных в основу каждого элемента композиции. Напр., зрит, мерой для стены дома могут служить кирпичи, квадры кам. кладки (составляющей массив стены или только облицовку), блоки, панели или размеры стены в целом, если она не расчленена. Большую роль в создании М. играют пропорции тектонических элементов, работа к-рых понятна зрителю и к-рые дают особенно наглядное представление о размерах здания. Сдвигая или раздвигая опоры, меняя высоту балок или архивольтов арок по отношению к пролёту и сочетая эти изменения с размерами и членениями др. элементов здания, архитектор получает различный художеств, эффект. Масштабная характеристика архит. произведения может иногда меняться при его восприятии с различных расстояний. Напр., здание, воспринимаемое как большое с отдалённой точки зрения (или на чертеже), может казаться значительно меньшим при приближении зрителя, когда он соотносит с собой действит. размеры сооружения. Масштабный строй архит. произв. в целом связан с окружением (рельеф местности, характер застройки в городах) и меняется вместе с ним. Укрупнение М.- преим. средство придать произв. архитектуры большую значительность (напр., "героическая" М. др.-греч. храмов, словно рассчитанных на героев эпоса, крупная М. амфитеатров, акведуков, базилик в Др. Риме, гражд. сооружений рус. ампира, вызывающих представление о могуществе построивших их гос-в). Чрезмерное укрупнение М. в сочетании с большими размерами сооружений подавляет человека, вызывая у него чувство собственного ничтожества (напр., культовые постройки в Др. Египте). Масштабный строй произв. архитектуры, отражая со-циально-историч. условия и мироощущение той или иной эпохи, обществ, положение заказчика, является наряду с тектонически осмысленными формами одним из гл. средств, воплощающих осн. характер художеств, образа в зодчестве, делая его понятным и впечатляющим не только для современников, но и для представителей последующих обществ, формаций и иных культур.

Лит.: Буров А. К., Об архитектуре, М., 1960; Кириллова Л. И., Масштабность в архитектуре, М., 1961; Всеобщая история архитектуры, т. 2, М., 1973, с. 251 - 260; N о b b s P. E., Design. A treatise on the discovery of form, L.- N. Y., 1937; L i с k 1 i d e r H., Architectural scale, L., 1965.

В.Ф. Маркузон.

MAT (голл., англ, mat, от лат. matta - циновка, рогожа), 1) укрытие, изготовленное из соломы, камыша и др. высокостебельных растений. Применяются для защиты в парниках растений от холодных темп-р ночью, а в морозную погоду и днём. Изготовляют М. на ручном станке или на матовязалъной машине. 2) В спорт е-мягкая подстилка, предохраняющая от ушибов при падении со снарядов или при прыжках.

МАТААМБРЕ, Минас-де-Матаамбре (Minas de Matahambre), посёлок, центр горнорудной пром-сти на З. Кубы, в пров. Пинар-дель-Рио. 5,4 тыс. жит. (1965). Добыча и обогащение медных руд.

МАТАБЕЛЕ (точнее - матебеле, самоназвание - амандебеле), народ, населяющий юго-зап. часть Юж. Родезии. По языку (исиндебеле) и культуре относятся к юж.-афр. банту. Наиболее близки к зулу. Числ. ок. 500 тыс. чел. (1967, оценка). Большинство М. сохраняет местные традиц. верования, часть- христиане. В кон. 19 в. М. оказали героич. сопротивление колон, завоеванию. Осн. занятия - земледелие и скотоводство. Многие М. работают на фермах, плантациях, рудниках, фабриках, принадлежащих европейцам, часть - на шахтах в ЮАР. М. активно участвуют в общей борьбе народов Юж. Родезии против расистско-колон. режима.

Лит.: Потехин И. И., Военная демократия матабеле, в сб.: Родовое общество. Этнографические материалы и исследования, М., 1951; Яблочков Л. Д., Коренное население Британской Центральной Африки, "Африканский этнографический сборник", т. 2, М., 1958; Д а в и д с о н А. Б., Матабеле и машона в борьбе против английской колонизации 1888 - 1897, М., 1958; Bullock С h., The Mashona and the Matabele, Cape-Town, 1950.

А.Б. Давидсон.

МАТАБЕЛЕ (Matabele), плоскогорье в Юж. Родезии, междурр. Замбези, Лимпопо и Саби. Ср. вые. 1000-1500л. Сложена древними кристаллич. породами. Над слабоволнистой поверхностью выделяются многочисленные островные горы и горные кряжи, вост. окраина М. приподнята (горы Иньянгани вые. до 2596 м). Климат тропический, летневлажный; осадков от 400 до 800 мм в год. Почвы коричнево-красные, латеризованные, сильно эродированы. Редколесья с Brachystegi'a и Julbernardia сильно сократились из-за распашки. Добыча золота, хромита, руд железа, полиметаллов, никеля, редких металлов.

МАТАВУЛЬ (Матавул.) Сима (14.9. 1852, Шибеник, -20.2.1908, Белград), сербский писатель. Род. в семье мелкого торговца. Был учителем. М. - один из образованнейших серб, писателей своего времени. Его ранние произв., по преимуществу очерковые, этнографические, несли на себе печать романтич. идеализации действительности: роман "Ускок" (1892, 1-я ред. под назв. "Ускок Янко", 1885) и др. Перейдя на позиции реализма, М. создал в наиболее значит, своих произв.- сб-ке рассказов "Из Черногории и Поморья" (т. 1-2, 1888-89) и антиклерик. романе "Баконя фра Брне" (1892, 1-я ред. 1888) - целую галерею социальных типов.

Соч.: Сабрана дела, к". 1-8, Београд, 1953-56; в рус. пер.- Баконя фра Брне. Рассказы. [Предисл. И. Дорбы], М., 1960.

Лит.: Г л и г о р и h В., Симо Матавул, в его кн.: Српски реалиста, 3 изд., Београд, 1960.

МАТАГАЛЬПА (Matagalpa), город в Никарагуа, адм. ц. департамента Мата-гальпа. 22,6 тыс. жит., в муниципии 74,7 тыс. жит. (1969). Центр р-на выращивания и обработки кофе. Кустарное произ-во потребительских товаров (обуви, мыла и др.).

МАТАДИ (Matadi), город в Республике Заир, в пров. Н. Заир, на лев. берегу р. Конго (Заир). 110 тыс. жит. (1970). Гл. порт страны, доступный для мор. судов (грузооборот 1,5 млн. т в 1971). Вывоз меди, кобальта, алмазов, продуктов масличной пальмы, кофе, какао, каучука, леса и др. Связан ж. д. с Киншасой. Аэропорт. Маслобойные, лесопильные и др. предприятия.

МАТАЙ, посёлок гор. типа в Бурлютобинском р-не Талды-Курганской обл. Казах. ССР. Расположен на р. Аксу (басе. оз. Балхаш). 6,6 тыс. жит. (1970). Ж.-д. станция на линии Алма-Ата - Семипалатинск. Предприятия ж.-д. транспорта.

МАТАКО-МАКА ЯЗЫКИ, семья языков на С.-В. Аргентины (Чако), в зап. Парагвае и на крайнем В. Боливии. По мнению ряда лингвистов, М.-м. я. принадлежат к макросемье гуайкуру (см. Индейские языки). М.-м.я. включают: а)языки матако (диалекты гиснай, ноктен), матагуайо (диалекты вехос, уэшуо, песатупе, абучета), чороти, ашлуслай; б) языки мака (энумага), гентусе, кочабот (ленгуа). Сложный консонантизм (глоттализованные согласные противопоставлены придыхательным и чистым, в чороти есть серия палатализованных). Грамматич. отношения выражаются аналитически и реже суффиксами и префиксами. Падежи отсутствуют. При именах есть лично-притяжат. суффиксы ("мой", "твой" и др.), при глаголах - аффиксы лица субъекта и объекта. Числа личных местоимений обычно выражаются числовыми аффиксами в глаголе. В матако различаются "мы" обычное и "мы" гентильное ("мы как семья").

Лит.: Hunt R. J., Т о m р k i n s B. A., Mataco grammar, Tucuman, 1940; Мёtra_ux A., The linguistic affinities of the Enimaga (Cochaboth) group, "American Anthropologist", 1942, v. 44; Т о v a r A., Catalogo de las lenguasde America del Sur, Buenos Aires, 1961; H u n.t R. J., Mataco-English and English-Mataco dictionary, "Etnologiska studier", Goteborg, 1937, bd 5.

А. Б. Долгопольский.

MATAMATA (Chelys fimbriata), единственный вид рода бахромчатых черепах сем. змеиношейных черепах. Обитает в водоёмах Венесуэлы, Гайаны, Бразилии. Спинной щит (дл. до 40 см) овальный, с тремя продольными рядами призматич. крупных бугров. Брюшной щит длинный, узкий. Голова треугольная, нос в виде хобота (дл. до 15 см), М. выставляет его на поверхность, когда зарывается в ил на дне рек и озёр; рот очень широкий. Кожа головы и боков шеи с бахромчатыми выростами, маскирующими черепаху среди водной растительности. Питается рыбой, беспозвоночными. Активна в сумерки.

МАТАМОРОС (Matamoros), город на С. -В. Мексики, на границе с США, в шт. Тамаулипас, близ устья р. Рио-Браво-дель-Норте. 182,9 тыс. жит. (1970). Ж.-д. станция. Узел шосс. дорог. Центр крупного р-на орошаемого земледелия (гл. обр. хлопчатник). Хл.-бум., хим. и пищ. пром-сть.

МАТАНСАС (Matanzas), провинция Кубы. Пл. 12,3 тыс. км². Нас. 501,3 тыс. чел. (1970). Адм. ц.- г. Матансас. Б. ч. обрабатываемой земли под плантациями сах. тростника. Осн. р-н в стране по выращиванию хенекена. На С. - плодоводство, овощеводство. На Ю. - леса. Пищ. (преим. сахарная), текст., хим., кож. -обув, пром-сть; стр-во рыболовных судов (Карденас). Гл. центры: Матансас, Карденас, Ховельянос.

МАТАНСАС (Matanzas), город на С. Кубы, на Центр, шоссе, адм. центр пров. Матансас. 85,4 тыс. жит. (1970). Порт (вывоз сахара). Торговый центр с.-х. района (сахарный тростник, хенекен, фрукты и др.). Хим., пищевкусовая, текст., кож. -обув, пром-сть, произ-во стройматериалов. Туризм. Осн. в 17 в.

MATAHУCKA (Matanuska), река на Ю. Аляски. Берёт начало в горах Чугач, впадает в бухту Ник-Арм (зал. Кука). Длина от слияния вост. и юж. истоков 121 км. Питание преим. ледниковое. Долина М. - важный с.-х. р-н (выращивание овощей, картофеля; животноводство ).

МАТАРА, город и порт на юж. побережье Шри-Ланка (Цейлон). 36 тыс. жит. (1968). Хранен, узел. Торг, и ремесленный центр. В р-не выращиваются кокосовые орехи и пряности; ведётся добыча графита, драгоценных камней (сапфир, рубин, аквамарин и др.).

МАТАРАМ, индонезийские гос-ва на о. Ява в 8-11 и в 16-18 вв. М. 1-й (кон. 1-й четв. 8 в. - 1042) образовался из удела распавшегося гос-ва Калинга. М. 1-й - гос-во раннефеод. типа с ярко выраженными чертами вост. деспотии. Правитель был светским и духовным главой гос-ва. Во главе М. 1-го стояли индуистские династии (лишь в 8 - 9 вв. гос-вом управляла буддийская династия). Основой социально-экономич. структуры была община, существовали связи с др. р-нами архипелага, с Камбоджей, Индией, Китаем. В борьбе за расширение территории на Яве и за гегемонию на Малайском архипелаге М. на рубеже 10 - 11 вв. столкнулся с суматранским гос-вом Шривиджайя. При Эрланге (правил с 1019) была сделана попытка объединить всю Яву в рамках единого гос-ва, а М. и Шривиджайя разделили сферы влияния: власть М. была признана в центр, и вост. частях архипелага, Шривиджайи - в зап. части. В 1042 Эрланга разделил М. на два гос-ва - Кедири и Джангалу. Период М. 1-го - время интенсивного храмового строительства (Боробудур, Прамбанан).

М. 2-й (1575 - 1755) образовался после длит. феод, усобиц, последовавших за распадом Маджапахита и ослаблением приморских городов-гос-в в результате португ. вторжения. М. 2-й - гос-во периода развитого феодализма, первое крупное яванское гос-во, управлявшееся мусульм. династией. Централизаторская политика правителей М. 2-го (Сенапати, правившего в 1575-1601, и Агунга - в 1613-45) привела к объединению под властью этого гос-ва центр. Явы до границ Бантама и вост. Явы, к уничтожению последних индуистских гос-в на Яве. В 1641 Агунг принял титул султана. Он вёл безуспешную борьбу с голл. Ост-Индской компанией (осада Батавии в 1619, 1628-29). В 70-х гг. 17 в. голландцы, вмешавшись в династич. борьбу и оказав помощь султанату в борьбе с восстанием под рук. Труноджойо, возвели на престол своего ставленника, уступившего компании ряд важнейших терр. М. 2-го. В этиже годы вспыхнуло новое антиголл. восстание во главе с Сурапати, а затем три яванские войны за престолонаследие (1703-05, 1719-23, 1749-55), в к-рые активно вмешались голландцы. В результате М. 2-й лишился большей части своих владений, стал вассалом компании, а в 1755 был разделён на зависимые от голландцев гос-ва Джокьякарту и Суракарту.

Ю. В. Маретин.

МАТВЕЕВ Александр Терентьевич [13(25).8.1878, Саратов, - 22.10.1960, Москва], советский скульптор, засл. деят. иск-в РСФСР (1931). Чл. КПСС с 1940. Учился в Моск. уч-ще живописи, ваяния и зодчества (1899-1902) у С. М. Волнухина и П. П. Трубецкого. В 1906-07 работал в Париже. Чл. объединений "Мир искусства", -"Голубая роза" и ОРС. В ранних произведениях М. (портрет В. Э. Борисова-Мусатова, гипс, 1900, Третьяковская гал.) чувствуется влияние импрессионистич. пластики П. П. Трубецкого. Постепенно центр, темой творчества М. становится обнажённая человеческая фигура, представленная в состоянии просветлённого покоя [цикл произв., украшавших виллу Я. Е. Жуковского в Кучук-Кое (Крым), мрамор, инкерманский камень, 1908-1911, ансамбль не сохранился, отд. фрагменты - в Рус. музее, Ленинград; надгробие В. Э. Борисова-Мусатова в Тарусе, гранит, 1910]. Благодаря тонкому выявлению фактуры материала поверхность работ М. воспринимается не как нейтральная оболочка, но как естеств. граница наполненной, живой формы, рождающей впечатление о гармоничном равновесии духовных и физ. сил человека. После Великой Окт. социалистич. революции М. участвует в осуществлении ленинского плана монументальной пропаганды (памятник К. Марксу в Петрограде, гипс, 1918, не сохранился). Поиски архитектоничной обобщённой формы с особой силой проявились в таких произв. М., как группа "Октябрь" (гипс, 1927, Рус. музей, Ленинград; бронз, отлив - 1958, илл. см. т. 4, табл. III, стр. 48-49), где революц. героика воплощена в классически ясных образах, и бронз, фигура стоящей женщины (1937, там же). Насыщенностью психологич. характеристик, органически связанных с внутр. закономерностями формы, отличаются созданные М. скульптурные образы рус. писателей (статуя А. С. Пушкина, пластилин, 1948-60, мастерская скульптора, Москва); проникновенное внимание к пластич. конструкции объёма проявляется и в станковых портретах М. (автопортрет, бронза, 1939, Рус. музей), фиксирующих наиболее устойчивые, непреходящие черты лица модели. Тонким пониманием специфики мелкой пластики отмечены работы М. для Петрогр. фарфорового з-да (1920-е гг.). М. оказал глубокое влияние на развитие сов. скульптуры не только своим творчеством, но и педагогич. деятельностью [преподавал в ленингр. АХ (1918 - 48) и Моск. художеств, ин-те (1940 - 48)]. Ученики: М. А. Вайнман, А. М. Игнатьев, Б. Е. Каплянский, А. Л. Малахин и др. Награждён орденом Трудового Красного Знамени. Илл. см. на вклейке, табл. XXXV (стр. 496-497), а также т. 12, табл. II (стр. 96-97).

А. Т. Матвеев.

Лит.: Бассехес А. И., А. Т. Матвеев, М., 1960; М урин а Е., А. Т. Матвеев, М., 1964.

И. М. Соколова.

МАТВЕЕВ Андрей Артамонович [15(25). 8.1666, Москва,-16(27).9.1728, там же], русский гос. деятель и дипломат, сподвижник Петра I, граф (с 1715). Сын А. С. Матвеева. В 1691-93 воевода в Двинском крае. В 1699-1712 посол в Голландии, в 1712 - 15 - в Австрии. Используя противоречия между европ. державами в связи с войной за Исп. наследство, сумел удержать пр-ва Голландии и Великобритании от помощи Швеции в Северной войне 1700-21. По возвращении в Россию - президент Морской академии и Навигационной школы; с 1719 сенатор и президент Юстиц-коллегии, затем президент Моск. сенатской конторы (1724); с 1727 в отставке. В сер. 20-х гг. М. составил описание стрелецкого бунта 1682.

Соч.: Русский дипломат во Франции, Л., 1972.

Лит.; Кафенгауз Б. Б., Внешняя политика России при Петре I, M., 1942.

МАТВЕЕВ Андрей Матвеевич (1701, Новгород,-1739), русский живописец. Пенсионер Петра I, M. с 1716 совершенствовался в Нидерландах (учился в Амстердаме, а в 1725-27 - в антверпенской АХ). С 1727 возглавлял в Петербурге "живописную команду" при "Канцелярии от строений*.Творчество М. сыграло важную роль в становлении рус. светского иск-ва в нач. 18 в. М. выполнял декоративные росписи в Петербурге (в т. ч. в Петропавловском соборе) и Москве, а также станковые композиции, иконы. Среди немногих сохранившихся работ М. естеств. непринуждённостью композиции и правдивостью индивидуальных характеристик выделяются портреты кон. 1720-х гг. (И. А. и А. П. Голицыных, оба - 1728, собр. Голицыных, Москва; т. н. "Автопортрет с женой", 1729, Рус. музей, Ленинград).

А. М. М а т в е е в. Т. н. "Автопортрет с женой". 1729. Русский музей. Ленинград.

Лит.: История русского искусства, т. 5, М., 1960, с. 331 - 38.

МАТВЕЕВ Артамон Сергеевич [1625- 15(25).5.1682, Москва], русский гос. деятель и дипломат, боярин (1674). Сын дьяка, служил на Украине, участвовал в войнах с Польшей. В 1654 входил в состав рус. делегации на Переяславской раде, в 1656-57- посольства в Польшу. Во главе стрелецкого приказа (полка) участвовал в подавлении Московского восстания 1662. С 1669 возглавил Малороссийский приказ, с 1671 руководил одновременно Посольским приказом и др. центр, учреждениями. М. считал осн. задачей рус. внешней политики присоединение к России всей Украины и для её решения полагал возможным временно отказаться от борьбы со Швецией за балт. берега. В 1672 во время переговоров с Польшей добился закрепления за Россией Киева. Был близок с царём Алексеем Михайловичем, вторая жена к-рого Наталия Кирилловна Нарышкина была воспитанницей М. Для своего времени М. был образованным человеком, имел большую библиотеку, явился инициатором составления "Титулярника" - справочника по дипломатич. переписке. После смерти царя подвергся опале и был сослан вместе с семьёй на север (1676). С избранием на царство Петра I M. возвращён в Москву, но через неск. дней стал одной из первых жертв Московского восстания 1682.

Лит.: Щепотьев Л., Ближний боярин А. С. Матвеев как культурный политический деятель XVII в., СПБ, 1906.

А. Л. Голъдберг.

МАТВЕЕВ Борис Степанович [8(20).9. 1889, Бобров, ныне Воронежской обл.,- 21.9.1973, Москва], советский зоолог, специалист в области морфологии животных, засл. деят. науки РСФСР (1970). Профессор МГУ (с 1931). В 1913 окончил Московский университет. Ученик и сотрудник А. Н. Северцова. В 1931 - 51 зав. кафедрой зоологии и сравнит, анатомии позвоночных МГУ. В 1930 - 35 зам. директора Лаборатории эволюц. морфологии АН СССР (ныне Ин-т эволюц. морфологии и экологии АН СССР им. А. Н. Северцова). Автор трудов по сравнит, анатомии и сравнит, эмбриологии позвоночных, по общим вопросам эволюции. Разрабатывал теорию метамерии черепа, изучал закономерности эволюц. преобразований производных кожи (чешуи, зубов и др.). Соавтор и редактор учебника по зоологии позвоночных (7 изданий). Награждён орденом Ленина, 2 др. орденами, а также медалями.

МАТВЕЕВ Иван Иванович (1890, Алешки, ныне Цюрупинск Херсонской обл.,- 8.10.1918, Пятигорск), активный участник Гражданской войны в СССР. Чл.Ком-мунистич. партии с февр. 1917. Род. в семье матроса, был моряком торг, флота. С 1914 служил на воей. транспортах Черноморского флота. В 1917 вёл антивоен. агитацию среди матросов, солдат и рабочих. В янв. 1918 командовал отрядом морякоэ во время боёв с гайдамаками в Одессе, затем в апр.- в боях с герм, интервентами и белоказаками на Таманском п-ове. 27 авг. 1918 в Геленджике на Воен. совете был избран командующим Таманской армией. В исключительно трудных условиях успешно руководил походом армии вдоль Черноморского побережья (см. Таманской армии поход 1918). Был расстрелян по настоянию командующего Красной Армией Сев. Кавказа авантюриста И. Л. Сорокина.

МАТВЕЕВ Фёдор Михайлович (1758- 1826, Италия), русский живописец и рисовальщик, пейзажист. Сын солдата.Учился в петерб. АХ (1764-78), вероятно у С. Ф. Щедрина (с 1779 - пенсионер АХ в Риме). Жил в Италии. Писал идеализированные, проникнутые торжеств, величием видовые пейзажи (преим. Италии) и видовые по характеру, но вымышленные "героические" пейзажи в духе классицизма ("Вид Неаполя", 1806, "Вид на Лаго-Маджоре", 1808,- оба в Рус. музее, Ленинград). Выполнял также пейзажные рисунки с натуры ("Пейзаж с пиниями", сепия, тушь, итал. карандаш, Третьяковская гал., Москва).

Ф. М. Матвеев. "Вид Рима. Колизей". 1816. Третьяковская галерея. Москва.

Лит.: Фёдоров-Давыдов А., Русский пейзаж XVIII- начала XIX века, М., 1953.

МАТВЕЕВ КУРГАН, посёлок гор. типа, центр Матвеево-Курганского р-на Ростовской обл. РСФСР. Расположен на р. Миус (басе. Азовского м.). Ж.-д. станция на линии Иловайск - Таганрог, в 96 км к С.-З. от г. Ростова-на-Дону. 11,3 тыс. жит. (1970). Комбинат стройматериалов, асфальтобетонный з-д, мясо-птице- и пищекомбинаты, маслозавод.

МАТВЕЕВА Новелла Николаевна (р. 7. 10. 1934, г. Пушкин Ленингр. обл.), русская советская поэтесса. Печатается с 1958. Автор сб-ков стихов "Лирика" (1961), "Кораблик" (1963), "Душа вещей" (1966) и др., поэмы "Питер Брейгель Старший" (1969). Для М. характерно стремление посредством необычного освещения преобразить мир обыденных вещей в духе романтич. влюблённости в жизнь. Её поэтич. размышления, утверждающие героич. энергию человека, тяготеют к притче, афоризму. Выступает также как автор текстов и мелодий лирич. песен.

Лит.: Рунин Б., Далёкое и близкое,"Новый мир", 1964, №5; Медынский Г., Песенная поэзия Новеллы Матвеевой, "Юность", 1966, № 7; П р и х о д ь к о В., Душа и плоть поэзии, "Дружба народов", 1967, № 2.

МАТВЕЙ, Маттиас (Matthias) (24. 2. 1557, Вена, - 20. 3. 1619, там же), австрийский эрцгерцог, император "Священной Рим. империи" в 1612-19. Сын имп. Максимилиана П. Наместник (с 1593) своего брата имп. Рудольфа II в Верх. и Ниж. Австрии. Вступил в междоусобную борьбу с душевнобольным Рудольфом, принудив брата уступить ему в 1608 Австрию, Венгрию и Моравию, а в 1611 Чехию, Силезию и Лужицу. Назначение М. своим преемником в Чехии и Венгрии фанатичного католика Фердинанда Штирийского дало толчок к Чешскому восстанию 1618 - 20, послужившему началом Тридцатилетней войны 1618-48.

МАТВЕЙ из Мехова (Maciej z Miechowa) (наст, имя - М. К а р п и г о) (1457, Мехов,-8.9.1523, Краков), польский историк, географ. Проф. (с 1485) и ректор (в 1501-19) Краковского университета. Его "Трактат о двух Сарматиях" (изд. в 1517, рус. пер.

1936), написанный на основе рассказов рус. людей, приезжавших в Польшу, был одним из гл. источников изучения России в Зап. Европе 16 в. Соч. М. "Польская хроника" (1519)- первая появившаяся в печати история Польши - проникнута патриотизмом и гуманизмом. В 1521 эта книга была конфискована за содержащиеся в ней антиклерикальные мотивы, а затем издана заново с существ, изменениями.

Соч.: Chronica Polonorum, Cracoviae, 1519.

Лит.: Maciej z Miechowa. 1457 - 1523. His-toryk, geograf, lekarz, organizator nauki. Wroclaw-Warsz., 1960.

МАТВЕЙ из Яновa (Matej z Janova) (p. между 1350 и 1355-ум. 30.11.1393, Прага), чешский мыслитель, один из представителей раннего реформационного движения, идейный предшественник Я. Гуса. Получил образование (70-е гг.) в Пражском и Парижском ун-тах (отсюда др. прозвище М. - Парижский). Изобличал католич. духовенство, призывал отнять у церкви богатства и политич. власть, ликвидировать монастыри, а монахов заставить трудиться. Выступал в защиту простого народа, угнетение которого считал несправедливым.

Соч.: Regulae veteris et Novi Testamenti, dil. 1-5, Praha, 1908-26.

Лит.: Kubal V._/M., Matej z Janova, jeho zivot, spisy a uceni, Praha, 1905.

МАТВЕЙ КОРВИН (Matthias Corvinus) (23.2.1443-6.4.1490), встречающееся в литературе имя венгерского короля Матьяиш Хуньяди.

МАТВЕЙ ПАРИЖСКИЙ, правильнее Мэтью Парис (Matthew Paris, Matheus Parisiensis) (ум. 1259?), английский хронист, монах монастыря Сент-Олбанс (с 1217). Гл. труд М. П.-"Большая хроника". Первая часть представляет собой несколько переработанную и дополненную хронику предшественника М. П.- Роджера Уэндоверского; вторая, написанная самим М. П., охватывает события 1235-59 и является важным источником по истории Англии этого периода. М. П. иллюстрировал хронику картами и миниатюрами.

С о ч.: Chronica majora, ed. by H. R. Luard, v. 1-7, L., 1872-84.

Лит.: Вайнштейн О. Л., Западноевропейская средневековая историография, М - Л , 1964 (см. Указат. имен); V a u g h a n R., Matthew Paris, Camb., 1958.

МАТЕ, м а т э (заимствование из языка южноамер. индейцев кечуа), высушенные измельчённые листья вечнозелёного дерева парагвайский чай. М. наз. также и само дерево. М. содержит до 1,8% кофеина, 0,05% теобромина, 9- 12% дубильных веществ, эфирное масло, витамины А, В, С, лимонную к-ту и др. Используется для приготовления тонизирующего напитка, употребляемого в Юж. Америке как чай, к-рый пьют из маленького сосуда (сделанного из плода тыквы), также называемого М.

МАТЕВ Павел Христов (р.6.12.1924, Оризово, Старозагорский окр.), болгарский поэт и гос. деятель, нар. деятель культуры Болгарии (1971).Чл. Болгарской коммунистич. партии (БКП) с 1945. Окончил филологич. ф-т Софийского ун-та. В 1963-66 гл. редактор журн. "Септември" ("Сентябрь"), с 1966 пред. К-та по делам иск-ва и культуры НРБ. Для ранних стихов М. (сб-ки "В строю", 1951; "Ясные дни", 1952; "Долг", 1955; "С верой в людей", 1959) характерны открытое публицистич. выражение обществ, позиции лирич. героя, высокий гражд. пафос. В книгах стихов "Человеческая тревога" (1960), "Родословная" (1963), "Чайки отдыхают на волнах" (1965; пр. им. Димитрова, 1966), "Неоскорблённые миры" (1969), "Накопленные молчания" (1973) усиливается психологическая характеристика современника, патриота социалистич. Болгарии. М. принадлежит ряд выступлений по общим вопросам социалистич. культуры, иск-ва.

Соч. в рус. пер.: Сигналы сердца, М., 1966; Лирика, Л., 1968; Чайки отдыхают на волнах. [Предисл. С. Машинского], М., 1968. Лит.: Д а н ч е в П., Единен в преображе-нията си, "Септември", 1972, № 11, с. 155- 182.

В.И. Злыднев.

МАТЕВОСЯН Грант Игнатьевич (р.3.3. 1935, с. Ахнидзор, ныне Туманянского р-на), армянский советский писатель. Окончил Арм. пед. ин-т (1964). Работал в типографии. Печатается с 1959. Автор повести "Мы и наши горы" (1962), рассказов "Август", "Алхо", "Месроп" Хвсе-1967, премия журн. "Дружба народов", 1967), "Буйволица" (1968) и др. Творческие поиски М. отмечены стремлением к созданию "монументального" характера; простота повествования сочетается у писателя с напряжённостью изображаемых нравств. конфликтов.

Соч. в рус. пер.: Мы и наши горы, М., 1969; Август, М., 1972; Мать едет женить сына. Повесть, "Дружба народов", 1973, № 10.

Лит.: Семёнов В л., Республика пастухов, "Молодая гвардия", 1968, № 6; Аннинский Л., Мятежная безмятежность, "Литературная Армения", 1971, № 7-8.

Г. А. Белая.  

МАТЕЕВ Евгени Георгиев (р. 1.4.1920, Тырговиште), болгарский экономист, гос. и обществ, деятель, акад. Болгарской АН (1967). Чл. Болгарской коммунистич. партии (БКП) с 1944, чл. ЦК БКП с 1962. Пред. Гос. комитета по планированию (1951-52), пред. ЦСУ Болгарии (1953- 1960), с 1963 министр. Осн. труды по проблемам политич. экономии социализма, нар.-хоз. планированию и истории экономич. учений. Пр. им. Димитрова (1962).

Соч.: Субективната школа и марксистско-ленинската политическа економия, 2 изд., София, 1949; Производителността на труда при социализма и народностопанското планиране, София, 1956; Перспективно планиране. Междуотраслови връзки и технически коефициенти, София, 1963; Баланс на народното стопанство, 2 изд., София, 1966.

МАТЕЗИУС (Mathesius) Вилем (3.8.1882, Пардубице,-12.4.1945, Прага), чешский языковед. Основатель и президент Пражского лингвистического кружка. Специалист в области общей лингвистики и англ, яз. Одним из первых обосновал синхронный подход к изучению языка ("О потенциальности языковых явлений", 1911). Один из основоположников функциональной лингвистики, рассматривающей элементы языка с точки зрения их роли в процессе общения. Занимался характерологией языка, под к-рой понимал сопоставление элементов различных языков для выяснения типич. свойств данного языка. Разработал теорию актуального членения предложения. Осн. работы:"Чешский язык и общая лингвистика" (1947), "Функциональный анализ современного английского языка на основе общей лингвистики" (1961, вышли посмертно).

Лит.: Пражский лингвистический кружок, М., 1967; Trnka В., V. Mathesius, в кн.: Portraits of Linguists, v. 2, Bloomington, 1966.

В. М. Живов.

МАТЕЙКА (Matiegka) Йиндржих (31.3. 1862, Бенешов, - 4. 8. 1941), чешский антрополог. В 1918-34 проф. Пражского ун-та, при естеств. факультете к-рого основал антропологич. кафедру и "Музей человека" им. А. Хрдлички. В 1923 основал журн. "Антропология" ("Anthropologie"), где выступал со статьями против расистских измышлений. Осн. труды: "Черепа богемцев" (1891), "Всеобщая наука о племенах" (1929), "Соматология школьной молодёжи" (1927), "Пршедмостский человек" (кн. 1-2, 1934-38). Последняя работа посвящена описанию скелетных остатков людей эпохи позднего палеолита, открытых на терр. Чехословакии (см. Пршедмости).

МАТЕЙКО (Matejko) Ян (24.6.1838, Краков,-1.11.1893, там же), польский живописец. Учился в Школе изящных иск-в в Кракове (1852-58), в АХ в Мюнхене (1859) и Вене (1860). С 1860 работал в Кракове, где с 1873 был директором Школы изящных иск-в. Писал гл. обр. многофигурные композиции, поев, ключевым моментам истории Польши (чаще ср.-век.), стремясь откликнуться на недавние и совр. политич. события. В ранних работах своекорыстной шляхте, предающей нац. интересы, М. противопоставлял трагико-патетич. образы патриотов ("Станьчик", 1862; "Проповедь Скарги", 1864; "Рейтан", 1866), в аллегорич. форме защищал себя от нападок офиц. критики ("Приговор Матейке", 1867; все- в Нац. музее, Варшава). В его огромных, эффектно срежиссированных батальных и ист. композициях 1870-80-х гг. достигнут впечатляющий драматизм действия, впрочем, нередко переходящий в чрезмерный пафос и подавляемый обилием мизансцен и историко-бытовых деталей ("Баторий под Псковом", 1871-72;"Битва под Грюнвальдом", 1878, - обе в Нац. музее, Варшава; "Прусская дань", 1882; "Костюшко под Рацлавицами", 1888, - обе в Нац. музее, Краков). В замысле нек-рых поздних работ М. проявилось некритич. отношение к прошлому страны. М. работал также в жанрах пейзажа и портрета ("Вид Бебека под Константинополем", 1872, портрет детей художника, 1879,- оба в Львовской карт, гал.), обращался к монументальной живописи (росписи в краковском костёле Девы Марии, 1889-91). Творчество М. высоко ценилось такими крупными деятелями рус. культуры, как В. В. Стасов, И. Е. Репин и др.

Я. М а т е й к о. Автопортрет. 1892. Национальный музей. Варшава.

Лит.: Стажинский Ю., Ян Матейко, Варшава, 1962; Островский Г., Ян Матейко, М., 1965; Т г е t е г М., Matejko, Lwow-Warsz., [19391; В о g u с k i J.. Matejko, Warsz., 1956.

МАТЕМАТИКА.
I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДМЕТА МАТЕМАТИКИ, СВЯЗЬ С ДРУГИМИ НАУКАМИ И ТЕХНИКОЙ

Математика (греч. mathematike, от mathema - знание, наука), наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

"Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть - весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира. Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное" (Энгельс Ф., см. Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 20, с. 37). Абстрактность М., однако, не означает её отрыва от материальной действительности. В неразрывной связи с запросами техники и естествознания запас количественных отношений и пространственных форм, изучаемых М., непрерывно расширяется, так что данное выше общее определение М. наполняется всё более богатым содержанием.

Математика и другие науки. Приложения М. весьма разнообразны. Принципиально область применения математич. метода не ограничена: все виды движения материи могут изучаться математически. Однако роль и значение математич. метода в различных случаях различны. Никакая определённая матема-тич. схема не исчерпывает всей конкретности действительных явлений, поэтому процесс познания конкретного протекает всегда в борьбе двух тенденций; с одной стороны, выделения формы изучаемых явлений и логич. анализа этой формы, с другой стороны, вскрытия моментов, не укладывающихся в установленные формы, и перехода к рассмотрению новых форм, более гибких и полнее охватывающих явления. Если же трудности изучения какого-либо круга явлений состоят в осуществлении второй тенденции, если каждый новый шаг исследования связан с привлечением к рассмотрению качественно новых сторон явлений, то математич. метод отступает на задний план; в этом случае диалектич. анализ всей конкретности явления может быть лишь затемнён математической схематизацией. Если, наоборот, сравнительно простые и устойчивые основные формы изучаемых явлений охватывают эти явления с большой точностью и полнотой, но зато уже в пределах этих зафиксированных форм возникают достаточно трудные и сложные проблемы, требующие специального математич. исследования, в частности создания специальной символич. записи и специального алгоритма для своего решения, то мы попадаем в сферу господства математич. метода.

Типичным примером полного господства математич. метода является небесная механика, в частности учение о движении планет. Имеющий очень простое математич. выражение закон всемирного тяготения почти полностью определяет изучаемый здесь круг явлений. За исключением теории движения Луны, законно, в пределах доступной нам точности наблюдений, пренебрежение формой и размерами небесных тел - замена их "материальными точками". Но решение возникающей здесь задачи движения п материальных точек под действием сил тяготения уже в случае п = 3 представляет колоссальные трудности. Зато каждый результат, полученный при помощи математич. анализа принятой схемы явления, с огромной точностью осуществляется в действительности: логически очень простая схема хорошо отражает избранный круг явлений, и все трудности заключаются в извлечении математич. следствий из принятой схемы.

С переходом от механики к физике ещё не происходит заметного уменьшения роли математич. метода, однако значительно возрастают трудности его применения. Почти не существует области физики, не требующей употребления весьма развитого математич. аппарата, но часто основная трудность исследования заключается не в развитии математич. теории, а в выборе предпосылок для математич. обработки и в истолковании результатов, полученных математич. путём. На примере ряда физич. теорий можно наблюдать способность математич. метода охватывать и самый процесс перехода познания действительности с одной ступени на следующую, более высокую и качественно новую. Классич. образцом может служить соотношение между макроскопич. теорией диффузии, предполагающей диффундирующее вещество распределённым непрерывно, и статистич. теорией диффузии, исходящей из рассмотрения движения отдельных частиц диффундирующего вещества. В первой теории плотность диффундирующего вещества удовлетворяет определённому уравнению с частными производными. К нахождению решений этого дифференциального уравнения при надлежащих краевых и начальных условиях и сводится изучение различных проблем, относящихся к диффузии. Непрерывная теория диффузии с очень большой точностью передаёт действительный ход явлений, поскольку дело идёт об обычных для нас (макроскопических) пространственных и временных масштабах. Однако для малых частей пространства (вмещающих лишь небольшое число частиц диффундирующего вещества) само понятие плотности теряет определённый смысл. Статистич. теория диффузии исходит из рассмотрения мик-роскопич. случайных перемещений диффундирующих частиц под действием молекул растворяющего вещества. Точные количественные закономерности этих микроскопических перемещений нам неизвестны. Однако математич. теория вероятностей позволяет (из общих предпосылок о малости перемещений за малые промежутки времени и независимости перемещений частицы за два последовательных промежутка времени) получить определённые количественные следствия: определить (приближённо) законы распределения вероятностей для перемещений частиц за большие (макроскопические) промежутки времени. Так как число отдельных частиц диффундирующего вещества очень велико, то законы распределения вероятностей для перемещений отдельных частиц приводят, в предположении независимости перемещений каждой частицы от других, к вполне определённым, уже не случайным закономерностям для перемещения диффундирующего вещества в целом: к тем самым дифференциальным уравнениям, на к-рых построена непрерывная теория. Приведённый пример достаточно типичен в том смысле, что очень часто на почве одного круга закономерностей (в примере - законов движения отдельных частиц диффундирующего вещества) происходит образование другого, качественно нового рода закономерностей (в примере - дифференц. уравнений непрерывной теории диффузии) через посредство статистики случайных явлений.

В биологич. науках математич. метод играет более подчинённую роль. В ещё большей степени, чем в биологии, математич. метод уступает своё место непосредственному анализу явлений во всей их конкретной сложности в социальных и гуманитарных науках. Применение математич. метода в биологич., социальных и гуманитарных науках осуществляется гл. обр. через кибернетику (см. Кибернетика биологическая, Кибернетика медицинская, Кибернетика экономическая). Существенным остаётся значение М. для социальных дисциплин (как и для биологич. наук) в форме подсобной науки - математич. статистики. В окончательном же анализе социальных явлений моменты качественного своеобразия каждого историч. этапа приобретают столь доминирующее положение, что математич. метод часто отступает на задний план.

Математика и техника. Начала арифметики и элементарной геометрии, как будет видно из историч. очерка, возникли из непосредственных запросов практики; дальнейшее формирование новых математич. методов и идей происходит под влиянием опирающегося в своём развитии на запросы практики математич. естествознания (астрономии, механики, физики и т. д.). Прямые же связи М. с техникой чаще имеют характер применения уже созданных математич. теорий к техническим проблемам. Укажем, однако, примеры возникновения новых общих математич. теорий на основе непосредственных запросов техники. Создание метода наименьших квадратов связано с геодезич. работами; изучение многих новых типов дифференциальных уравнений с частными производными впервые было начато с решения технич. проблем; операторные методы решения дифференциальных уравнений были развиты в связи с электротехникой и т. д. Из запросов связи возник новый раздел теории вероятностей - теория информации. Задачи синтеза управляющих систем привели к развитию новых разделов математич. логики. Наряду с нуждами астрономии решающую роль в развитии методов приближённого решения дифференциальных уравнений играли технич. задачи. Целиком на технич. почве были созданы многие методы приближённого решения дифференциальных уравнений с частными производными и интегральных уравнений. Задача быстрого фактич. получения численных решений приобретает большую остроту с усложнением технич. проблем. В связи с возможностями, к-рые открыли вычислительные машины для решения практич. задач, всё большее значение приобретают численные методы. Высокий уровень теоретич. М. дал возможность быстро развить методы вычислительной математики. Вычислительная М. сыграла большую роль в решении ряда крупнейших практич. проблем, включая проблему использования атомной энергии и космич. исследования.

II. ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ ДО 19 В. Ясное понимание самостоятельного положения М. как особой науки, имеющей собственный предмет и метод, стало возможным только после накопления достаточно большого фактич. материала и возникло впервые в Др. Греции в 6-5 вв. до н. э. Развитие М. до этого времени естественно отнести к периоду зарождения математики, а к 6-5 вв. до н. э. приурочить начало периода элементарной математики. В течение этих двух первых периодов математич. исследования имеют дело почти исключительно с весьма ограниченным запасом основных понятий, возникших ещё на очень ранних ступенях историч. развития в связи с самыми простыми запросами хозяйственной жизни, сводившимися к счёту предметов, измерению количества продуктов, площадей земельных участков, определению размеров отдельных частей архитектурных сооружений, измерению времени, коммерческим расчётам, навигации и т. п. Первые задачи механики и физики [за исключением отдельных исследований греч. учёного Архимеда (3 в. до н. э.), требовавших уже начатков исчисления бесконечно малых] могли ещё удовлетворяться этим же запасом основных математич. понятий. Единственной наукой, к-рая задолго до широкого развития математич. изучения явлений природы в 17-18 вв. систематически предъявляла М. свои особые и очень большие требования, была астрономия, целиком обусловившая, напр., раннее развитие тригонометрии.

В 17 в. новые запросы естествознания и техники заставляют математиков сосредоточить своё внимание на создании методов, позволяющих математически изучать движение, процессы изменения величин, преобразования геометрич. фигур (при проектировании и т. п.). С употребления переменных величин в аналитич. геометрии франц. учёного Р. Декарта и создания дифференциального и интегрального исчисления начинается период математики переменных величин.

Дальнейшее расширение круга количественных отношений и пространственных форм, изучаемых М., привело в нач. 19 в. к необходимости отнестись к процессу расширения предмета математич. исследований сознательно, поставив перед собой задачу систематич. изучения с достаточно общей точки зрения возможных типов количественных отношений и пространственных форм. Создание рус. математиком Н. И. Лобачевским его "воображаемой геометрии", получившей впоследствии вполне реальные применения, было первым значительным шагом в этом направлении. Развитие подобного рода исследований внесло в строение М. столь важные новые черты, что М. в 19 и 20 вв. естественно отнести к особому периоду современной математики.

1. Зарождение математики. Счёт предметов на самых ранних ступенях развития культуры привёл к созданию простейших понятий арифметики натуральных чисел .Только на основе разработанной системы устного счисления возникают письменные системы счисления и постепенно вырабатываются приёмы выполнения над натуральными числами четырёх арифметич. действий (из к-рых только деление ещё долго представляло большие трудности). Потребности измерения (количества зерна, длины дороги и т. п.) приводят к появлению названий и обозначений простейших дробных чисел и к разработке приёмов выполнения арифметич. действий над дробями. Таким образом накапливается материал, складывающийся постепенно в древнейшую математич. науку - арифметику. Измерение площадей и объёмов, потребности строительной техники, а несколько позднее - астрономии, вызывают развитие начатков геометрии. Эти процессы шли у многих народов в значительной мере независимо и параллельно. Особенное значение для дальнейшего развития науки имело накопление арифметич. и геометрич. знаний в Египте и Вавилонии. В Вавилонии на основе развитой техники арифметич. вычислений появились также начатки алгебры, а в связи с запросами астрономии - начатки тригонометрии.

Сохранившиеся математич. тексты Др. Египта (1-я пол. 2-го тыс. до н. э.) состоят по преимуществу из примеров на решение отдельных задач и, в лучшем случае, рецептов для их решения, которые иногда удаётся понять, лишь анализируя числовые примеры, данные в текстах. Следует говорить именно о рецептах для решения отдельных типов задач, т. к. математич. теории в смысле доказательств общих теорем, видимо, вовсе не существовало. Об этом свидетельствует, напр., то, что точные решения употреблялись без всякого отличия от приближённых. Тем не менее самый запас установленных математич. фактов был, в соответствии с высокой строительной техникой, сложностью земельных отношений, потребностью в точном календаре и т. п., довольно велик (см. Папирусы математические).

Математич. текстов, позволяющих судить о М. в Вавилонии, несравненно больше, чем египетских. Вавилонские клинописные математические тексты охватывают период от 2-го тыс. до н. э. до возникновения и развития греч. М. Вавилония этого времени получила от более раннего шумерского периода развитую смешанную десятично-шестидесятиричную систему счисления, заключавшую в себе уже позиционный принцип (одни и те же знаки обозначают одно и то же число единиц разных шестидесятиричных разрядов). Деление при помощи таблиц обратных чисел сводилось к умножению. Кроме таблиц обратных чисел, имелись таблицы произведений, квадратов, квадратных и кубических корней. Из достижений вавилонской М. в области геометрии, выходящих за пределы познаний египтян, следует отметить разработанное измерение углов и нек-рые начатки тригонометрии, связанные, очевидно, с развитием астрономии. Вавилонянам была уже известна теорема Пифагора.

2. Период элементарной математики. Только после накопления большого конкретного материала в виде разрозненных приёмов арифметич. вычислений, способов определения площадей и объёмов и т. п. возникает М. как самостоятельная наука с ясным пониманием своеобразия её метода и необходимости систематич. развития её основных понятий и предложений в достаточно общей форме. В применении к арифметике и алгебре возможно, что указанный процесс начался уже в Вавилонии. Однако вполне определилось это новое течение, заключавшееся в систематическом и логически последовательном построении основ математич. науки, в Др. Греции. Созданная древними греками система изложения элементарной геометрии на два тысячелетия вперёд сделалась образцом дедуктивного построения математич. теории. Из арифметики постепенно вырастает чисел теория. Создаётся систематич. учение о величинах к измерении. Процесс формирования (в связи с задачей измерения величин) понятия действительного числа (см. Число) оказывается весьма длительным. Дело в том, что понятия иррационального и отрицательного числа относятся к тем более сложным математич. абстракциям, к-рые, в отличие от понятий натурального числа, дроби или геометрич. фигуры, не имеют достаточно прочной опоры в донаучном общечеловеческом опыте.

Создание алгебры как буквенного исчисления завершается лишь в конце рассматриваемого двухтысяче-летнего периода. Специальные обозначения для неизвестных появляются у греч. математика Диофанта (вероятно, 3 в.) и более систематически - в Индии в 7 в., но обозначение буквами коэффициентов уравнения введено только в 16 в. франц. математиком Ф. Виетом.

Развитие геодезии и астрономии рано приводит к детальной разработке тригонометрии, как плоской, так и сферической.

Период элементарной М. заканчивается (в Зап. Европе в нач. 17 в.), когда центр тяжести математич. интересов переносится в область М. переменных величин.

Древняя Греция. Развитие М. в Др. Греции приняло существенно иное направление, чем на Востоке. Если в отношении техники проведения вычислений, искусства решения задач алгебраич. характера и разработки математич. средств астрономии лишь в эллинистич. эпоху был достигнут и превзойдён уровень вавилонской М., то уже гораздо раньше М. в Др. Греции вступила в совершенно новый этап логич. развития. Появилась потребность в отчётливых математич. доказательствах, были сделаны первые попытки систематич. построения математич. теории. М., как и всё научное и художественное творчество, перестала быть безличной, какой она была в странах Др. Востока; она создаётся теперь известными по именам математиками, оставившими после себя математические сочинения (дошедшие до нас лишь в отрывках, сохранённых позднейшими комментаторами).

Греки считали себя в области арифметики учениками финикиян, объясняя высокое развитие арифметики у них потребностями их обширной торговли; начало же греч. геометрии традиция связывает с путешествиями в Египет (7- 6 вв. до н. э.) первых греч. геометров и философов Фалеса Милетского и Пифагора Самосского. В школе Пифагора арифметика из простого искусства счисления перерастает в теорию чисел. Суммируются простейшие арифметич. прогрессии [в частности, 1 + 3 + 5 + + ... + (2п - 1) = n²], изучаются делимость чисел, различные виды средних (арифметическое, геометрическое и гармоническое), вопросы теории чисел (напр., разыскание т. н. совершенных чисел) связываются в школе Пифагора с мистич., магич. значением, приписываемым числовым соотношениям. В связи с геометрич. теоремой Пифагора был найден метод получения неограниченного ряда троек чпифагоровых чисел", т. е. троек целых чисел, удовлетворяющих соотношению а² + b² = с². В области геометрии задачи, к-рыми занимались греч. геометры 6-5 вв. до н. э. после усвоения египетского наследства, также естественно возникают из простейших запросов строительного искусства, землемерия и навигации. Таковы, напр., вопросы о соотношении между длинами катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника (выражаемом теоремой Пифагора), о соотношении между площадями подобных фигур, квадратуре круга, трисекции угла и удвоении куба. Новым, однако, является подход к этим задачам, ставший необходимым с усложнением предмета исследования. Не ограничиваясь приближёнными, эмпирически найденными решениями, греч. геометры ищут точных доказательств и логически исчерпывающих решений проблемы. Ярким примером этой новой тенденции может служить доказательство несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной. Во 2-й пол. 5 в. до н. э. философская и научная жизнь Греции сосредоточивается в Афинах. Здесь протекает основная деятельность Гиппия Элидского и Гиппократа Хиосского. Первый систематич. учебник геометрии приписывают Гиппократу Хиосскому. К этому времени, несомненно, уже была создана разработанная система геометрии, не пренебрегавшая такими логич. тонкостями, как доказательство случаев равенства треугольников и т. п. Отражением в М. первых, хотя бы и чисто умозрительных, попыток рационального объяснения строения материи явилось едва ли не самое замечательное достижение геометрии 5 в. до н. э.- разыскание всех пяти правильных многогранников - результат поисков идеальных простейших тел, могущих служить основными камнями мироздания. На границе 5 и 4 вв. до н. э. Демокрит, исходя из атомистич. представлений, создаёт способ определения объёмов, послуживший позднее для Архимеда исходным пунктом разработки метода бесконечно малых. В 4 в. до н. э. в обстановке политич. реакции и упадка могущества Афин наступает эпоха известного подчинения М. ограничениям, выдвинутым идеалистич. философией. Наука о числах строго отделяется здесь от "искусства счисления", а геометрия - от "искусства измерения". Опираясь на существование несоизмеримых отрезков, площадей и объёмов, Аристотель налагает общий запрет на применение арифметики к геометрии. В самой геометрии вводится требование об ограничении построениями, осуществимыми при помощи циркуля и линейки. Наиболее значительным конкретным достижением математиков 4 в. до н. э. можно считать связанные с тенденцией к логич. анализу основ геометрии исследования Евдокса Книдского.

Эллинистическая и римская эпоха. С 3 в. до н. э. на протяжении семи столетий основным центром научных и особенно математич. исследований являлась Александрия. Здесь, в обстановке объединения различных мировых культур, больших гос. и строит, задач и невиданного ранее по своей широте гос. покровительства науке, греч. М. достигла своего высшего расцвета. Несмотря на распространение греч. образованности и научных интересов во всём эллинистическом и римском мире, Александрия с её "музеем", являвшимся первым н.-и. институтом в совр. смысле слова, и библиотеками обладала столь большой притягательной силой, что почти все крупнейшие учёные стекались сюда. Из упоминающихся ниже математиков лишь Архимед остался верным родным Сиракузам. Наибольшей • напряжённостью математич. творчества отличается первый век александрийской эпохи (3 в. до н. э.). Этому веку принадлежат Евклид, Архимед, Эратосфен и Аполлоний Пергский.

В своих "Началах" Евклид собрал и подверг окончательной логич. переработке достижения предыдущего периода в области геометрии (см. "Начала" Евклида). Вместе с тем в "Началах" же Евклид впервые заложил основы систематич. теории чисел, -доказывая бесконечность ряда простых чисел и строя законченную теорию делимости. Из геометрич. работ Евклида, не вошедших в "Начала", и работ Аполлония Пергского наибольшее значение для дальнейшего развития М. имело создание законченной теории конических сечений. Основной заслугой

Архимеда в геометрии явилось определение разнообразных площадей и объёмов (в т. ч. площадей параболич. сегмента и поверхности шара, объёмов шара, шарового сегмента, сегмента параболоида и т. д.) и центров тяжести (напр., шарового сегмента и сегмента параболоида); архимедова спираль является лишь одним из примеров изучавшихся в 3 в. до н. э. трансцендентных кривых. После Архимеда, хотя и продолжался рост объёма научных знаний, александрийская наука уже не достигала прежней цельности и глубины; зачатки анализа бесконечно малых, содержавшиеся в эвристич. приёмах Архимеда, не получили дальнейшего развития. Следует сказать, что возникший из прикладных нужд интерес к приближённому измерению величин и приближённым вычислениям не привёл математиков 3 в. до н. э. к отказу от математич. строгости. Все многочисленные приближённые извлечения корней и даже все астрономич. вычисления производились ими с точным указанием границ погрешности, по типу знаменитого архимедова определения длины окружности в форме безукоризненно доказанных неравенств

где р - длина окружности с диаметром d. Это отчётливое понимание того, что приближённая М. не есть "нестрогая" М., было позднее надолго забыто.

Существенным недостатком всей М. древнего мира было отсутствие окончательно сформированного понятия иррационального числа. Как уже было указано, это обстоятельство привело философию 4 в. до н. э. к полному отрицанию законности применения арифметики к изучению геометрич. величин. В действительности, в теории пропорций и в исчерпывания методе математикам 4 и 3 вв. до н. э. всё же удалось косвенным образом осуществить это применение арифметики к геометрии. Ближайшие века принесли не положительное разрешение проблемы путём создания фундаментального нового понятия (иррационального числа), а постепенное её забвение, ставшее возможным с постепенной утратой представлений о математич. строгости. На этом этапе истории М. временный отказ от математич. строгости оказался, однако, полезным, открыв возможность беспрепятственного развития алгебры (допускавшейся в рамках строгих концепций евклидовых "Начал" лишь в чрезвычайно стеснительной форме "геометрической алгебры" отрезков, площадей и объёмов). Значительные успехи в этом направлении можно отметить в "Метрике" Герона. Однако самостоятельное и широкое развитие настоящего алгебраич. исчисления встречается лишь в "Арифметике" Диофанта, посвящённой в основном решению уравнений. Относя свои исследования к чистой арифметике, Диофант, естественно, ограничивается, в отличие от практика Герона, рациональными решениями, исключая тем самым возможность геометрич. или механич. приложений своей алгебры. Тригонометрия воспринимается в древнем мире в большой мере как часть астрономии, а не как часть М. К ней так же, как и к вычислит, геометрии Герона, не предъявляется требований полной строгости формулировок и доказательств. Гиппарх первый составил таблицы хорд, исполнявшие роль наших таблиц синусов. Начала сферич. тригонометрии создаются Менелаем и Клавдием Птолемеем.

В области чистой М. деятельность учёных последних веков древнего мира (кроме Диофанта) всё более сосредоточивается на комментировании старых авторов. Труды учёных-комментаторов этого времени [Паппа (Зв.), Прокла (5 в.) и др.], при всей их универсальности, не могли уже в обстановке упадка античного мира привести к объединению изолированно развивавшихся алгебры Диофанта, включённой в астрономию тригонометрии, и откровенно нестрогой вычислит, геометрии Герона в единую, способную к большому развитию науку.

Китай. Наличие у кит. математиков высокоразработанной техники вычислений и интереса к общим алгебраич. методам обнаруживает уже "Арифметика в девяти главах", составленная по более ранним источникам во 2-1 вв. до н. э. Чжан Цаном и Цзин Чоу-чаном.В этом сочинении описываются, в частности, способы извлечения квадратных и кубических корней из целых чисел. Большое число задач формулируется так, что их можно понять только как примеры, служившие для разъяснения отчётливо воспринятой схемы исключения неизвестных в системах линейных уравнений. В связи с календарными расчётами в Китае возник интерес к задачам такого типа: при делении числа на 3 остаток есть 2, при делении на 5 остаток есть 3, а при делении на 7 остаток есть 2, каково это число? Сунь-цзы (между 2 и 6 вв.) и более полно Цинь Цзю-шао (13 в.) дают изложенное на примерах описание регулярного алгоритма для решения таких задач. Примером высокого развития вычислит, методов в геометрии может служить результат Цзу Чун-чжи (2-я пол. 5 в.), к-рый показал, что отношение длины окружности к диаметру лежит в пределах 3,1415926<Пи<3,1415927. Особенно замечательны работы китайцев по численному решению уравнений. Геометрич. задачи, приводящие к уравнениям третьей степени, впервые встречаются у астронома и математика Ван Сяо-туна (1-я пол. 7 в.). Изложение методов решения уравнений четвёртой и высших степеней былодано в работах математиков 13-14 вв. Цинь Цзю-шао, Ли Е, Ян Хуэя и Чжу Ши-цэе.

Индия. Расцвет инд. М. относится к 5-12 вв. (наиболее известны инд. математики Ариабхата, Брахмагупта, Бхаскара). Индийцам принадлежат две осн. заслуги. Первой из них является введение в широкое употребление совр. десятичной системы счисления и систематич. употребление нуля для обозначения отсутствия единиц данного разряда. Происхождение употреблявшихся в Индии цифр, называемых теперь "арабскими", не вполне выяснено. Второй, ещё более важной заслугой инд. математиков является создание алгебры, свободно оперирующей не только с дробями, но и с иррациональными и отрицательными числами. Однако обычно при истолковании решений задач отрицательные решения считаются невозможными. Вообще следует отметить, что в то время как дробные и иррациональные числа с самого момента своего возникновения связаны с измерением непрерывных величин, отрицательные числа возникают в основном из внутренних потребностей алгебры и лишь позднее (в полной мере в 17 в.) получают самостоятельное значение. В тригонометрии заслугой инд. математиков явилось введение линий синуса, косинуса, синус-верзуса.

Средняя Азия и Ближний Восток. Араб, завоевания и кратковременное объединение огромных территорий под властью араб.халифов привели к тому, что в течение 9-15вв. учёные Ср.Азии, Бл.Востока и Пиренейского п-ова пользовались араб, языком. Наука здесь развивается в мировых торговых городах, в обстановке широкого междунар. общения и гос. поддержки больших науч. начинаний. Блестящим завершением этой эпохи явилась в 15 в. деятельность Улугбека, к-рый при своём дворе и обсерватории в Самарканде собрал более ста учёных и организовал долго остававшиеся непревзойдёнными астрономии, наблюдения, вычисление математич. таблиц и т. п.

В зап.-европ. науке длительное время господствовало мнение, что роль -"арабской культуры" в области М. сводится в основном к сохранению и передаче математикам Зап. Европы математич. открытий древнего мира и Индии. (Так, сочинения греч. математиков впервые стали известны в Зап. Европе по араб. переводам.) В действительности вклад математиков, писавших на араб, языке, и в частности математиков, принадлежавших к народам современной советской Ср. Азии и Кавказа (хорезмийских, узбекских, таджикских, азербайджанских), в развитие науки значительно больше.

В 1-й пол. 9 в. Мухаммед бен Муса Хорезми впервые дал изложение алгебры как самостоят, науки. Термин "алгебра" производят от начала названия сочинения Хорезми "Аль-джебр", по к-рому европ. математики раннего средневековья познакомились с решением квадратных уравнений. Омар Хайям систематически изучил уравнения третьей степени, дал их классификацию, выяснил условия их разрешимости (в смысле существования положительных корней). Хайям в своём алгебраич. трактате говорит, что он много занимался поисками точного решения уравнений третьей степени. В этом направлении поиски среднеазиатских математиков не увенчались успехом, но им были хорошо известны как геометрические (при помощи конич. сечений), так и приближённые численные методы решения. Заимствовав от индийцев десятичную систему счисления с употреблением нуля, математики Ср. Азии и Бл. Востока применяли в больших науч. вычислениях по преимуществу шестидесятиричную систему (по-видимому, в связи с шестидесятиричным делением углов в астрономии).

В связи с астрономич. и геодезич. работами большое развитие получила тригонометрия. Аль-Баттани ввёл в употребление тригонометрич. функции синус, тангенс и котангенс, Абу-лъ-Вефа - все шесть тригонометрич. функций, он же выразил словесно алгебраич. зависимости между ними, вычислил таблицы синусов через 10' с точностью до 1/60⁴ и таблицы тангенсов и установил теорему синусов для сферич. треугольников. Насирэддин Туей достиг известного завершения разработки сферич. тригонометрии, алъ-Каши дал систематич. изложение арифметики десятичных дробей, к-рые справедливо считал более доступными, чем шестидесятиричные. В связи с вопросами извлечения корней аль-Каши сформулировал словесно формулу бинома Ньютона, указал правило образования коэффициентов С_n^m=С_n-1^m+С_n-1^m-1. В "Трактате об окружности" (ок. 1427) аль-Каши, определяя периметры вписанного и описанного 3*2²⁸-угольников, нашёл я с семнадцатью десятичными знаками. В связи с построением обширных таблиц синусов аль-Каши дал весьма совершенный итерационный метод численного решения уравнений.

Западная Европа до 16 в. 12-15 вв. являются для зап.-европ. М. по преимуществу периодом усвоения наследства древнего мира и Востока. Тем не менее уже в этот период, не приведший ещё к открытию особенно значит, новых математич. фактов, общий характер европ. математич. культуры отличается рядом существенных прогрессивных черт, обусловивших возможность стремит, развития М. в последующие века. Высокий уровень требований быстро богатеющей и политически независимой буржуазии итал, городов привёл к созданию и широкому распространению учебников, соединяющих практическое общее направление с большой обстоятельностью и научностью. Меньше чем через 100 лет после появления в 12 в. первых латинских переводов греч. и араб, математич. сочинений Леонардо Пизанский (Фибоначчи) выпускает в свет свои "Книгу об абаке" (1202) и "Практику геометрии" (1220), излагающие арифметику, коммерческую арифметику, алгебру и геометрию. Эти книги имели большой успех. К концу рассматриваемой эпохи (с изобретением книгопечатания) учебники получают ещё более широкое распространение. Основными центрами теоретич. научной мысли в это время становятся университеты. Прогресс алгебры как теоретич. дисциплины, а не только собрания практич. правил для решения задач, сказывается в ясном понимании природы иррациональных чисел как отношений несоизмеримых величин [англ, математик Т. Брадвардин (1-я пол. 14 в.) и Н. Орем (сер. 14 в.)] и особенно во введении дробных (Н. Орем), отрицательных и нулевых [франц. математик Н. Шюке (конец 15 в.)] показателей степеней. Здесь же возникают первые, предваряющие следующую эпоху идеи о бесконечно больших и бесконечно малых величинах. Широкий размах научных исследований этой эпохи нашёл отражение не только в многочисленных переводах и изданиях греч. и араб, авторов, но и в таких начинаниях, как составление обширных три-гонометрич. таблиц, вычисленных с точностью до седьмого знака Региомонтаном (И. Мюллером). Значительно совершенствуется математич. символика (см. Знаки математические). Развиваются научная критика и полемика. Поиски решения трудных задач, поощряемые обычаем публичных состязаний в их решении, приводят к первым доказательствам неразрешимости. Уже Леонардо Пизанский в соч. "Цветок" (около 1225), в котором собраны предложенные ему и блестяще решённые им задачи, доказал неразрешимость уравнения: х³+2х²+10x=20 не только в рациональных числах, но и при помощи простейших квадратичных иррациональностей вида

Западная Европа в 16 в. Этот век был первым веком превосходства Зап. Европы над древним миром и Востоком. Так было в астрономии (открытие Н. Коперника) и в механике (к концу этого столетия уже появляются первые исследования Г. Галилея), так в целом обстоит дело и в М., несмотря на то, что в нек-рых направлениях европ. наука ещё отстаёт от достижений среднеазиатских математиков 15 в. и что в действительности большие новые идеи, определившие дальнейшее развитие новой европ. М., возникают лишь в следующем, 17 в. В 16 же веке казалось, что новая эра в М. начинается с открытием алгебраич. решения уравнений третьей (С. Ферро, ок. 1515, и позднее и независимо Н. Тартальей, ок. 1530; об истории этих открытий см. Кардана формула) и четвёртой (Л. Феррари, 1545) степеней, к-рое считалось в течение столетий неосуществимым. Дж. Кардана исследовал уравнения третьей степени, открыв т. н. неприводимый случай, в к-ром действительные корни уравнения выражаются комплексно. Это заставило Кардано, хотя и очень неуверенно, признать пользу вычислений с комплексными числами. Дальнейшее развитие алгебра получила у Ф. Виета - основателя настоящего алгебраич. буквенного исчисления (1591) (до него буквами обозначались лишь неизвестные). Учение о перспективе, развивавшееся в геометрии ещё ранее 16 в., излагается нем. художником А. Дюрером (1525). С. Стевин разработал (1585) правила арифметич. действий с десятичными дробями.

Россия до 18 в. Математич. образование в России находилось в 9-13 вв. на уровне наиболее культурных стран Вост. и Зап. Европы. Затем оно было надолго задержано монг. нашествием. В 15-16 вв. в связи с укреплением Рус. гос-ва и экономич. ростом страны значительно выросли потребности общества в математич. знаниях. В конце 16 в. и особенно в 17 в. появились многочисл. рукописные руководства по арифметике, геометрии, в к-рых излагались довольно обширные сведения, необходимые для практич. деятельности (торговли, налогового дела, артиллерийского дела, строительства и пр.).

В Др. Руси получила распространение сходная с греко-византийской система числовых знаков, основанная на слав, алфавите (см. Славянские цифры). Славянская нумерация в русской математич. лит-ре встречается до нач. 18 в., но уже с конца 16 в. эту нумерацию всё более вытесняет принятая ныне десятичная позиционная система.

Наиболее древнее известное нам математич. произведение относится к 1136 и принадлежит новгородскому монаху Кирику. Оно посвящено арифмстико-хронологич. расчётам, к-рые показывают, что в то время на Руси умели решать сложную задачу вычисления пасхалий (определения на каждый год дня наступления праздника пасхи), сводящуюся в своей математич. части к решению в целых числах неопределённых уравнений первой степени. Арифметич. рукописи конца 16-17 вв. содержат, помимо описания славянской и араб, нумерации, арифметич. операции с целыми положит, числами, а также подробное изложение правил действия с дробями, тройное правило и решение уравнений первой степени с одним неизвестным посредством правила ложного положения. Для целей практич. использования общих правил в рукописях рассматривалось много примеров реального содержания и излагался т. н. дощаный счёт - прототип русских счётов. Подобным же образом была построена и первая арифметич. часть знаменитой "Арифметики" Л. Ф. Магницкого (1703). В геометрич. рукописях, в большинстве своём преследовавших также практич. цели, содержалось изложение правил определения площадей фигур и объёмов тел, часто приближённых, использовались свойства подобных треугольников и теорема Пифагора.

3. Период создания математики переменных величин. С 17 в. начинается существенно новый период развития математики. "Поворотным пунктом в математике была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчислени е..." (Энгельс Ф., см. Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 20, с. 573). Круг количественных отношений и пространственных форм, изучаемых теперь М., уже не исчерпывается числами, величинами и геометрич. фигурами. В основном это было обусловлено явным введением в М. идей движения и изменения (см. Переменные и постоянные величины). Уже в алгебре в скрытом виде содержится идея зависимости между величинами (значение суммы зависит от значений слагаемых и т. д.). Однако чтобы охватить количественные отношения в процессе их изменения, надо было самые зависимости между величинами сделать самостоятельным предметом изучения. Поэтому на первый план выдвигается понятие функции, играющее в дальнейшем такую же роль основного и самостоятельного предмета изучения, как ранее понятия величины или числа. Изучение переменных величин и функциональных зависимостей приводит далее к основным понятиям математич. анализа, вводящим в М. в явном виде идею бесконечного, к понятиям предела, производной, дифференциала и интеграла. Создаётся анализ бесконечно малых, в первую очередь в виде дифференциального исчисления и интегрального исчисления, позволяющий связывать конечные изменения переменных величин с их поведением в непосредственной близости отдельных принимаемых ими значений. Основные законы механики и физики записываются в форме дифференциальных уравнений, и задача интегрирования этих уравнений выдвигается в качестве одной из важнейших задач М. Разыскание неизвестных функций, определённых другого рода условиями, составляет предмет ' вариационного исчисления. Таким образом, наряду с уравнениями, в к-рых неизвестными являются числа, появляются уравнения, в к-рых неизвестны и подлежат определению функции.

Предмет изучения геометрии также существенно расширяется с проникновением в геометрию идей движения и преобразования фигур. Геометрия начинает изучать движение и преобразования сами по себе. Напр., в проективной геометрии одним из осн. объектов изучения являются сами проективные преобразования плоскости или пространства. Впрочем, сознательное развитие этих идей относится лишь к концу 18 в. и нач. 19 в. Гораздо раньше, с созданием в 17 в. аналитической геометрии, принципиально изменилось отношение геометрии к остальной М.: был найден универсальный способ перевода вопросов геометрии на язык алгебры и анализа и решения их чисто алгебраич. и анали-тич. методами, а с другой стороны, открылась широкая возможность изображения (иллюстрирования) алгебраич. и аналитич. фактов геометрически, напр, при графич. изображении функциональных зависимостей (см. Координаты).

Алгебра 17 и 18 вв. в значительной мере посвящена следствиям, вытекающим из возможности изучать левую часть уравнения Р(х) = 0 как функцию переменного х. Этот подход к делу позволил изучить вопрос о числе действительных корней, дать методы их отделения и приближённого вычисления, в комплексной же области привёл франц. математика Ж. Д'Аламбера к не вполне строгому, но для математиков 18 в. достаточно убедительному доказательству "основной теоремы алгебры" о существовании у любого алгебраич. уравнения хотя бы одного корня. Достижения "чистой" алгебры, не нуждающейся в заимствованных из анализа понятиях о непрерывном изменении величин, в 17-18 вв. были тоже значительны (достаточно указать здесь на решение произвольных систем линейных уравнений при помощи определителей, разработку теории делимости многочленов, исключения неизвестных и т. д.), однако сознательное отделение собственно алгебраич. фактов и методов от фактов и методов математич. анализа типично лишь для более позднего времени (2-я пол. 19 в.- 20 в.). В 17-18 вв. алгебра в значит, мере воспринималась как первая глава анализа, в которой вместо исследования произвольных зависимостей между величинами и решения произвольных уравнений ограничиваются зависимостями и уравнениями алгебраическими.

Создание новой М. переменных величин в 17 в. было делом учёных передовых стран Зап. Европы, в первую очередь И. Ньютона и Г. Лейбница. В 18 в. одним из осн. центров научных математич. исследований становится также Петерб. академия наук, где работал ряд крупнейших математиков того времени иностр. происхождения (Л. Эйлер, Д. Бернулли) и постепенно складывается русская математич. школа, блестяще развернувшая свои исследования с нач. 19 в. 17 век. Охарактеризованный выше новый этап развития М. органически связан с созданием в 17 в. математич. естествознания, имеющего целью объяснение течения отдельных природных явлений действием общих, математически сформулированных законов природы. На протяжении 17 в. действительно глубокие и обширные математич. исследования относятся лишь к двум областям естественных наук - к механике [Г. Галилей открывает законы падения тел (1632, 1638), И. Кеплер - законы движения планет (1609, 1619), И. Ньютон - закон всемирного тяготения (1687)] и к оптике [Г. Галилей (1609) и И. Кеплер (1611) сооружают зрительные трубы, И. Ньютон развивает оптику на основе теории истечения, X. Гюйгенс и Р. Гук - на основе волновой теории]. Тем не менее рационалистич. философия 17 в. выдвигает идею универсальности математич. метода (Р. Декарт, Б. Спиноза, Г. Лейбниц), придающую особенную яркость устремлениям этой, по преимуществу философской, эпохи в развитии М.

Серьёзные новые математич. проблемы выдвигают перед М. в 17 в. навигация (необходимость усовершенствования часового дела и создания точных хронометров), а также картография, баллистика, гидравлика. Авторы 17 в. понимают и любят подчёркивать большое практич. значение М. Опираясь на свою тесную связь с естествознанием, М. 17 в. смогла подняться на новый этап развития. Новые понятия, не укладывающиеся в старые формально-логич. категории М., получали своё оправдание в соответствии реальным соотношениям действительного мира. Так, напр., реальность понятия производной вытекала из реальности понятия скорости в механике; поэтому вопрос заключался не в том, можно ли логически оправдать это понятие, а лишь в том, как это сделать.

Математич. достижения 17 в. начинаются открытием логарифмов (Дж. Непер, опубликовавший свои таблицы в 1614). В 1637 Р. Декарт публикует свою "Геометрию", содержащую основы координатного метода в геометрии, классификацию кривых с подразделением их на алгебраические и трансцендентные. В тесной связи с возможностью представить корни уравнения Р(х) = 0 точками пересечения кривой у = Р(х) с осью абсцисс в алгебре исследуются действительные корни уравнения любой степени (Р. Декарт, И. Ньютон, М. Ролль). Исследования П. Ферма о максимумах и минимумах и разыскании касательных к кривым уже содержат в себе по существу приёмы дифференциального исчисления, но самые эти приёмы ещё не выделены и не развиты. Другим источником анализа бесконечно малых является развитый И. Кеплером (1615) и Б. Кавальери (1635) "неделимых" метод, применённый ими к определению объёмов тел вращения и ряду других задач. Так, в геометрич. форме были по существу созданы начала дифференциального и интегрального исчисления.

Параллельно развивается учение о бесконечных рядах. Свойства простейших рядов, начиная с геометрич. прогрессии, изучил Дж. Валлис (1685). Н. Меркатор (1668) получил разложение ln(1+х) в степенной ряд. И. Ньютон нашёл (1665- 1669) формулу бинома для любого показателя, степенные ряды функций е^х, sin х, arc sin х. В дальнейшем развитии учения о бесконечных рядах приняли участие почти все математики 17 в. (Дж. Валлис, X. Гюйгенс, Г. Лейбниц, Я. Бернулли и др.).

С созданием координатного метода и распространением представлений о направленных механич. величинах (скорости, ускорения) понятие отрицательного числа приобрело полную наглядность и ясность. Наоборот, комплексные числа, по-прежнему оставаясь побочным продуктом алгебраич. аппарата, продолжали быть по преимуществу лишь предметом бесплодных споров.

К последней трети 17 в. относится открытие дифференциального и интегрального исчисления в собственном смысле слова. В отношении публикации приоритет этого открытия принадлежит Г. Лейбницу, давшему развёрнутое изложение осн. идей нового исчисления в статьях, опубл. в 1682-86. В отношении же времени фактического получения осн. результатов имеются все основания считать приоритет принадлежащим И. Ньютону, к-рый к основным идеям дифференциального и интегрального исчисления пришёл в течение 1665-66. "Анализ с помощью уравнений" И. Ньютона в 1669 был передан им в рукописи англ, математикам И. Барроу и Дж. Коллинзу и получил широкую известность среди англ, математиков. "Метод флюксий" - сочинение, в к-ром И. Ньютон дал вполне законченное систематич. изложение своей теории,- был написан в 1670-71 (издан в 1736). Г. Лейбниц же начал свои исследования по анализу бесконечно малых лить в 1673. И. Ньютон и Г. Лейбниц впервые в общем виде рассмотрели основные для нового исчисления операции дифференцирования и интегрирования функций, установили связь между этими операциями (т. н. формула Ньютона - Лейбница) и разработали для них общий единообразный алгоритм. Подход к делу у И. Ньютона и Г. Лейбница, однако, различен. Для И. Ньютона исходными понятиями являются понятия "флюенты" (переменной величины) и её "флюксии" (скорости её изменения). Прямой задаче нахождения флюксий и соотношений между флюксиями по заданным флюентам (дифференцирование и составление дифференциальных уравнений) И. Ньютон противопоставлял обратную задачу нахождения флюент по заданным соотношениям между флюксиями, т. е. сразу общую задачу интегрирования дифференциальных уравнении; задача нахождения первообразной появляется здесь как частный случай интегрирования дифференциального уравнения

Такая точка зрения была вполне естественна для И. Ньютона как создателя ма-тематич. естествознания: его исчисление флюксий являлось просто отражением той идеи, что элементарные законы природы выражаются дифференциальными уравнениями, а предсказание хода описываемых этими уравнениями процессов требует их интегрирования (см. Флюксий исчисление). Для Г. Лейбница в центре внимания находился вопрос о переходе от алгебры конечного к алгебре бесконечно малых; интеграл воспринимался прежде всего как сумма бесконечно большого числа бесконечно малых, а основным понятием дифференциального исчисления являлись дифференциалы - бесконечно малые приращения переменных величин (наоборот, И. Ньютон, вводя соответствующее понятие "момента", стремился в более поздних работах от него освободиться). С публикации работ Г. Лейбница в континентальной Европе начался период интенсивной коллективной работы над дифференциальным и интегральным исчислением, интегрированием дифференциальных уравнений и геометрич. приложениями анализа, в к-рой принимали участие, кроме самого Г. Лейбница, Я. Бернулли, И. Бернулли, Г. Лопиталъ и др. Здесь создаётся совр. стиль мате-матич. работы, при к-ром полученные результаты немедленно публикуются в журнальных статьях и уже очень скоро после опубликования используются в исследованиях др. учёных.

Кроме аналитич. геометрии, развивается в тесной связи с алгеброй и анализом дифференциальная геометрия, в 17 в. закладываются основы дальнейшего развития чистой геометрии гл. обр. в направлении создания осн. понятий проективной геометрии. Из других открытий 17 в. следует отметить исследования по теории чисел (Б. Паскаль, П. Ферма); разработку осн. понятий комбинаторики (П. Ферма, Б. Паскаль, Г. Лейбниц); первые работы по теории вероятностей (П. Ферма, Б. Паскаль), увенчавшиеся в конце века результатом принципиального значения - открытием простейшей формы больших чисел закона (Я. Бернулли, опубл. в 1713). Необходимо указать ещё на построение Б. Паскалем (1641) и Г. Лейбницем (1673-74) первых счётных машин, оставшееся надолго, впрочем, без практич. последствий.

18 век. В нач. 18 в. общий стиль математич. исследований постепенно меняется. Успех 17 в., обусловленный в основном новизной метода, создавался гл. обр. смелостью и глубиной общих идей, что сближало М. с философией. К началу 18 в. развитие новых областей М., созданных в 17 в., достигло того уровня, при к-ром дальнейшее продвижение вперёд стало требовать в первую очередь искусства в овладении математич. аппаратом и изобретательности в разыскании неожиданных обходных решений трудных задач. Из двух величайших математиков 18 в. Л. Эйлер является наиболее ярким представителем этой виртуозной тенденции, а Ж. Лагранж, быть может, уступая Л. Эйлеру в количестве и разнообразии решённых задач, соединил блестящую технику с широкими обобщающими концепциями, типичными для франц. матем. школы 2-й пол. 18 в., тесно связанной с большим филос. движением франц. просветителей и материалистов. Увлечение необычайной силой аппарата матем. анализа приводит, естественно, к вере в возможность его чисто автоматич. развития, в безошибочность матем. выкладок даже тогда, когда в них входят символы, лишённые смысла. Если при создании анализа бесконечно малых сказывалось неумение логически справиться с идеями, имевшими полную наглядную убедительность, то теперь открыто проповедуется право вычислять по обычным правилам лишённые непосредственно смысла математич. выражения, не опираясь ни на наглядность, ни на к.-л. логич. оправдание законности таких операций. Из старшего поколения в эту сторону всё больше склоняется Г. Лейбниц, к-рый в 1702 по поводу интегрирования рациональных дробей при помощи их разложения на мнимые выражения говорит о "чудесном вмешательстве идеального мира" и т. п. Более реалистически настроенный Л. Эйлер не говорит о чудесах, но воспринимает законность операций с мнимыми числами и с расходящимися рядами как эмпирич. факт, подтверждаемый правильностью получаемых при помощи подобных преобразований следствий. Хотя работа по рациональному уяснению основ анализа бесконечно малых была начата, систематическое проведение логич. обоснования анализа было осуществлено лишь в 19 в.

Если виднейшие математики 17 в. очень часто были в то же время философами или физиками-экспериментаторами, то в 18 в. научная работа математика становится самостоятельной профессией. Математики 18 в.- это люди из разных кругов общества, рано выделившиеся своими математич. способностями, с быстро развивающейся академич. карьерой (Л. Эйлер, происходя из пасторской семьи в Базеле, в возрасте 20 лет был приглашён адъюнктом в Петерб. академию наук, 23 лет становится там же профессором, 39 лет - председателем физико-математич. класса Берлинской академии наук; Ж. Лагранж - сын французского чиновника, 19 лет - профессор в Турине, 30 лет - председатель физико-математич. класса Берлинской академии наук; П. Лаплас - сын франц. крестьянина, 22 лет - профессор военной школы в Париже, 36 лет - член Парижской академии наук). При этом, однако, математич. естествознание (механика, математич. физика) и технич. применения М. остаются в сфере деятельности математиков. Л. Эйлер занимается вопросами кораблестроения и оптики, Ж. Лагранж создаёт основы аналитич. механики, П. Лаплас, считавший себя в основном математиком, также является крупнейшим астрономом и физиком своего времени и т. д.

М. 18 в. обогатилась многими выдающимися результатами. Благодаря работам Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и А. Лежандра теория чисел приобретает характер систематич. науки. Ж. Лагранж дал (1769, опубл. в 1771) общее решение неопределённых уравнений второй степени. Л. Эйлер установил (1772, опубл. в 1783) закон взаимности для квадратичных вычетов. Он же привлёк (1737, 1748, 1749) для изучения простых чисел дзета-функцию, чем положил начало аналитич. теории чисел.

При помощи разложений в непрерывные дроби Л. Эйлер доказал (1737, опубл. в 1744) иррациональность е и ё², а И. Ламберт (1766, опубл. в 1768) - иррациональность я. В алгебре Г. Крамер (1750) ввёл для решения систем линейных уравнений определители. Л. Эйлер рассматривал как эмпирически установленный факт существование у каждого алгебраич. уравнения корня вида

А + В на корень из -1. Постепенно укореняется убеждение, что вообще мнимые выражения (не только в алгебре, но и в анализе)_ всегда приводимы к виду А + В на корень из -1. Ж. Д'Аламбер доказал (1748), что модуль многочлена не может иметь минимума, отличного от нуля (т. н. лемма Д'Аламбера), считая это за доказательство существования корня у любого алгебраич. уравнения. Формулы А. Муавра и Л. Эйлера, связывающие показательную и тригонометрич. функции комплексных аргументов, привели к дальнейшему расширению применений комплексных чисел в анализе. И. Ньютон, Дж. Стирлинг, Л. Эйлер и П. Лаплас заложили основы конечных разностей исчисления. Б. Тейлор открыл (1715) свою формулу разложения произвольной функции в степенной ряд. У исследователей 18 в., особенно у Л. Эйлера, ряды становятся одним из самых мощных и гибких орудий анализа. С Ж. Д'Аламбера начинается серьёзное изучение условий сходимости рядов. Л. Эйлер, Ж. Лагранж и особенно А. Ле-жандр заложили основы исследования эллиптич. интегралов - первого вида неэлементарных функций, подвергнутого глубокому специальному изучению. Большое внимание уделялось дифференциальным уравнениям, в частности Л. Эйлер дал (1739, опубл. в 1743) первый метод решения линейного дифференциального уравнения любого порядка с постоянными коэффициентами, Ж. Д'Аламбер рассматривал системы дифференциальных уравнений, Ж. Лагранж и П. Лаплас развивали общую теорию линейных дифференциальных уравнений любого порядка. Л. Эйлер, Г. Монж и Ж. Лагранж заложили основы общей теории дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка, а Л. Эйлер, Г. Монж и П. Лаплас - второго порядка. Специальный интерес представляет введение в анализ разложения функций в тригонометрич. ряды, т. к. в связи с этой задачей между Л. Эйлером, Д. Бернулли, Ж. Д'Аламбером, Г. Монжем и Ж. Лагранжем развернулась полемика по вопросу о понятии функции, подготовившая фундаментальные результаты 19 в. о соотношении между аналитич. выражением и произвольным заданием функции. Наконец, новым отделом анализа, возникшим в 18 в., является вариационное исчисление, созданное Л. Эйлером и Ж. Лагранжем. А. Муавр, Я. Бернулли, П. Лаплас на основе отд. достижений 17-18 вв. заложили начала вероятностей теории.

В области геометрии Л. Эйлер привёл к завершению систему элементарной аналитич. геометрии. В работах Л. Эйлера, А. Клеро, Г. Монжа и Ж. Менье были заложены основы дифференц. геометрии пространственных кривых и поверхностей. И. Ламберт развил теорию перспективы, а Г. Монж придал окончательную форму начертательной геометрии.

Из приведённого обзора видно, что М. 18 в., основываясь на идеях 17 в., по размаху работы далеко превзошла предыдущие века. Этот расцвет М. был связан по преимуществу с деятельностью академий; университеты играли меньшую роль. Отдалённость крупнейших математиков от университетского преподавания возмещалась той энергией, с к-рой все они, начиная с Л. Эйлера и Ж. Лагранжа, писали учебники и обширные, включающие отдельные исследования, трактаты.

III. СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА Все созданные в 17 и 18 вв. разделы математич. анализа продолжали с большой интенсивностью развиваться в 19 и 20 вв. Чрезвычайно расширился за это время и круг их применений к задачам, выдвигаемым естествознанием и техникой. Однако, помимо этого количественного роста, с последних лет 18 в. и в нач. 19 в. в развитии М. наблюдается и ряд существенно новых черт.

1. Расширение предмета математики Накопленный в 17 и 18 вв. огромный фактич. материал привёл к необходимости углублённого логич. анализа и объединения его с новых точек зрения. Открытие и введение в употребление геометрия, интерпретации комплексных чисел [датский землемер К. Вессель, 1799, и франц. математик Ж. Арган (Арганд), 1806], доказательство неразрешимости в радикалах общего алгебраич. уравнения пятой степени (Н. Абель, 1824), разработка О. Коши основ теории функций комплексного переменного, его работы по строгому обоснованию анализа бесконечно малых, создание Н. И. Лобачевским (1826, опубл. в 1829-30) и Я. Больяй (1832) неевклидовой геометрии, работы К. Гаусса (1827) по внутренней геометрии поверхностей - типичные примеры наметившихся на рубеже 18 и 19 вв. новых тенденций в развитии М.

Связь М. с естествознанием, оставаясь по существу не менее тесной, приобретает теперь более сложные формы. Большие новые теории возникают не только в результате непосредственных запросов естествознания или техники, но также из внутренних потребностей самой М. Таково в основном было развитие теории функций комплексного переменного, занявшей в начале и сер. 19 в. центральное положение во всём математич. анализе.

Другим замечательным примером теории, возникшей в результате внутреннего развития самой М., явилась "воображаемая геометрия" Лобачевского (см. Лобачевского геометрия).

Можно привести ещё один пример того, как начавшийся в конце 18 в. и 1-й пол. 19 в. пересмотр с более общих точек зрения добытых ранее конкретных математич. фактов нашёл во 2-й пол. 19 в. и в 20 в. мощную поддержку в новых запросах естествознания. Теория групп ведёт своё начало с рассмотрения Ж. Лагранжем (1771) групп подстановок в связи с проблемой разрешимости в радикалах алгебраич. уравнений высших степеней. Э. Галуа (1830-32, опубл. в 1832, 1846) при помощи теории групп подстановок дал окончательный ответ на вопрос об условиях разрешимости в радикалах алгебраич. уравнений любой степени. В сер. 19 в. А. Кэли дал общее "абстрактное" определение группы. С. Ли разработал, исходя из общих проблем геометрии, теорию непрерывных групп. И лишь после этого Е. С. Фёдоров (1890) и нем. учёный А. Шёнфлис (1891) установили, что теоретико-групповым закономерностям подчинено строение кристаллов; ещё позднее теория групп становится мощным средством исследования в квантовой физике.

В более непосредственной и непрерывной зависимости от запросов механики и физики происходило формирование векторного исчисления и тензорного исчисления. Перенесение векторных и тензорных представлений на бесконечномерные величины происходит в рамках функционального анализа и тесно связывается с потребностями современной физики.

Таким образом, в результате как внутренних потребностей М., так и новых запросов естествознания круг количественных отношений и пространственных форм, изучаемых М., чрезвычайно расширяется; в него входят отношения, существующие между элементами произвольной группы, векторами, операторами в функциональных пространствах, всё разнообразие форм пространств любого числа измерений и т. п. При таком широком понимании терминов "количественные отношения" и "пространственные формы" приведённое в начале статьи определение М. применимо и на новом, современном этапе её развития.

Существенная новизна начавшегося в 19 в. этапа развития М. состоит в том, что вопросы необходимого расширения круга подлежащих изучению количественных отношений и пространственных форм становятся предметом сознательного и активного интереса математиков. Если прежде, напр., введение в употребление отрицательных и комплексных чисел и точная формулировка правил действий с ними требовали длительной работы, то теперь развитие М. потребовало выработки приёмов сознательного и планомерного создания новых геометрических систем, новых "алгебр" с "некоммутативным" или даже "неассоциативным" умножением и т. д. по мере возникновения в них потребности. Так, вопрос о том, не следует ли, напр., ради анализа и синтеза того или иного типа релейно-контактных схем создать новую "алгебру" с новыми правилами действий, является не вызывающим особого удивления делом повседневной научно-технич. практики. Но трудно переоценить важность той перестройки всего склада математич. мышления, к-рая для этого должна была произойти в течение 19 в. С этой, идейной стороны наиболее значительным среди открытий нач. 19 в. явилось открытие неевклидовой геометрии Лобачевского. Именно на примере этой геометрии была преодолена вера в незыблемость освящённых тысячелетним развитием М. аксиом, была понята возможность создания существенно новых математич. теорий путём правильно выполненной абстракции от налагавшихся ранее ограничений, не имеющих внутренней логич. необходимости, и, наконец, было обнаружено, что подобная абстрактная теория может получить со временем всё более широкие, вполне конкретные применения.

Чрезвычайное расширение предмета М. привлекло в 19 в. усиленное внимание к вопросам её "обоснования", т. е. критич. пересмотру её исходных положений (аксиом), построению строгой системы определений и доказательств, а также критич. рассмотрению логич. приёмов, употребляемых при этих доказательствах. Работы по строгому обоснованию тех или иных отделов М. справедливо занимают значительное место в М. 19 и 20 вв. В применении к основам анализа (теория действительных чисел, теория пределов и строгое обоснование всех приёмов дифференциального и интегрального исчисления) результаты этой работы с большей или меньшей полнотой излагаются в настоящее время в большинстве учебников (даже чисто практич.характера). Однако до последнего времени встречаются случаи, когда строгое обоснование возникшей из практич. потребностей математич. теории запаздывает. Так в течение долгого времени уже на рубеже 19 и 20 вв. было с операционным исчислением, получившим весьма широкие применения в механике и электротехнике. Лишь с большим запозданием было построено логически безупречное изложение математич. теории вероятностей. И в настоящее время ещё отсутствует строгое обоснование многих математич. методов, широко применяемых в современной теоретич. физике, где много ценных результатов получается при помощи "незаконных" математич. приёмов.

Стандарт требований к логич. строгости, остающийся господствующим в практич. работе математиков над развитием отдельных математич. теорий, сложился только к концу 19 в. Этот стандарт основан на теоретико-множественной концепции строения любой математич. теории (см. Множеств теория, Аксиоматический метод). С этой точки зрения любая математич. теория имеет дело с одним или несколькими множествами объектов, связанных между собой нек-рыми отношениями. Все формальные свойства этих объектов и отношений, необходимые для развития теории, фиксируются в виде аксиом, не затрагивающих конкретной природы самих объектов и отношений. Теория применима к любой системе объектов с отношениями, удовлетворяющей положенной в её основу системе аксиом. В соответствии с этим теория может считаться логически строго построенной только в том случае, если при её развитии не используется никаких конкретных, не упомянутых в аксиомах, свойств изучаемых объектов и отношений между ними, а все новые объекты или отношения, вводимые по мере развития теории сверх упомянутых в аксиомах, формально определяются через эти последние.

Другую сторону строения любой математич. теории освещает математич. логика. Система аксиом в изложенном выше (теоретико-множественном) понимании лишь ограничивает извне область применений данной математич. теории, указывая свойства подлежащей изучению системы объектов с отношениями, но не даёт никаких указаний относительно логич. средств, при помощи к-рых эту математич. теорию придётся развивать. Напр., свойства системы натуральных чисел с точностью до изоморфизма задаются при помощи очень простой системы аксиом. Тем не менее решение вопросов, ответ на к-рые в принципе однозначно предопределён принятием этой системы аксиом, оказывается часто очень сложным: именно теория чисел изобилует давно поставленными и очень простыми по формулировке проблемами, не нашедшими и до настоящего времени решения. Возникает, естественно, вопрос о том, происходит ли это только потому, что решение нек-рых просто формулируемых проблем теории чисел требует очень длинной цепи рассуждений, составленной из известных и уже вошедших в употребление элементарных звеньев, или же потому, что для решения нек-рых проблем теории чисел необходимы существенно новые, не употреблявшиеся ранее приёмы логич. вывода.

Современная математич. логика дала на этот вопрос определённый ответ: никакая единая дедуктивная теория не может исчерпать разнообразия проблем теории чисел. Точнее, уже в пределах теории натуральных чисел можно сформулировать последовательность проблем p₁, p₂, ..., Рп, ... такого рода, что для любой дедуктивной теории среди этих проблем найдётся неразрешимая в пределах данной теории (К. Гёдель). При этом под "дедуктивной теорией" понимается теория, к-рая развивается из конечного числа аксиом при помощи построения сколь угодно длинных цепей рассуждений, составленных из звеньев, принадлежащих к конечному числу фиксированных для данной теории элементарных способов логич. вывода.

Таким образом было обнаружено, что понятие математич. теории в смысле теории, охватываемой единой системой аксиом теоретико-множественного типа, существенно шире, чем логич. понятие дедуктивной теории: даже при развитии арифметики натуральных чисел неизбежно неограниченное обращение к существенно новым способам логич. рассуждений, выходящим за пределы любого конечного набора стандартизированных приёмов.

Все те результаты, к-рые могут быть получены в пределах одной дедуктивной теории, могут быть также получены вычислением, производимым по данным раз навсегда правилам. Если

для решения нек-рого класса проблем даётся строго определённый рецепт их вычислительного решения, то говорят о математич. алгоритме. С самого создания достаточно разработанной системы математических знаков проблемы построения достаточно общих и в то же время кратких алгоритмов занимали большое место в истории М. Но только в последние десятилетия в результате развития математич. логики начала создаваться общая теория алгоритмов и "алгоритмической разрешимости" математич. проблем. Практич. перспективы этих теорий, по-видимому, весьма велики, особенно в связи с современным развитием вычислит, техники, позволяющей заменить сложные математич. алгоритмы работой машин.

2. История математики в 19 в. и начале 20 в. Начало и середина 19 в. В нач. 19 в. происходит новое значит, расширение области приложений математич. анализа. Если до этого времени осн. отделами физики, требовавшими большого математич. аппарата, оставались механика и оптика, то теперь к ним присоединяются электродинамика, теория магнетизма и термодинамика. Получают широкое развитие важнейшие разделы механики непрерывных сред, из к-рых только гидродинамика несжимаемой идеальной жидкости была создана ещё в 18 в. Д. Бернулли, Л. Эйлером, Ж. Д'Аламбером и Ж. Лагранжем. Быстро растут и математич. запросы техники. В нач. 19 в.- это вопросы термодинамики паровых машин, технич. механики, баллистики. В качестве основного аппарата новых областей механики и математической физики усиленно разрабатывается теория дифференциальных уравнений с частными производными и особенно теория потенциала. В этом направлении работает большинство крупных аналитиков начала и середины века - К. Гаусс, Ж. Фурье, С. Пуассон, О. Коши, П. Дирихле, Дж. Грин, М. В. Остроградский. М. В. Остроградский заложил основы вариационного исчисления для функций нескольких переменных. В результате исследований по уравнениям математич. физики в работах Дж. Стокса и др. англ, математиков возникает векторный анализ.

Несмотря на господствовавшее в естествознании начала 19 в. механистич. убеждение в возможности описать все природные явления дифференциальными уравнениями, под давлением запросов практики получает значительное дальнейшее развитие теория вероятностей. П. Лаплас и С. Пуассон создают с этой целью новый мощный аналитич. аппарат. П. Л. Чебышев даёт строгое обоснование элементов теории вероятностей и доказывает свою знаменитую теорему (1867), объединившую в одной общей формулировке известные ранее формы закона больших чисел.

Как уже отмечалось, наряду с развитием работ, возникших из новых запросов естествознания и техники, чрезвычайное внимание математиков с самого начала 19 в. привлекают вопросы строгого обоснования анализа (О. Коши, 1821, 1823). Н. И. Лобачевский (1834) и, позднее, П. Дирихле (1837) отчётливо сформулировали определение функции как совершенно произвольного соответствия. В 1799 К. Гаусс опубликовал первое доказательство основной теоремы алгебры, осторожно формулируя, однако, эту теорему в чисто действительных терминах (разложимость действительного многочлена на действительные множители первой и второй степени). Лишь значительно позже (1831) К. Гаусс явно изложил теорию комплексных чисел.

На основе ясного понимания природы комплексных чисел возникает теория функций комплексного переменного. К. Гаусс очень много знал в этой области, но почти ничего не опубликовал. Общие основы теории были заложены О. Коши, теория эллиптич. функций была развита Н. Абелем и К. Якоби. Уже на этом этапе характерно, в отличие от чисто алгоритмич. подхода 18 в., сосредоточение внимания на выяснении своеобразия поведения функций в комплексной области и основных господствующих здесь геометрич. закономерностей (начиная с зависимости радиуса сходимости ряда Тейлора от расположения особых точек, открытой О. Коши). Этот в известном смысле слова "качественный" и геомет-рич. характер теории функций комплексного переменного ещё усиливается в сер. 19 в. у Б. Римана. Здесь оказывается,что естественным геометрич. носителем аналитич. функции в случае её многозначности является не плоскость комплексного переменного, а т. н. риманова поверхность, соответствующая данной функции. К. Вейерштрасс достигает той же общности, что и Б. Риман, оставаясь на почве чистого анализа. Однако геометрич. идеи Б. Римана оказываются в дальнейшем всё более определяющими весь стиль мышления в области теории функций комплексного переменного.

В период увлечения теорией функций комплексного переменного крупнейшим представителем интереса к конкретным вопросам теории функций в действительной области является П. Л. Чебышев. Наиболее ярким выражением этой тенденции явилась созданная (начиная с 1854) П. Л. Чебышевым, исходившим из запросов теории механизмов, теория наилучших приближений.

В алгебре после упомянутого доказательства неразрешимости в радикалах общего уравнения пятой степени (П. Руффини, Н. Абель) Э. Галуа показал, что вопрос о разрешимости уравнений в радикалах зависит от свойств связанной с уравнением группы Галуа (см. Галуа теория). Задача общего абстрактного изучения групп ставится А. Кэли. Следует отметить, что даже в алгебре всеобщее признание значения теории групп произошло только после работ К. Жордана в 70-х гг. От работ Э. Галуа и Н. Абеля берёт начало также понятие поля алгебраич. чисел, приведшее к созданию новой науки - алгебраич. теории чисел. На существенно новую ступень поднимается в 19 в. и разработка старых задач теории чисел, связанных с простейшими свойствами обычных целых чисел. К. Гаусс разрабатывает (1801) теорию представимости чисел квадратичными формами, П. Л. Чебышев получает (1848, 1850) основные результаты о плотности расположения в натуральном ряде простых чисел. П. Дирихле доказывает (1837) теорему о существовании бесконечного числа простых чисел в арифметич. прогрессиях и т. д.

Дифференциальная геометрия поверхностей создаётся К. Гауссом (1827) и К. М. Петерсоном (1853). Для выработки новых взглядов на предмет геометрии основное значение, как уже было указано, имело создание Н. И. Лобачевским неевклидовой геометрии. Параллельно развивалась, долгое время независимо от неевклидовой геометрии, проективная геометрия (Ж. Понселе, Я. Штейнер, К. Штаудт и др.), также связанная с существенным изменением старых взглядов на пространство. Ю. Плюккер строит геометрию, рассматривая в качестве основных элементов прямые, Г. Грасман создаёт аффинную и метрич. геометрию и-мерного векторного пространства.

Уже в гауссовской внутренней геометрии поверхностей дифференциальная геометрия по существу также освобождается от неразрывной связи с геометрией Евклида: то, что поверхность лежит в трёхмерном евклидовом пространстве, является для этой теории случайным обстоятельством. Исходя из этого, Б. Ри-ман создаёт (1854, опубл. 1866) концепцию w-мерного многообразия с метрич. геометрией, определяемой дифференциальной квадратичной формой. Этим было положено начало общей дифференциальной геометрии я-мерных многообразий (см. Римановы геометрии). Б. Риману же принадлежат и первые идеи в области топологии многомерных многообразий.

Конец 19 в. и начало 20 в. Лишь в начале 70-х гг. 19 в. Ф. Клейн находит модель неевклидовой геометрии Лобачевского, к-рая окончательно устраняет сомнения в её непротиворечивости. Ф. Клейн подчиняет (1872) всё разнообразие построенных к этому времени "геометрий" пространств различного числа измерений идее изучения инвариантов той или иной группы преобразований. В это же время (1872) работы по обоснованию анализа получают необходимый фундамент в виде строгой теории иррациональных чисел (Р. Дедекинд, Г. Кантор и К. Вейерштрасс). В 1879-84 публикуются основные работы Г. Кантора по общей теории бесконечных множеств. Только после этого могли быть сформулированы современные общие представления о предмете М., строении математич. теории, роли аксиоматики и т. д. Широкое их распространение потребовало ещё нескольких десятилетий (общее признание совр. концепции строения геометрии обычно связывается с выходом в свет в 1899 "Оснований геометрии" Д. Гильберта).

Дальнейшее углубление исследований по основаниям математики сосредоточивается на преодолении логич. трудностей, возникших в общей теории множеств, и на исследовании строения математич. теории и приёмов конструктивного решения Математич. задач средствами математич. логики. Эти исследования возрастают в большой самостоятельный отдел М.- математич. логику. Основы математич. логики создаются в 19 в. Дж. Булем, П. С. Порецким, Э. Шредером, Г. Фреге, Дж. Пеано я др. В нач. 20 в. в этой области получены большие достижения (теория доказательств Д. Гильберта; интуиционистская логика, созданная Л. Брауэром и его последователями). Чрезвычайное развитие, превосходящее предшествующие периоды не только по количеству работ, но также по совершенству и силе методов и окончательности результатов, получают в конце 19 в. и в нач. 20 в. все разделы М., начиная с самого старого из них - теории чисел. Э. Куммер, Л. Кронекер, Р. Дедекинд, Е. И. Золотарёв и Д. Гильберт закладывают основы совр. алгебраич. теории чисел. Ш. Эрмит в 1873 доказывает трансцендентность числа е, нем. математик Ф. Линдеман в 1882 - числа я, Ж. Адамар (1896) и Ш. Ла Балле Пуссен (1896) завершают исследования П. Л. Чебышева о законе убывания плотности расположения простых чисел в натуральном ряду. Г. Минковский вводит в теоретико-числовые исследования геометрич. методы. В России работы по теории чисел после П. Л. Чебышева блестяще развивают, кроме уже упомянутого Е. И. Золотарёва, А. Н. Коркин, Г. Ф. Вороной и А. А. Марков.

Центр тяжести алгебраич. исследований переносится в её новые области: теорию групп, полей, колец и т. д. Многие из этих отделов алгебры получают глубокие применения в естествознании: в частности, теория групп - в кристаллографии, а позднее - в вопросах квантовой физики.

На границе между алгеброй и геометрией С. Ли создаёт (начиная с 1873) теорию непрерывных групп, методы к-рой позднее проникают во все новые области М. и естествознания.

Элементарная и проективная геометрия привлекают внимание математиков гл. оор. под углом зрения изучения их логич. и аксиоматич. основ. Но основными отделами геометрии, привлекающими наиболее значительные научные силы, становятся дифференциальная и алгебраическая геометрия. Дифференц. геометрия евклидова трёхмерного пространства получает полное систематич. развитие в работах Э. Бельтрами, Г. Дарбу и др. Позднее бурно развивается дифференц. геометрия различных более широких (чем группа евклидовых движений) групп преобразований и особенно дифференц. геометрия многомерных пространств. Это направление геометрич. исследований, получившее мощный импульс к развитию с возникновением общей теории относительности, создано прежде всего работами Т. Леви-Чивита, Э. Картона и Г. Вейля.

В связи с развитием более общих точек зрения теории множеств и теории функций действительного переменного теория аналитических функций в конце 19 в. лишается того исключительного положения ядра всего математич. анализа, к-рое намечается для неё в начале и сер. 19 в. Однако она продолжает не менее интенсивно развиваться как в соответствии со своими внутренними потребностями, так и из-за обнаруживающихся новых связей её с др. отделами анализа и непосредственно с естествознанием. Особенно существенным в этом последнем направлении было выяснение роли конформных отображений при решении краевых задач для уравнений с частными производными (напр., задачи Дирихле для уравнения Лапласа), при изучении плоских течений идеальной жидкости и в задачах теории упругости.

Ф. Клейн и А. Пуанкаре создают теорию автоморфных функций, в к-рой находит замечательные применения геометрия Лобачевского. Э. Пикар, А. Пуанкаре, Ж. Адамар, Э. Борелъ глубоко разрабатывают теорию целых функций, что позволяет, в частности, получить уже упоминавшуюся теорему о плотности расположения простых чисел. Геометрич. теорию функций и теорию римановых поверхностей развивают А. Пуанкаре, Д. Гильберт и др. Конформные отображения находят применение в аэромеханике (Н. Е. Жуковский, С. А. Чаплыгин).

В результате систематич. построения математич. анализа на основе строгой арифметич. теории иррациональных чисел и теории множеств возникла новая отрасль М.-теория функций действительного переменного. Если ранее систематически изучались лишь функции, возникающие "естественно" из тех или иных специальных задач, то для теории функций действительного переменного типичен интерес к полному выяснению действительного объёма общих понятий анализа (в самом начале её развития Б. Болъцано и позднее К. Вейерштрассом было, напр., обнаружено, что непрерывная функция может не иметь производной ни в одной точке). Исследования по теории функций действительного переменного привели к общим определениям понятий меры множества, измеримых функций и интеграла, играющих важную роль в совр. М. Основы совр. теории функций действит. переменного заложили математики франц. школы (К. Жордан, Э. Борель, А. Лебег, Р. Бэр), позднее ведущая роль переходит к русской и советской школе (см. Функций теория).

Помимо своего непосредственного интереса, теория функций действит. переменного оказала большое влияние на развитие многих других отделов М. Выработанные в её пределах методы оказались особенно необходимыми при построении основ функционального анализа. Если в отношении методов функциональный анализ развивался под влиянием теории функций действительного переменного и теории множеств, то по своему содержанию и характеру решаемых в нём задач он примыкает непосредственно к классич. анализу и математич. физике, становясь особенно необходимым (гл. обр. в форме операторов теории) в квантовой физике. Впервые сознательное выделение функционального анализа как особой ветви М. было произведено В. Волътерра в конце 19 в. В качестве частей функционального анализа воспринимаются теперь возникшее много ранее вариационное исчисление и теория интегральных уравнений, систематич. построение к-рой было начато тем же В. Вольтерра и продолжено Э. Фредголъмом. Наиболее важный специальный случай операторов в гильбертовом пространстве, основная роль к-рого выяснилась из работ Д. Гильберта по интегральным уравнениям, разрабатывается особенно интенсивно.

Наибольшее число задач, выдвигаемых перед М. естествознанием и техникой, сводится к решению дифференциальных уравнений, как обыкновенных (при изучении систем с конечным числом степеней свободы), так и с частными производными (при изучении непрерывных сред и в квантовой физике). Поэтому все направления исследований дифференциальных уравнений в рассматриваемый период интенсивно культивируются. Для решения сложных линейных систем создаются методы операционного исчисления. При исследовании нелинейных систем с малой нелинейностью широко применяется метод разложения по параметру. Продолжает разрабатываться аналитич. теория обыкновенных дифференциальных уравнений (А. Пуанкаре и др.). Однако наибольшее внимание в области теории обыкновенных дифференциальных уравнений привлекают теперь вопросы качественного исследования их решений: классификация особых точек (А. Пуанкаре и др.), вопросы устойчивости, особенно глубоко изученные А. М. Ляпуновым.

Качественная теория дифференциальных уравнений послужила А. Пуанкаре отправным пунктом для широкого продолжения лишь едва намеченных Б. Риманом исследований по топологии многообразий, особенно в направлении изучения неподвижных точек их непрерывных отображений на самих себя. Здесь получили своё начало "комбинаторные", "гомологические" и "гомотопические" методы совр. топологии. Другое направление в топологии возникло на почве теории множеств и функционального анализа и привело к систематич. построению теории общих топологич. пространств.

Теория дифференциальных уравнений с частными производными ещё в конце 19 в. получает существенно новый вид благодаря сосредоточению основного внимания на краевых задачах и отказу от ограничения аналитическими краевыми условиями. Аналитич. теория, восходящая к О. Коши, К. Вейерштрассу и С. В. Ковалевской, не теряет при этом своего значения, но несколько отступает на задний план, т. к. обнаруживается, что при решении краевых задач она не гарантирует корректности, т. е. возможности приближённо найти решение, зная граничные условия тоже лишь приближённо, в то время как без этой возможности теоретич. решение не имеет практич. ценности. Картина более сложна, чем представлялось с точки зрения аналитич. теории: краевые задачи, к-рые можно корректно ставить для разных типов дифференциальных уравнений, оказываются различными (см. Корректные и некорректные задачи). Наиболее надёжным путеводителем в выборе для каждого типа уравнений надлежащих краевых задач становится непосредственное обращение к соответствующим физич. представлениям (о распространении волн, течении тепла, диффузии и т. п.). Связанное с этим превращение теории дифференциальных уравнений с частными производными гл. обр. в теорию уравнений математической физики имело большое положительное значение. Работы по отдельным типам уравнений математич. физики справедливо составляют значительную часть всей математич. продукции. После П. Дирихле и Б. Римана уравнениями математич. физики занимались А. Пуанкаре, Ж. Адамар, Дж. Рэлей, У. Томсон, К. Нейман, Д. Гильберт, а в России А. М. Ляпунов, В. А. Стеклов и др.

Существенным дополнением к методам дифференциальных уравнений при изучении природы и решении технич. задач являются методы теории вероятностей. Если в нач. 19 в. главными потребителями вероятностных методов были теория артиллерийской стрельбы и теория ошибок, то в конце 19 в. и в нач. 20 в. теория вероятностей получает много новых применений благодаря развитию статистич. физики и механики и разработке аппарата математической статистики. Наиболее глубокие теоретич. исследования по общим вопросам теории вероятностей в конце 19 в. ив нач. 20 в. принадлежат русской школе (П.Л.Чебышев, А. А. Марков, А. М. Ляпунов).

Практич. использование результатов теоретич. математич. исследования требует получения ответа на поставленную задачу в числовой форме. Между тем даже после исчерпывающего теоретич. разбора задачи это часто оказывается совсем не лёгким делом. В конце 19 в. и в нач. 20 в. численные методы анализа выросли в самостоятельную ветвь М. Особенно большое внимание уделялось при этом методам численного интегрирования дифференциальных уравнений (методы Адамса, Штёрмера, Рунге и др.) и квадратурным формулам (П. Л. Чебышев, А. А. Марков, В. А. Стеклов). Широкое развитие работ, требующих численных расчётов, привело к необходимости вычисления и публикации всё возрастающего количества таблиц математических.

Со 2-й пол. 19 в. начинается интенсивная разработка вопросов истории М.

По материалам статьи А. Н. Колмогорова из 2-го издания БСЭ.

Заключение. Выше были отмечены основные особенности современной М. (п. 1) и были перечислены (п. 2) основные направления исследований М. по разделам, как они сложились в начале 20 в. В значительной мере это деление на разделы сохраняется, несмотря на стремительное развитие М. в 20 в., особенно после окончания 2-й мировой войны 1939-45. Современное состояние М. и заслуги научных школ и отдельных учёных отражены в соответствующих статьях. См. Чисел теория, Алгебра, Логика, Геометрия, Топология, Функций теория, Функциональный анализ, Дифференциальные уравнения, Уравнения математической физики, Вероятностей теория, Математическая статистика, Вычислительная математика.

Потребности развития самой М., "математизация" различных областей науки, проникновение математич. методов во многие сферы практич. деятельности, быстрый прогресс вычислит, техники приводят к перемещению основных усилий математиков внутри сложившихся разделов М. и к появлению целого ряда новых математич. дисциплин (см., напр., Алгоритмов теория, Информации теория, Игр теория, Операций исследование, см. также Кибернетика).

На основе задач теории управляющих систем, комбинаторного анализа, графов теории, теории кодирования возникла дискретная, или конечная математика.

Вопросы о наилучшем (в том или ином смысле) управлении физич. или меха-нич. системами, описываемыми дифференциальными уравнениями, привели к созданию математич. теории оптимального управления, близкие вопросы об управлении объектами в конфликтных ситуациях - к возникновению и развитию теории дифференциальных игр.

Исследования в области общих проблем управления и связанных с ними областях М. в соединении с прогрессом вычислит, техники дают основу для автоматизации новых сфер человеческой деятельности.

Советская М. занимает передовое место в мировой математич. науке. Во многих направлениях работы сов. учёных играют определяющую роль. Успехи дореволюционной русской М. были связаны с исследованиями отдельных выдающихся учёных и опирались на узкую базу. Научные математич. центры имелись в немногих городах (Петербург, Москва, Казань, Харьков, Киев). При этом основные достижения были связаны с работой петерб. школы. После Великой Октябрьской социалистич. революции ряд новых важных направлений возник в московской математич. школе. В дореволюционной России основными центрами математич. исследований являлись университеты (Петербургский, Московский, Казанский и др.). Развитие науч. исследований в области М. и её приложений после 1917 было самым тесным образом связано с развитием и укреплением АН СССР; эти исследования в значит, мере сконцентрированы в математических институтах АН СССР, АН союзных республик и ведущих ун-тах. Важной чертой развития М. в нашей стране является возникновение за годы Сов. власти многочисл. науч. школ в городах, где раньше не велось заметной работы в области М. Таковы матем. школы в Тбилиси, Ереване, Баку, Вильнюсе, Ташкенте, Минске, Свердловске и др. городах и созданная в 60-х гг. науч. школа в Академгородке, близ Новосибирска.

В зарубежных странах математич. исследования ведутся как в математич. ин-тах, так и в ун-тах (особенно в капиталистич. странах).

Ещё на рубеже 17-18 вв. появились первые математические общества, имеющиеся сейчас во многих странах. Обзорные доклады о мировых достижениях математич. науки и её приложений, а также сообщения о наиболее интересных работах отдельных учёных читаются и обсуждаются на происходящих раз в 4 года (начиная с 1898) международных математических конгрессах. Организация и поощрение между нар. сотрудничества в области М., подготовка научных программ междунар. математич. конгрессов и др. является задачей международного математического союза. Текущие математич. исследования (а также информация о математич. жизни в различных странах) публикуются в математических журналах, общее число к-рых (нач. 70-х гг. 20 в.) более 250.

Лит.: Философия и история математики. Колмогоров А. Н., Математика, в кн.: Большая Советская энциклопедия, 2 изд., т. 26, М., 1954; Математика, её содержание, методы и значение, т. 1-3, М., 1956; Ц е и т е н Г. Г., История математики в древности и в средние века, пер. с франц., 2 изд., М.-Л., 1938; его же, История математики в XVI и XVII веках, пер. с нем., 2 изд., М.- Л., 1938; В а н - д е р-В а р д е н Б. Л., Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона, Греции, пер. с голл., М., 1959; Кольмай Э., История математики в древности, М., 1961; Юткевич А. П., История математики в средние века, М., 1961; В и л е и т н е р Г., История математики от Декарта до середины XIX столетия, пер. с нем., 2 изд., М., 1966; его же, Хрестоматия по истории математики, составленная по первоисточникам..., пер. с нем., 2 изд., М.- Л., 1935; Клейн Ф., Лекции о развитии математики в XIX столетии, пер. с нем., ч. 1, М.- Л., 1937; Рыбников К. А., История математики, т. 1-2, М., 1960- 1963; Бурбаки Н., Очерки по истории математики, пер. с франц., М., 1963; Стройк Д. Я., Краткий очерк истории математики, пер. с нем., 2 изд., М., 1969; История математики с древнейших времен до начала XIX столетия, т. 1-3, М., 1970- 1972; Cantor M., Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, 3 Aufl., Bd 1 - 4, Lpz., 1907 - 13.

Обзоры и энциклопедии. Виноградов И. М., Математика и научный прогресс, в кн.: Ленин и современная наука, кн. 2, М., 1970; Математика. [Сб. ст.], М.- Л., 1932 (Наука в СССР за 15 лет. 1917 -1932); Математика в СССР за тридцать лет. 1917-1947. Сб. ст., М.- Л. 1948; Математика в СССР за сорок лет. 1917 - 1957. Сб. ст т. 1, М., 1959; W е у 1 Н., A Half-century or mathematics, "American Mathematical Monthly", 1951, v. 58, № 8, p. 523 - 53; Энциклопедия элементарной математики, кн. 1-5, М.- Л., 1951 - 1966; Вебер Г. и Велыптейн И., Энциклопедия элементарной математики, пер. с нем., т. 1 - 3, 2 изд., Одесса, 1911 - 14; Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften, mit Einschluss ihrer Anwendungen, Bd 1-6, Lpz., 1898 - 1934; тоже, 2 Aufl., Bd 1-, Lpz., 1950; Encyclopedic des siences mathematiques pures et appliquees, t. 1 - 7, P.- Lpz., 1904-14; Mathematik, 6 Aufl., Lpz., 1971 (Kleine Enzyklopädie); Mathematisches Wörterbuch, 2 Aufl., Bd 1-2, В.- Lpz., 1962.

МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИНСТИТУТ Уральского научного центра АН СССР, советское научно-исследовательское учреждение; находится в г. Свердловске. Основан в 1961 как Свердловское отделение Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР, с 1971 - в составе Уральского науч. центра АН СССР. Осн. направления исследований: развитие математич. теории процессов управления; теоретич. исследования в области алгебры, дифференц. ур-ний и теории функций; разработка и решение задач на ЭВМ; развитие методов нелинейной механики; разработка математич. методов механики сплошной среды. Имеется аспирантура.

Н. Н. Красовский.

МАТЕМАТИКИ ИНСТИТУТ Сибирского отделения АН СССР, советское научно-исследовательское учреждение; находится в г. Новосибирске. Основан в 1957. Задачи ин-та - разработка важных проблем математики и методов её приложений. Осн. направления исследований: алгебра и математич. логика, геометрия и топология, теория вероятностей, теория дифференц. ур-ний, теория функций и функциональный анализ, теоретич. физика, математич. экономика и теоретич. кибернетика. Имеется аспирантура. Издаются сб. трудов: "Алгебра и логика" (с 1962), "Оптимальное планирование" (с 1964), "Дискретный анализ" (с 1963).

A.M. Ширшов.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ, весьма общий способ математич. доказательств и определений. Индуктивные доказательства основаны на т. н. принципе М. и., являющемся одной из основных математич. аксиом. Пусть, напр., требуется доказать для любого натурального (целого положительного) числа п формулу:

1+3 + 5 + ...+(2и-1) = и². (1) При п = 1 эта формула даёт 1 = 1². Чтобы доказать правильность формулы при любом п, допускают, что её уже удалось доказать для нек-рого определённого числа N, т. е. предполагают, что

1+3 + 5+....+(2N-1) = №. (2) Далее, опираясь на сделанное допущение, пытаются доказать правильность формулы (1) для числа на единицу большего, т. е. для п = N + 1. В данном случае достаточно присоединить к сумме в левой части равенства (2) ещё одно слагаемое: (2N +1); тогда и правая часть равенства должна увеличиться на (2N + 1) и, следовательно,

1+3 + 5 + ....+(2ЛГ-1) + (2N+1) = = N²+(2N+1) = (N +1)². Но тот же результат получится, если в формуле (1) заменить п на N + 1. Итак, из справедливости формулы (1) при п - N вытекает (каково бы ни было N) её правильность и при п = N + 1. Но при п = 1 формула (1) верна, следовательно, она верна также и при п = 2 = = 1 + 1, 3 = 2+1, 4 = 3+1, 5 = 4 + 1 и т. д. Так как последовательным прибавлением единицы можно получить (начиная с единицы) любое натуральное число, то формула (1) действительно верна при любом натуральном числе п. Как ни очевидна заключительная часть приведённого рассуждения, она опирается на нек-рую аксиому, не сводимую только к общим законам логики, но выражающую одно из основных свойств натуральных чисел. Общая формулировка этой аксиомы такова.

Принцип М. и. Пусть: 1) число единица обладает свойством А; 2) из того, что к.-л. натуральное число и обладает свойством А, вытекает, что и число п + 1 обладает свойством А. При таких условиях любое натуральное число обладает свойством А.

В разобранном выше примере свойство А числа п выражается так: "для числа п справедливо равенство (1)". Если принцип М. и. принят в качестве аксиомы, то каждое отд. доказательство, опирающееся на этот принцип, следует рассматривать как чисто дедуктивное. При доказательстве [напр., формулы (1)], основанном на этом принципе, не происходит заключения от частного к общему, т. к. одна из посылок (сам принцип М. и.) по меньшей мере столь же обща, как и заключение.

Принцип М. и., сформулированный выше, служит, как было показано, для доказательства математич. теорем. Помимо этого, в математике употребляются ещё т. н. индуктивные определения. Таково, напр., следующее определение членов и_п геометрич. прогрессии с первым членом а и знаменателем q: 1) u₁ = a, 2) u_n+1=u_nq.

Условия 1) и 2) однозначно определяют члены прогрессии и_п для всех натуральных чисел п. Доказательство того, что это действительно так, может быть основано на принципе М. и.; в данном случае можно, однако, непосредственно получить выражение и_п через п : и_п = aq^n-1.

Принцип М. и. можно заменить равносильными ему предложениями, напр, таким: если подмножество М множества всех натуральных чисел N содержит 1 и вместе с любым своим элементом т содержит и т+1, то М = N.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КАРТОГРАФИЯ, картографическая дисциплина, изучающая теорию картографических проекций, преобразований их, методы изыскания проекций и способы рационального применения их на практике. Иногда в М. к. включают весь комплекс вопросов, относящихся к математич. обоснованию карт (компоновка карт, расчёт рамок и др.), а также способы и средства измерений на картах (см. Картометрия). М. к. тесно связана с математикой, геодезией, со всеми картографич. и др. дисциплинами. На первых этапах (6 в. до н. э. - 17 в. н. э.) развития М. к. изобретались, исследовались и использовались отд. картографич. проекции, затем (18 в.- нач. 20 в.) изучались также отд. классы проекций и др. совокупности их.

С сер. 20 в. успешно развивается теория создания новых методов получения различных (зачастую новых) классов или групп проекций, а также теория преобразований их. Методы совр. М. к. механизируются и автоматизируются, в частности используются ЭВМ для различных целей.

В М. к. различают прямую и обратную задачи. Прямая задача М. к. - исследование свойств картографич. проекций, заданных уравнениями вида x = f₁(Ф,Л), у = f₂(ф,Л), (1) где ф и Л - широта и долгота точки на земном эллипсоиде. Эта задача решается формулами теории искажений. Обратная задачам, к. имеет целью восстановление уравнений (1), или, более обще, нахождение проекций по заданным в них распределениям искажений. В процессе историч. развития М. к. использовались различные методы построения проекций: геометрич., аналитич., графоаналитич. и др., применимые, однако, к получению отд. проекций или довольно узких совокупностей их. Общий метод изыскания проекций, дающих в то же время решение обратной задачи М. к., следует из системы Эйлера - Урмаева

где т и п - масштабы по меридианам и параллелям, е - угол между их изображениями, 7 - сближение меридианов. Это - система двух квазилинейных уравнений с частными производными 1-го порядка (напр., n_ф=dn/dф и т. п.). Она недоопределённая: уравнений - два, функций - четыре. Различные способы доопределения системы (2), выполняемые на основе априорного задания, нужного для практики размещения искажений, позволяют исследовать всевозможные классы проекций. С точки зрения анализа система (2) даёт необходимые и достаточные условия существования проекций с заданными в них распределениями искажений. Систему (2), формулы теории искажений и нек-рые их модификации относят к основным уравнениям М. к. При изысканиях новых проекций широко применяют методы численного анализа, теорию конформных и квазиконформных отображений, вариационное исчисление и др.

Система (2) приводит к генетической классификации кар-тографич. проекций, являющейся наиболее полной из всех классификаций и объемлющей известные и все мыслимые проекции. В её основе лежит понятие класса проекций как такой совокупности их, к-рая [после доопределения системы (2) уравнениями проекций в характеристиках] описывается определённой системой двух дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка; напр., класс конформных проекций, класс проекций Эйлера и др. Системы классов проекций могут быть эллиптич., гиперболич. и др. типов, в соответствии с чем и проекции, ими описываемые, относятся к указанным типам, что имеет фундаментальное значение при изыскании проекций конкретных классов, проявляющееся в априорном предсказании нек-рых свойств новых проекций. Таким образом, М. к.- это своеобразный "арсенал" картографич. науки и картогра-фич. производства, в спец. "рубриках" к-рого находятся определённые классы и др. совокупности картографич. проекций. Для конкретного производственного задания оттуда может быть взята нужная проекция (или изыскана новая).

Одной из центральных проблем М. к. является задача построения наивыгоднейших картографич. проекций, т. е. проекций, в к-рых искажения в к.-л. смысле сведены к минимуму. Она полностью ещё не решена даже для хорошо известных классов проекций, хотя частными случаями этой задачи занимались многие известные учёные (Л. Эйлер, К. Гаусс, П. Л. Чебышев и др.). Проблема ставится двояко: для заданной области изыскивают проекции с минимумом искажений либо из всего мыслимого множества проекций (идеальные проекции), либо из определённого класса (наилучшие проекции класса). В обоих случаях задача с математич. точки зрения обращается в проблему приближения функций двух переменных. Но в последней также существуют различные постановки: обращаясь, напр., к теории наилучших приближений, говорят о наивыгоднейших проекциях минимаксного типа, а пользуясь теорией квадратических приближений, исследуют наивыгоднейшие проекции вариационного типа. Общая проблема построения наивыгоднейших картографич. проекций приводит к ряду новых экстремальных задач на условный минимакс и др. До конца исследован лишь случай наилучших конформных проекций. Согласно теореме Чебышева - Граве, наилучшей конформной проекцией (чебышевской) для данной области является та, крайняя изокола в к-рой совпадает с контуром изображаемой территории. В чебышевских проекциях искажения площадей наименее уклоняются от нуля. Как следствие, в них наименее уклоняются от нуля также модули логарифмов масштабов длин; отношение наибольшего масштаба к наименьшему минимально; минимальна также наибольшая кривизна изображений геодезич. линий; наконец, среднее квадратическое значение логарифмов масштаба длин также минимально. Такое сочетание различных положительных свойств у чебышевских проекций характерно для класса конформных проекций как наиболее простого (но и важного для практики) среди всех др. классов. Примером чебышевской проекции является стереографич. проекция, к-рая при изображении на плоскости сферического сегмента и при специальном выборе произвольной постоянной удовлетворяет условиям теоремы. Методика построения чебышевских проекций детально разработана и для произвольных территорий. Теорема Чебышева - Граве справедлива для ряда нек-рых др. классов проекций, неконформных, но эллиптич. типа.

Лит.: Соловьёв М. Д., Математическая картография, М., 1969; Мещеряков Г. А., Теоретические основы математической картографии, М., 1968; его же, О современных задачах математической картографии, "Тр. Новосибирского ин-та инженеров геодезии, аэрофотосъемки и картографии", 1967, т. 20; К а в р а й с к и й В. В., Современные задачи математической картографии. Тезисы доклада на шестой научной сессии ЛГУ, Л., 1949; Гинзбург Г. А., О задачах математической картографии в СССР в области мелкомасштабных карт, "Геодезия и картография", 1958, № 12; Павлов А. А., Математическая картография, в сб.: Итоги науки и техники. Картография, т. 5, М., 1972, с. 53-66.

Г.А. Мещеряков.  

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛИНГВИСТИКА, математическая дисциплина, разрабатывающая формальный аппарат для описания строения естественных и нек-рых искусственных языков. Возникла в 50-х гг. 20 в. в связи с назревшей в языкознании потребностью уточнения его осн. понятий. В М. л. используются по преимуществу идеи и методы алгебры, .алгоритмов теории и автоматов теории. Не являясь частью лингвистики, М. л. развивается в тесном взаимодействии с ней. М. л. называют иногда лингвистич. исследования, в к-рых применяется к.-л. математич. аппарат.

Математич. описание языка основано на восходящем к Ф. де Соссюру представлении о языке как механизме, функционирование к-рого проявляется в речевой деятельности его носителей; её результатом являются «правильные тексты» - последовательности речевых единиц, подчиняющиеся определённым закономерностям, мн. из к-рых допускают математич. описание. Изучение способов математич. описания правильных текстов (в первую очередь предложений) составляет содержание одного из разделов М. л. - теории способов описания синтаксической структу-р ы. Для описания строения (синтак-сич. структуры) предложения можно либо выделить в нём «составляющие» -группы слов, функционирующие как цельные синтаксические единицы, либо указать для каждого слова те слова, к-рые от него непосредственно зависят (если такие есть). Так, в предложении «Лошади кушают овёс» при описании по 1-му способу составляющими будут: всё предложение /, каждое отд. слово и словосочетание С = «кушают овёс» (рис. 1; стрелки означают «непосредственное вложение»); описание по 2-му способу даёт схему, показанную на рис. 2

. Математические объекты, возникающие при таком описании структуры предложения, наз. деревом составляющих (1-й способ) и деревом синтаксического подчинения (2-й способ).

Другой раздел М. л., занимающий в ней центр, место,- теория формальных грамматик, возникшая гл. обр. благодаря работам Н. Хамского. Она изучает способы описания закономерностей, к-рые характеризуют уже не отд. текст, а всю совокупность правильных текстов того или иного языка. Эти закономерности описываются путём построения «формальной грамматики» -абстрактного «механизма», позволяющего с помощью единообразной процедуры получать правильные тексты данного языка вместе с описаниями их структуры. Наиболее широко используемый тип формальной грамматики — т. н. порождающая грамматика, или грамматика Хомского,- упорядоченная система Г = <V,W,I,R>, где: V и W — непересекающиеся конечные множества; I — элемент W; R — конечное множество правил вида y -> ф, где y и ф - цепочки (конечные последовательности) элементов V и W. Если y -> ф -правило грамматики Г и w₁, w₂,- цепочки из элементов V и W, то говорят, что цепочка w₁ ф w₂ непосредственно выводима в Г из w₁ y w₂. Если E₀, E₁,...,E_n - цепочки и для каждого i = 1, ..., п цепочка E₁ непосредственно выводима из E_i-1, то говорят, что E_n выводима из E₀ в Г. Множество цепочек из элементов V, выводимых в Г из 1, наз. языком, порождаемым грамматикой Г. Если все правила грамматики Г имеют вид А -> ф, где А — элемент W, Г называется бесконтекстной, или контекстно-свободной. В лингвистич. интерпретации элементы V чаще всего представляют собой слова, элементы W — символы грамматич. категорий, I — символ категории «предложение». В бесконтекстной грамматике вывод предложения даёт для него дерево составляющих, в к-ром каждая составляющая состоит из слов, «происходящих» от одного элемента W, так что для каждой составляющей указывается её грамматич. категория. Так, если грамматика имеет в числе прочих правила I ->S_x, у, им V_y, V_y -> V^t_ySx, у' вин, S _муж, ед, вин -> овёс, S_жен, мн, им-> лошади, V^t_мн -> кушают, где V_y означает категорию «группа глагола в числе у», V^t_y - «переходный глагол в числе у», S_{x,y,z -} "существительное рода х в числе у и падеже Z" , то приведённое выше предложение имеет вывод, показанный на рис. 3, где стрелки идут из левых частей применяемых правил к элементам соответствующих правых частей.

Формальные грамматики используются для описания не только естественных, но и искусственных языков, в особенности языков программирования.

М. л. изучает также аналитические модели языка, в к-рых на основе тех или иных данных о речи, считающихся известными (напр., множества правильных предложений), производятся формальные построения, дающие нек-рые сведения о структуре языка. Приложение методов М. л. к конкретным языкам относится к области лингвистики (см. Языкознание).

Лит.: Хомский Н., Синтаксические структуры, в сб.: Новое в лингвистике, в. 2, М., 1962; Гладкий А. В.. Мельчук И. А., Элементы математической лингвистики, М., 1969; Маркус С., Теоретико-множественные модели языков, пер. с англ., М., 1970; Гладкий А, В., Формальные грамматики и языки, М., 1973.

А. В. Гладкий.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА, логи ка, развиваемая математич. методом. Характерным для М. л. является использование формальных языков с точным синтаксисом и чёткой семантикой, однозначно определяющими понимание формул. Потребность в такой логике выявилась в нач. 20 в. в связи с интенсивной разработкой оснований математики, возникновением множеств теории, где были открыты антиномии (см. Парадокс), уточнением понятия алгоритма и др. глубокими и принципиальными вопросами математической науки. Однако значение М. л. для науки в целом не исчерпывается её математич. приложениями, поскольку хорошо рассуждать и доказывать приходится во всех науках. Вот почему М. л. с полным правом может быть охарактеризована как логика на совр. этапе. См. ст. Логика (раздел Предмет и метод современной логики) и лит. при этой статье.

А.А. Марков.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ, приближённое описание какого-либо класса явлений внеш. мира, выраженное с помощью математич. символики. М. м.- мощный метод познания внеш. мира, а также прогнозирования и управления. Анализ М. м. позволяет проникнуть в сущность изучаемых явлений. Процесс математич. моделирования, т. е. изучения явления с помощью М. м., можно подразделить на 4 этапа.

Первый этап - формулирование законов, связывающих основные объекты модели. Этот этап требует широкого знания фактов, относящихся к изучаемым явлениям, и глубокого проникновения в их взаимосвязи. Эта стадия завершается записью в математич. терминах сформулированных качеств, представлений о связях между объектами модели.

Второй этап - исследование математич. задач, к к-рым приводят М. м. Основным вопросом здесь является решение прямой задачи, т. е. получение в результате анализа модели выходных данных (теоретических следствий) для дальнейшего их сопоставления с результатами наблюдений изучаемых явлений. На этом этапе важную роль приобретают математич. аппарат, необходимый для анализа М. м., и вычислит, техника - мощное средство для получения количеств, выходной информации как результата решения сложных математич. задач. Часто математич. задачи, возникающие на основе М. м. различных явлений, бывают одинаковыми (напр., основная задача линейного программирования отражает ситуации различной природы). Это даёт основание рассматривать такие типичные математич. задачи как самостоят, объект, абстрагируясь от изучаемых явлений.

Третий этап - выяснение того, удовлетворяет ли принятая гипотетическая модель критерию практики, т. е. выяснение вопроса о том, согласуются ли результаты наблюдений стеоретич. следствиями модели в пределах точности наблюдений. Если модель была вполне определена - все параметры её были заданы,- то определение уклонений теоретич. следствий от наблюдений даёт решения прямой задачи с последующей оценкой уклонений. Если уклонения выходят за пределы точности наблюдений, то модель не может быть принята. Часто при построении модели нек-рые её характеристики остаются не определёнными. Задачи, в к-рых определяются характеристики модели (параметрические, функциональные) таким образом, чтобы выходная информация была сопоставима в пределах точности наблюдений с результатами наблюдений изучаемых явлений, наз. обратными задачами. Если М. м. такова, что ни при каком выборе характеристик этим условиям нельзя удовлетворить, то модель непригодна для исследования рассматриваемых явлений. Применение критерия практики к оценке М. м. позволяет делать вывод о правильности положений, лежащих в основе подлежащей изучению (гипотетической) модели. Этот метод является единственным методом изучения недоступных нам непосредственно явлений макро- и микромира.

Четвёртый этап - последующий анализ модели в связи с накоплением данных об изучаемых явлениях и модернизация модели. В процессе развития науки и техники данные об изучаемых явлениях всё более и более уточняются и наступает момент, когда выводы, получаемые на основании существующей М. м., не соответствуют нашим знаниям о явлении. Т. о., возникает необходимость построения новой, более совершенной М. м.

Типичным примером, иллюстрирующим характерные этапы в построении М. м., является модель Солнечной системы. Наблюдения звёздного неба начались в глубокой древности. Первичный анализ этих наблюдений позволил выделить планеты из всего многообразия небесных светил. Т. о., первым шагом было выделение объектов изучения. Вторым шагом явилось определение закономерностей их движений. (Вообще определения объектов и их взаимосвязей являются исходными положениями - "аксиомами" - гипотетической модели.) Модели Солнечной системы в процессе своего развития прошли через ряд последовательных усовершенствований. Первой была модель Птолемея (2 в. н. э.), исходившая из положения, что планеты и Солнце совершают движения вокруг Земли (геоцентрическая модель), и описывавшая эти движения с помощью правил (формул), многократно усложнявшихся по накоплении наблюдений.

Развитие мореплавания поставило перед астрономией новые требования к точности наблюдений. Н. Коперником в 1543 была предложена принципиально новая основа законов движения планет, полагавшая, что планеты вращаются вокруг Солнца по окружностям (гелиоцентрическая система). Это была качественно новая (но не математич.) модель Солнечной системы. Однако не существовало параметров системы (радиусов окружностей и угловых скоростей движения), приводящих количеств, выводы теории в должное соответствие с наблюдениями, так что Коперник был вынужден вводить поправки в движения планет по окружностям (эпициклы).

Следующим шагом в развитии модели Солнечной системы были исследования И. Кеплера (нач. 17 в.), к-рый сформулировал законы движения планет. Положения Коперника и Кеплера давали кинематич. описание движения каждой планеты обособленно, не затрагивая ещё причин, обусловливающих эти движения.

Принципиально новым шагом были работы И. Ньютона, предложившего во 2-й пол. 17 в. динамич. модель Солнечной системы, основанную на законе всемирного тяготения. Динамич. модель согласуется с кинематич. моделью, предложенной Кеплером, т. к. из динамич. системы двух тел "Солнце - планета" следуют законы Кеплера.

К 40-м гг. 19 в. выводы динамич. модели, объектами к-рой были видимые планеты, вошли в противоречие с накопленными к тому времени наблюдениями. Именно, наблюдаемое движение Урана уклонялось от теоретически вычисляемого движения. У. Леверъе в 1846 расширил систему наблюдаемых планет новой гипотетич. планетой, названной им Нептуном, и, пользуясь новой моделью Солнечной системы, определил массу и закон движения новой планеты так, что в новой системе противоречие в движении Урана было снято. Планета Нептун была открыта в месте, указанном Леверье. Аналогичным методом, используя расхождения в теоретич. и наблюдаемой траектории Нептуна, в 1930 была открыта планета Плутон.

Метод математич. моделирования, сводящий исследование явлений внеш. мира к математич. задачам, занимает ведущее место среди др. методов исследования, особенно в связи с появлением ЭВМ. Он позволяет проектировать новые технич. средства, работающие в оптимальных режимах, для решения сложных задач науки и техники; проектировать новые явления. М. м. проявили себя как важное средство управления. Они применяются в самых различных областях знания, стали необходимым аппаратом в области экономического планирования и являются важным элементом автоматизированных систем управления.

А. Н. Тихонов.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, раздел математики, посвящённый математич. методам систематизации, обработки и использования статистических данных для науч. и практич. выводов. При этом статистич. данными наз. сведения о числе объектов в к.-л. более или менее обширной совокупности, обладающих теми или иными признаками (таковы, например, данные табл. 1а и 2а).

Предмет и метод математической статистики. Статистич. описание совокупности объектов занимает промежуточное положение между индивидуальным описанием каждого из объектов совокупности, с одной стороны, и описанием совокупности по её общим свойствам, совсем не требующим её расчленения на отд. объекты,- с другой. По сравнению с первым способом статистич. данные всегда в большей или меньшей степени обезличены и имеют лишь ограниченную ценность в случаях, когда существенны именно индивидуальные данные (напр., учитель, знакомясь с классом, получит лишь весьма предварительную ориентировку о положении дела из одной статистики числа выставленных его предшественником отличных, хороших, удовлетворительных и неудовлетворит. оценок). С другой стороны, по сравнению с данными о наблюдаемых извне суммарных свойствах совокупности статистич. данные позволяют глубже проникнуть в существо дела. Напр., данные гранулометрич. анализа породы (т. е. данные о распределении образующих породу частиц по размерам) дают ценную дополнит, информацию по сравнению с испытанием нерасчленённых образцов породы, позволяя в нек-рой мере объяснить свойства породы, условия её образования и пр.

Метод исследования, опирающийся на рассмотрение статистич. данных о тех или иных совокупностях объектов, наз. статистическим. Статистич. метод применяется в самых различных областях знания. Однако черты статистич. метода в применении к объектам различной природы столь своеобразны, что было бы бессмысленно объединять, напр., социально-экономич. статистику, физич. статистику (см. Статистическая физика), звёздную статистику и т. п. в одну науку.

Общие черты статистич. метода в различных областях знания сводятся к подсчёту числа объектов, входящих в те или иные группы, рассмотрению распределения количеств, признаков, применению выборочного метода (в случаях,когда детальное исследование всех объектов обширной совокупности затруднительно), использованию теории вероятностей при оценке достаточности числа наблюдений для тех или иных выводов и т. п. Эта формальная математическая сторона статистич. методов исследования, безразличная к специфич. природе изучаемых объектов, и составляет предмет М. с.

Связь математической статистики с тeoрией вероятностей. Связь М. с. с теорией вероятностей имеет в разных случаях различный характер. Вероятностей теория изучает не любые явления, а явления случайные и именно -"вероятностно случайные", т. е. такие, для к-рых имеет смысл говорить о соответствующих им распределениях вероятностей. Тем не менее теория вероятностей играет определённую роль и при статистич. изучении массовых явлений любой природы, к-рые могут не относиться к категории вероятностно случайных. Это осуществляется через основанные на теории вероятностей теорию выборочного метода и теорию ошибок измерений (см. Ошибок теория). В этих случаях вероятностным закономерностям подчинены не сами изучаемые явления, а приёмы их исследования.

Табл. 1 а. - Распределение диаметра детали в мм, обнаруженное при статистическом исследовании массовой продукции (объяснение обозначений х, S, s см. на стр. 482).  

Диаметр	Основная выборка	1-я выборка	2-я выборка	3-я выборка
13,05-13,09	_	_	1	1
13,10-13,14	2	-
13,15-13,19	1	-	1	1
13,20-13,24	8	-		-
13,25-13,29	17	1	2	1
13,30-13,34	27	1	1	2
13,35-13,39	30	2	3	1
13,40-13,44	37	2	1	1
13,45-13,49	27	1	-	-
13,50-13,54	25	2	1	-
13,55-13,59	17	--	--
13,60-13,64	7	1	--	2
13,65-13,69	2	-	-	1
Всего	200	10	10	10
X	13,416	13,430	13,315	13,385
S2	2,3910	0,0990	0,1472	0,3602
s	0,110	0,105	0,128	0,200

Табл. 16. - Распределение диаметра детали основной выборки (из табл. 1а) при более  крупных интервалах группировки  

Диаметр	Число деталей
13,00-13,24	11
13,25-13,49	138
13,50-13,74	51
Всего	200

Более важную роль играет теория вероятностей при статистич. исследовании вероятностных явлений. Здесь в полной мере находят применение такие основанные на теории вероятностей разделы М. с., как теория статистич. проверки вероятностных гипотез, теория статистич. оценки распределений вероятностей и входящих в них параметров и т. д. Область же применения этих более глубоких статистич. методов значительно уже, т. к. здесь требуется, чтобы сами изучаемые явления были подчинены достаточно определённым вероятностным закономерностям. Напр., статистич. изучение режима турбулентных водных потоков или флюктуации в радиоприёмных устройствах производится на основе теории стационарных случайных процессов. Однако применение той же теории к анализу экономических временных рядов может привести к грубым ошибкам ввиду того, что входящее в определение стационарного процесса допущение наличия сохраняющихся в течение длительного времени неизменных распределений вероятностей в этом случае, как правило, совершенно неприемлемо.

Вероятностные закономерности получают статистич. выражение (вероятности осуществляются приближённо в виде частот, а математические ожидания - в виде средних) в силу больших чисел закона.

Простейшие приёмы статистического описания. Изучаемая совокупность из п объектов может по к.-л. качественному признаку А разбиваться на классы A₁, А₂, ..., А_r. Соответствующее этому разбиению статистическое распределение задаётся при помощи указания численностей (частот) n₁, п_г, ..., n_r .

Напр., в первом столбце табл. 1а даны результаты измерения 200 диаметров деталей, группированные по интервалам дл. 0,05 мм. Основная выборка соответствует нормальному ходу технологич. процесса. 1-я, 2-я и 3-я выборки сделаны через нек-рые промежутки времени для проверки устойчивости этого нормального хода производства. В табл. 16 результаты измерения деталей основной выборки даны при группировке по интервалам дл. 0,25 мм.

Обычно группировка по 10-20 интервалам, в каждый из к-рых попадает не более 15-20% значений xt, оказывается достаточной для довольно полного выявления всех существенных свойств распределения и надёжного вычисления по групповым численностям основных характеристик распределения (см. о них ниже). Составленная по таким группированным данным гистограмма наглядно изображает распределение. Гистограмма, составленная на основе группировки с маленькими интервалами, обычно многовершинная и не отражает наглядно существенных свойств распределения.

В качестве примера на рис. 1 дана гистограмма распределения 200 диаметров, соответствующая данным первого столбца табл. 1а, а на рис. 3 - гистограмма того же распределения (соответствующая таблица не приводится ввиду её громоздкости) при интервале 0,01 мм. С другой стороны, группировка по слишком крупным интервалам может привести к потере ясного представления о характере распределения и к грубым ошибкам при вычислении среднего и других характеристик распределения (см. табл. 16 и соответствующую гистограмму на рис. 2).

Рис. 1. Гистограмма распределения диа-i метров 200 деталей. Длина интервала группировки 0,05 мм.

Рис. 2. Гистограмма распределения диаметров 200 деталей. Длина интервала группировки 0,25 мм.

Рис. 3. Гистограмма распределения диаметров 200 деталей. Длина интервала группировки 0,01 мм.

В пределах М. с. вопрос об интервалах группировки может быть рассмотрен только с формальной стороны: полноты математич. описания распределения, точности вычисления средних по сгруппированным данным и т. д. О группировке, имеющей целью выделить качественно различные группы в изучаемой совокупности, см. Статистические группировки. При изучении совместного распределения двух признаков пользуются таблицами с двумя входами. Примером совместного распределения двух качеств, признаков может служить таблица 2а. В общем случае, когда по признаку А материал разбит на классы A₁, А₂, ..., А_r, а по признаку В - на классы B₁, B₂, -.., B_s таблица состоит из численностей n_ijобъектов, принадлежащих одновременно классам A_i и B_j. Суммируя их по формулам

получают численности самих классов A_iи B_j; очевидно, что

где п - численность всей изучаемой совокупности. В зависимости от целей дальнейшего исследования вычисляют те или иные из относительных частот

Напр., при изучении влияния вдыхания сыворотки на заболевание гриппом по табл. 2а естественно вычислить относительные частоты, данные в табл. 26.
Табл. 2 а. - Распределение заболевших и не заболевших гриппом среди работников Центрального универмага в Москве, вдыхавших и не вдыхавших противогриппозную сыворотку (1939)  

	Не заболевшие	Заболевшие	Всего
Не вдыхавшие	1675	150	1825
Вдыхавшие	497	4	501
Всего	2172	154	2326

Табл. 2б. - Относительные частоты (соответствующие данным табл. 2а)  

	Не заболевшие	Заболевшие	Всего
Не вдыхавшие	0,918	0,082	1,000
Вдыхавшие	0,992	0,008	1,000

Пример таблицы для совместного распределения двух количеств, признаков см. в статье Корреляция. Табл. 1а служит примером смешанного случая: материал группируется по одному качеств, признаку (принадлежность к основной выборке, произведённой для определения среднего уровня производств, процесса, и к трём выборкам, произведённым в различные моменты времени для проверки сохранения этого нормального среднего уровня) и по одному количеств, признаку (диаметр деталей).

Простейшими сводными характеристиками распределения одного количеств, признака являются среднее

и среднее квадратичное отклонение

При вычислении х, S² и D по группированным данным пользуются формулами

где т - число интервалов группировки, а_к - их середины (в случае табл. 1а - 13,07; 13,12; 13,17; 13,22 и т. д.). Если материал сгруппирован по слишком крупным интервалам, то такой подсчёт даёт слишком грубые результаты. Иногда в таких случаях полезно прибегать к специальным поправкам на группировку. Однако эти поправки имеет смысл вводить лишь при условии выполнения определённых вероятностных предположений.

О совместных распределениях двух и большего числа признаков см. Корреляция, Корреляционный анализ, Регрессия, Регрессионный анализ.

Связь статистических распределений с вероятностными. Оценка параметров. Проверка вероятностных гипотез. Выше были изложены лишь нек-рые избранные простейшие приёмы статистич. описания, представляющего собой довольно обширную дисциплину с хорошо разработанной системой понятий и техникой вычислений. Приёмы статистич. описания интересны, однако не сами по себе, а в качестве средства для получения из статистич. материала выводов о закономерностях, к-рым подчиняются изучаемые явления, и о причинах, приводящих в каждом отд. случае к тем или иным наблюдённым статистич. распределениям.

Напр., данные, приведённые в табл. 2а, естественно связать с такой теоретич. схемой. Заболевание гриппом каждого отд. работника универмага следует считать случайным событием, т. к. общие условия работы и жизни обследованных работников универмага могут определять не сам факт заболевания такого-то и такого-то работника, а лишь нек-рую вероятность заболевания. Вероятности заболевания для вдыхавших сыворотку (p₁) и для не вдыхавших (р₀), судя по статистич. данным, различны: эти данные дают основания предполагать, что p₁ существенно меньше р_о. Перед М. с. возникает задача: по наблюдённым частотам h₁ = 4/501 ~ 0,008 и h_o = 150/1825 ~ 0,082 оценить вероятности р₁и р₀ и проверить, достаточен ли статистич. материал для того, чтобы считать установленным, что p₁ < р_o(т. е. что вдыхание сыворотки действительно уменьшает вероятность заболевания). Утвердительный ответ на поставленный вопрос в случае данных табл. 2а достаточно убедителен и без тонких средств М. с. Но в более сомнительных случаях необходимо прибегать к разработанным М. с. специальным критериям.

Данные первого столбца табл. 1а собраны с целью установления точности изготовления деталей, расчётный диаметр к-рых равен 13,40 мм, при нормальном ходе производства. Простейшим допущением, к-рое может быть в этом случае обосновано нек-рыми теоретич. соображениями, является предположение, что диаметры отд. деталей можно рассматривать как случайные величины X, подчинённые нормальному распределению вероятностей

Если это допущение верно, то параметры а и б²-среднее и дисперсию вероятностного распределения - можно с достаточной точностью оценить по соответствующим характеристикам статистического распределения (т. к. число наблюдений п = 200 достаточно велико). В качестве оценки для теоретич. дисперсии б² предпочитают не статистич. дисперсию D² = S²/n, а несмещённую оценку

Для теоретич. среднего квадратичного отклонения не существует общего (пригодного при любом распределении вероятностей) выражения несмещённой оценки. В качестве оценки (вообще говоря, смещённой) для а чаще всего употребляют s. Точность оценок х и s для а и а указывается соответствующими дисперсиями, к-рые в случае нормального распределения (1) имеют вид

где знак ~ обозначает приближённое равенство при больших п. Таким образом, уславливаясь прибавлять к оценкам со знаком ± их среднее квадратичное отклонение, имеем при больших п в предположении нормального распределения (1):

Объём выборки п = 200 достаточен для законности пользования этими формулами теории больших выборок.

Дальнейшие сведения об оценке параметров теоретич. распределений вероятностей см. в статьях Статистические оценки, Доверительные границы. О способах, при помощи к-рых по данным первого столбца табл. 1а можно было бы проверить исходные гипотезы нормальности распределения и независимости наблюдений, см. в статьях Распределения, Непараметрические методы, Статистическая проверка гипотез.

При рассмотрении данных следующих столбцов табл. 1а, каждый из к-рых составлен на основе 10 измерений, употребление формул теории больших выборок, может служить только для первой ориентировки. В качестве приближённых оценок параметров а и 0 по-прежнему употребляются величины х и s, но для оценки точности и надёжности таких оценок необходимо применять теорию малых выборок. При сравнении по правилам М. с. выписанных в последних строках табл. 1а значений х и 5 для трёх выборок с нормальными значениями а и а, оценёнными по первому столбцу таблицы, можно сделать следующие выводы: первая выборка не даёт оснований предполагать существенного изменения хода производственного процесса, вторая выборка даёт основание к заключению об уменьшении среднего диаметра а, третья выборка - к заключению об увеличении дисперсии.

Все основанные на теории вероятностей правила статистич. оценки параметров и проверки гипотез действуют лишь с определённым значимости уровнем со < 1, т. е. могут приводить к ошибочным результатам с вероятностью а = 1 - со. Напр., если в предположении нормального распределения и известной теоретичдисперсии б² производить оценку а по х по правилу

то вероятность ошибки будет равна а, связанному с k соотношением (см. табл. 3);

Вопрос о рациональном выборе уровня значимости в данных конкретных условиях (напр., при разработке правил статистич. контроля массовой продукции) является весьма существенным. При этом желанию применять правила лишь с высоким (близким к единице) уровнем значимости противостоит то обстоятельство, что при ограниченном числе наблюдений такие правила позволяют сделать лишь очень бедные выводы (не дают возможности установить неравенство вероятностей даже при заметном неравенстве частот и т. д.).

Табл. 3. - Зависимость аи w = 1-а о т k.  

k	1,96	2,58	3,00	3,29
а	0,050	0,010	0,003	0,001
со	0,950	0,990	0,997	0,999

Выборочный метод. В предыдущем разделе результаты наблюдений, используемых для оценки распределения вероятностей или его параметров, подразумевались (хотя это и не оговаривалось) независимыми (см. Вероятностей теория и особенно Независимость). Хорошо изученным примером использования зависимых наблюдений может служить оценка статистич. распределения или его параметров в "генеральной совокупности" из N объектов по произведённой из неё "выборке", содержащей п < N объектов.

Терминологическое замечание. Часто совокупность п наблюдений, сделанных для оценки распределения вероятностей, также наз. выборкой. Этим объясняется, напр., происхождение употреблённого выше термина "теория малых выборок". Эта терминология связана с тем, что часто распределение вероятностей представляют себе в виде статистич. распределения в воображаемой бесконечной "генеральной совокупности" и условно считают, что наблюдаемые п объектов "выбираются" из этой совокупности. Эти представления не имеют отчётливого содержания. В собственном смысле слова выборочный метод всегда предполагает исходную конечную генеральную совокупность.

Примером применения выборочного метода может служить следующий. Пусть в партии из N изделий имеется L дефектных. Из партии отбирается случайным образом п < N изделий (напр., п = 100 при N = 10 000). Вероятность того, что число lдефектных изделий в выборке будет равно т, равна Р{/ = т} =

Таким образом, l и соответствующая относительная частота h = l/п оказываются случайными величинами, распределение к-рых зависит от параметра L или, что то же самое, от параметра Н = L/N. Задача оценки относительной частоты Н по выборочной относительной частоте h очень похожа на задачу оценки вероятности р по относительной частоте h при п независимых испытаниях. При больших п с вероятностью, близкой к единице, в задаче об оценке вероятности имеет место приближённое равенство р ~ h, а в задаче об оценке относительной частоты - приближённое равенство H~h. Однако в задаче об оценке Н формулы сложнее, а отклонения и от Н в среднем несколько меньше, чем отклонения h от р в задаче об оценке вероятности (при том же п). Таким образом, оценка доли Н дефектных изделий в партии по доле h дефектных изделий в выборке при данном объёме выборки п производится всегда (при любом N) несколько точнее, чем оценка вероятности р по относительной частоте h при независимых испытаниях. Когда N/n -> стремится к бесконечности, формулы задачи о выборке переходят асимптотически в формулы задачи об оценке вероятности р. См. также Выборочный метод.

Дальнейшие задачи математической статистики. Упоминавшиеся выше способы оценки параметров и проверки гипотез основаны на предположении, что число наблюдений, необходимых для достижения заданной точности выводов, определяют заранее (до проведения испытаний). Однако часто априорное определение числа наблюдений нецелесообразно, т. к., не фиксируя число опытов заранее, а определяя его в ходе эксперимента, можно уменьшить его математич. ожидание. Сначала это обстоятельство было подмечено на примере выбора одной из двух гипотез по последовательности независимых испытаний. Соответствующая процедура (впервые предложенная в связи с задачами приёмочного статистического контроля) состоит в следующем: на каждом шаге по результатам уже проведённых наблюдений решают а) провести ли следующее испытание, или о) прекратить испытания и принять первую гипотезу, или в) прекратить испытания и принять вторую гипотезу. При надлежащем подборе количеств, характеристик подобной процедуры можно добиться (при той же точности выводов) сокращения числа наблюдений в среднем почти вдвое по сравнению с процедурой выборки фиксированного объёма (см. Последовательный анализ). Развитие методов последовательного анализа привело, с одной стороны, к изучению управляемых случайных процессов, с другой- к появлению общей теории статистических решений. Эта теория исходит из того, что результаты последовательно проводимых наблюдений служат основой принятия нек-рых решений (промежуточных - продолжать испытания или нет, и окончательных - в случае прекращения испытаний). В задачах оценки параметров окончательные решения суть числа (значение оценок), в задачах проверки гипотез - принимаемые гипотезы. Цель теории - указать правила принятия решений, минимизирующих средний риск или убыток (риск зависит и от вероятностных распределений результатов наблюдений, и от принимаемого окончательного решения, и от расходов на проведение испытаний и т. п.).

Вопросы целесообразного распределения усилий при проведении статистического анализа явлений рассматриваются в теории планирования эксперимента, ставшей важной частью совр. М. с.

Наряду с развитием и уточнением общих понятий М. с. развиваются и её отд. разделы, такие, как дисперсионный анализ, статистический анализ случайных процессов, статистический анализ многомерный Появились новые оценки в регрессионном анализе (см. также Стохастическая аппроксимация). Большую роль в задачах М. с. играет т. н. байесовский подход (см. Статистические решения).

Историческая справка. Первые начала М. с. можно найти уже в сочинениях создателей теории вероятностей - Я. Бернулли (кон. 17 - нач. 18 вв.), П. Лапласа (2-я пол. 18 - нач. 19 вв.) и С. Пуассона (1-я пол. 19 в.). В России методы М. с. в применении к демографии и страховому делу развивал на основе теории вероятностей В. Я. Буняковский (1846). Решающее значение для всего дальнейшего развития М. с. имели работы русской классич. школы теории вероятностей 2-й пол. 19 - нач. 20 вв. (П. Л. Чебышев, А. А. Марков, А. М. Ляпунов, С. Н. Бернштейн). Многие вопросы теории статистич. оценок были по существу разработаны на основе теории ошибок и метода наименьших квадратов [К. Гаусс (1-я пол. 19 в.) и А. А. Марков (кон. 19 - нач. 20 вв.)]. Работы А. Кетле (19 в., Бельгия), Ф. Гальтона (19 в., Великобритания) и К. Пирсона (кон. 19 - нач. 20 вв., Великобритания) имели большое значение, но по уровню использования достижений теории вероятностей отставали от работ русской школы. К. Пирсоном была широко развёрнута работа по составлению таблиц функций, необходимых для применения методов М. с. В создании теории малых выборок, общей теории статистич. оценок и проверки гипотез (освобождённой от предположений о наличии априорных распределений), последовательного анализа весьма значительна роль представителей англо-американской школы [Стью-дент (псевд. У. Госсета), Р. Фишер, Э. Пирсон - Великобритания, Ю. Нейман, А. Вальд - США], деятельность к-рых началась в 20-х гг. 20 в. В СССР значительные результаты в области М. с. получены В. И. Романовским, Е. Е. Слуцким, к-рому принадлежат важные работы по статистике связанных стационарных рядов, Н. В. Смирновым, заложившим основы теории непараметрических методов М. с., Ю. В. Линником, обогатившим аналитический аппарат М. с. новыми методами. На основе М. с. особенно интенсивно разрабатываются статистич. методы исследования и контроля массового производства, статистич. методы в области физики, гидрологии, климатологии, звёздной астрономии, биологии, медицины и др.

Существует неск. журналов, публикующих работы по М. с., в том числе ч Annals of Statistics" (до 1973 "Annals of Mathematical Statistics"), "International Statistical Institute Review", "Biometrika", "Journal of the Royal Statistical Society". Имеются науч. ассоциации, поддерживающие исследования по М. с. и её применениям. Важную роль играет Международный статистический институт (ISI) с центром в Амстердаме и созданная при нём Международная ассоциация по статистич. методам в естеств. науках (IASPS).

Лит.: Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., М., 1948; Ван-дер-ВарденБ. Л., Математическая статистика, пер. с нем., М., 1960; Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В., Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений, Зизд., М., 1969; Большее Л.Н., СмирновН. В., Таблицы математической статистики, М., 1968; Л и н н и к Ю.В., Метод наименьших квадратов . . ., 2 изд., М., 1962; X а л ь д А., Математическая статистика с техническими приложениями, пер. с англ., М., 1956; Андерсон Т., Введение в многомерный статистический анализ, пер. с англ., М., 1963; К е н д а л л М. Д ж., С т ь ю а р т А., Теория распределений, пер. с англ., М., 1966.

А. Н. Колмогоров, Ю. В. Прохоров.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА, теория математических моделей физич. явлений; занимает особое положение и в математике, и в физике, находясь на стыке этих наук.

М. ф. тесно связана с физикой в той части, к-рая касается построения математич. модели, и в то же время - раздел математики, поскольку методы исследования моделей являются математическими. В понятие методов М. ф. включаются те математич. методы, к-рые применяются для построения и изучения математич. моделей, описывающих большие классы физич. явлений. Методы М. ф. как теории математич. моделей физики начали интенсивно разрабатываться в трудах И. Ньютона по созданию основ классич. механики, всемирного тяготения, теории света. Дальнейшее развитие методов М. ф. и их успешное применение к изучению математич. моделей огромного круга различных физич. явлений связаны с именами Ж. Лагранжа, Л. Эйлера, П. Лапласа, Ж. Фурье, К. Гаусса, Б. Римана, М. В. Остроградского и мн. др. учёных. Большой вклад в развитие методов М. ф. внесли А. М. Ляпунов и В. А. Стеклов. Начиная со 2-й пол. 19 в. методы М. ф. успешно применялись для изучения математич. моделей физич. явлений, связанных с различными физич. полями и волновыми функциями в электродинамике, акустике, теории упругости, гидро- и аэродинамике и ряде др. направлений исследования физич. явлений в сплошных средах. Математич. модели этого класса явлений наиболее часто описываются при помощи дифференц. ур-ний с частными производными, получивших назв. уравнений математической физики. Помимо дифференц. ур-ний М. ф., при описании математич. моделей физики применение находят интегральные ур-ния и интегро-дифференц. ур-ния, вариационные и теоретико-вероятностные методы, теория потенциала, методы теории функций комплексного переменного и ряд др. разделов математики. В связи с бурным развитием вычислительной математики особое значение для исследования математич. моделей физики приобретают прямые численные методы, использующие ЭВМ, и в первую очередь конечно-разностные методы решения краевых задач. Теоретич. исследования в области квантовой электродинамики, аксиоматич. теории поля и ряде др. направлений совр. физики привели к созданию нового класса математич. моделей, составивших важную отрасль М. ф. (напр., теория обобщённых функций, теория операторов с непрерывным спектром).

Постановка задач М ф. заключается в построении математич. моделей, описывающих основные закономерности изучаемого класса физич. явлений. Такая постановка состоит в выводе ур-ний (дифференциальных, интегральных, ин-тегро-дифференциальных или алгебраических), к-рым удовлетворяют величины, характеризующие физич. процесс. При этом исходят из основных физич. законов, учитывающих только наиболее существенные черты явления, отвлекаясь от ряда его второстепенных характеристик. Такими законами являются обычно законы сохранения, напр., количества движения, энергии, числа частиц и т. д. Это приводит к тому, что для описания процессов различной физич. природы, но имеющих общие характерные черты, оказываются применимыми одни и те же математич. модели. Напр., математич. задачи для простейшего ур-ния гиперболического типа

полученного первоначально (Ж. Д'Аламбер, 1747) для описания свободных колебаний однородной струны, оказываются применимыми и для описания широкого круга волновых процессов акустики, гидродинамики, электродинамики и др. областей физики. Аналогично, уравнение

краевые задачи для к-рого первоначально изучались П. Лапласом (кон. 18 в.) в связи с построением теории тяготения (см. Лапласа уравнение), в дальнейшем нашло применение при решении многих проблем электростатики, теории упругости, задач установившегося движения идеальной жидкости и т. д. Каждой математич. модели физики соответствует целый класс физич. процессов.

Для М. ф. характерно также то, что многие общие методы, используемые для решения задач М. ф., развились из частных способов решения конкретных физич. задач и в своём первоначальном виде не имели строгого математич. обоснования и достаточной завершённости. Это относится к таким известным методам решения задач М. ф., как Ритца и Галёркина методы, к методам теории возмущений, преобразований Фурье и мн. др., включая метод разделения переменных. Эффективное применение всех этих методов для решения конкретных задач является одной из причин для их строгого математич. обоснования и обобщения, приводящего в ряде случаев к возникновению новых математич. направлений.

Воздействие М. ф. на различные разделы математики проявляется и в том, что развитие М. ф., отражающее требования естественных наук и запросы практики, влечёт за собой переориентацию направленности исследований в нек-рых уже сложившихся разделах математики. Постановка задач М. ф., связанная с разработкой математич. моделей реальных физич. явлений, привела к изменению основной проблематики теории дифференц. ур-ний с частными производными. Возникла теория краевых задач, позволившая впоследствии связать дифференц. ур-ния с частными производными с интегральными ур-ниями и вариационными методами.

Изучение математич. моделей физики математич. методами не только позволяет получить количеств, характеристики физич. явлений и рассчитать с заданной степенью точности ход реальных процессов, но и даёт возможность глубокого проникновения в самую суть физич. явлений, выявления скрытых закономерностей, предсказания новых эффектов. Стремление к более детальному изучению физич. явлений приводит к всё большему усложнению описывающих эти явления математич. моделей, что, в свою очередь, делает невозможным применение аналитич. методов исследования этих моделей. Это объясняется, в частности, тем, что математич. модели реальных физич. процессов являются, как правило, нелинейными, т. е. описываются нелинейными ур-ниями М. ф. Для детального исследования таких моделей успешно применяются прямые численные методы с использованием ЭВМ. Для типичных задач М. ф. применение численных методов сводится к замене ур-ний М. ф. для функций непрерывного аргумента алгебраич. ур-ниями для сеточных функций, заданных на дискретном множестве точек (на сетке). Иными словами, вместо непрерывной модели среды вводится её дискретный аналог. Применение численных методов в ряде случаев позволяет заменить сложный, трудоёмкий и дорогостоящий физич. эксперимент значительно более экономичным математич. (численным) экспериментом. Достаточно полно проведённый математич. численный эксперимент является основой для выбора оптимальных условий реального физич. эксперимента, выбора параметров сложных физич. установок, определения условий проявления новых физич. эффектов и т. д. Таким образом численные методы необычайно расширяют область эффективного использования математич. моделей физич. явлений.

Математич. модель физич. явления, как всякая модель, не может передать всех черт явления. Установить адекватность принятой модели исследуемому явлению можно только при помощи критерия практики, сопоставляя результаты теоретич. исследований принятой модели с данными экспериментов.

Во многих случаях об адекватности принятой модели можно судить на основании решения обратных задач М. ф., когда о свойствах изучаемых явлений природы, недоступных для непосредственного наблюдения, делаются заключения по результатам их косвенных физич. проявлений.

Для М. ф. характерно стремление строить такие математич. модели, к-рые не только дают описание и объяснение уже установленных физич. закономерностей изучаемого круга явлений, но и позволяют предсказать ещё не открытые закономерности. Классич. примером такой модели является теория всемирного тяготения Ньютона, позволившая не только объяснить движение известных к моменту её создания тел Солнечной системы, но и предсказывать существование новых планет. С другой стороны, появляющиеся новые экспериментальные данные не всегда могут быть объяснены в рамках принятой модели. Для их объяснения требуется усложнение модели.

Лит.: Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1972; Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1971; Соболев С. А., Уравнения математической физики, М., 1966; К у р а н т Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964; Морс Ф. М., Ф е ш б а х Г., Методы теоретической физики, пер. с англ., т. 1-2, М., 1958.

А,Н. Тихонов, А.А. Самарский, А.Г. Свешников.