КООРДИНАТОГРАФ (от координаты и ...граф), прибор для быстрого и точного нанесения на карту или план точек по их прямоугольным координатам. Состоит (см. рис.) из станины С, на к-рой наглухо прикреплена линейка с делениями, представляющая собой ось абсцисс XX. Вдоль оси абсцисс передвигается каретка Б, несущая на себе линейку YY', соответствующую оси ординат. По оси ординат движется малая каретка М, на к-рой укреплена иголка для накола точек. Автоматич. электронный К. имеет дополнительно счётно-решающее устройство и пульт управления. Эта система обеспечивает возможность по результатам вычислений прямоугольных координат на счётно-решающем устройстве наносить узловые точки и автоматически вычерчивать или гравировать координатные линии сетки.

КООРДИНАТОМЕР, прибор для измерения координат точек (ориентиров, целей и т. п.) на топографич. картах с прямоугольной координатной сеткой. К. применяют также для нанесения на карты точек по координатам. Иногда К. представляет собой прозрачную прямоугольную плёнку (целлулоидную или др.) с квадратным вырезом посередине и нанесёнными по краям шкалами, равными по длине сторонам квадратов координатной сетки на картах масштабов 1 : 25 000, 1 : 50 000 и 1 : 100 000.

КООРДИНАТЫ [от лат. со (com) - совместно и ordinatus - упорядоченный, определённый], числа, заданием к-рых определяется положение точки на плоскости, на любой поверхности или в пространстве. Первыми вошедшими в систе-матич. употребление К. являются астрономич. и геогр. К.- широта и долгота, определяющие положение точки на небесной сфере или на поверхности земного шара (см. Небесные координаты, Географические координаты). В 14 в. франц. математик Н. Орем пользовался К. на плоскости для построения графиков, называя долготой и широтой то, что теперь называют абсциссой и ординатой. Более систематически К. стали применяться к вопросам геометрии на плоскости в 17 в. Заслуга выяснения всего значения метода К., позволяющего систематически переводить задачи геометрии на язык ма-тем. анализа и, обратно, истолковывать геометрически факты анализа, принадлежит франц. учёному Р. Декарту. Кроме К. точки, рассматривают также К. прямой, плоскости и других геом. объектов. В теоретич. механике употребляют К. механич. систем - числа, определяющие положение механич. системы (напр., нек-рого твёрдого тела) в каждый момент времени.

Координаты точки на плоскости. Аффинные, или общие декартовы, К. точки на плоскости получают, выбирая точку О (начало К.) и два не лежащих на одной прямой вектора  исходящих из точки О. Положение точки Р определяется (в выбранной системе К.) двумя К.: абсциссой 

и ординатой

где ХР параллельно ОВ и YP параллельно ОА (см. рис. 1, где х = 2, у = -1).

В частном случае, когда векторы

и перпендикулярны и имеют одну и ту же длину, получают наиболее употребительные прямоугольные К.

Если угол между произволен, но длины этих векторов одинаковы, то получают те косоугольные К., рассмотрением к-рых ограничивался сам Декарт (часто только их и называют декартовыми, сохраняя для общих декартовых К. название аффинные К.).

Полярные К. точки на плоскости получают, выбирая точку О (полюс), выходящий из неё луч ON (см. рис. 2) и единицу измерения длин. Координатами точки Р служат расстояние р = ОР и угол  Чтобы получить возможность поставить в соответствие каждой точке плоскости Р пару чисел достаточно рассматривать  подчинённые неравенствам

За исключением точки

О, для к-рой , а угол ф не определён, соответствие между точками Р, отличными от О, и парами  подчинёнными указанным условиям, взаимно однозначно.

Из других специальных систем К. на плоскости следует отметить также эллиптические координаты.

В случае аффинных К. линии х = const образуют пучок прямых, параллельных оси Оу, а линии у = const - другой пучок прямых, параллельных оси Ох:; через каждую точку плоскости Р(x_О,y_О) проходит одна прямая первого пучка (х = x₀) и одна прямая второго пучка (у = y₀). В случае полярных К. линии р = const являются окружностями, а линии  - лучами, выходящими из начальной точки О; через каждую точку Р, отличную от О, проходит ровно по одной линии каждого из двух семейств; отметки  этих двух линий и являются К. точки Р. В более общем случае можно рассмотреть в к.-л. области G плоскости две функции точки и(Р) и v(P) такого рода, что каждая линия и(Р) = const пересекается с каждой линией семейства v(P) = const в пределах области G не более чем в одной точке. Очевидно, что в этом случае числа u(Р) и v(P) однозначно определяют положение точки Р в области G, т. е. являются К. точки Р в этой области; линии, определяемые уравнениями и = const или v = const, называют при этом координатными линиями.

Криволинейные координаты на поверхности. Изложенная идея применима без всяких изменений и к введению криволинейных К. на произвольной поверхности. Напр., для случая долготы  и широты  на сфере линиями  = const являются меридианы, а линиями  = const - широтные круги, расположение к-рых всем хорошо известно из элементов географии. Криволинейные, или, как их иначе называют, гауссовы, К. на произвольной поверхности являются основным аппаратом дифференциальной геометрии поверхностей .

Однородные координаты на плоскости. Евклидова плоскость, дополненная бесконечно удалёнными элементами, может рассматриваться с проективной точки зрения как замкнутая поверхность (см. Проективная плоскость), на к-рой бесконечно удалённые точки не играют к.-л. особой роли. На всей проективной плоскости введение К., характеризующих положение точки парой чисел (и, v) с сохранением взаимной однозначности и непрерывности соответствия, невозможно. Вместо этого пользуются однородными К. При этом каждой точке ставятся в соответствие не пары, а тройки чисел причём двум тройкам  и

соответствует одна и та же точка только тогда, когда входящие в них числа пропорциональны, т. е. существует такой множитель лямбда., что

Такие системы координат играют большую роль в геометрии.

Координаты точки в пространстве. Аффинные, или общие декартовы, К. в трёхмерном пространстве вводятся заданием точки О и трёх векторов  не лежащих в одной плоскости. Для получения К. х, у, z точки Р векторпредставляют в виде

В простейшем случае прямоугольных К. векторы е_х, е_н, е_гпопарно перпендикулярны и имеют единичную длину. В пространстве возможны два существенно различных типа систем прямоугольных К.: правая система (см. рис. 3, где е_y и е_z, лежат в плоскости чертежа, а е_х направлен вперёд, к читателю) и левая система (см. рис. 4, где е_x и е_г лежат в плоскости чертежа, а е„ направлен к читателю).

В пространстве пользуются также системами криволинейных К., общая схема к-рых такова: в к.-л. области G пространства рассматриваются три функции точки и(Р), v(P), w(P), подчинённые условию, чтобы через каждую точку Р области G проходила одна поверхность семейства и = const, одна поверхность семейства v = const и одна поверхность семейства w = const. Тем самым каждой точке ставятся в соответствие три числа (и, v, w) - её К. Поверхности, определяемые уравнениями и = const или v = const, или w = const, называют координатными.

В приложениях (к механике, матем. физике и пр.) наиболее употребительны нек-рые спец. системы криволинейных К., а именно: сферические координаты, цилиндрические координаты.

Координаты прямой, плоскости и т. п. Принцип двойственности (см. Двойственности принцип), устанавливающий равноправность точек и прямых в геометрии двух измерений и равноправность точек и плоскостей в геометрии трёх измерений, подсказывает ту мысль, что с помощью особых К. могут быть определены положения прямых и плоскостей. Действительно, если, напр., в прямоугольных К. ур-ние прямой (не проходящей через начало К.) приведено к виду их + + vy+1=0,то числами и и v (и =-1/а, v= - 1/b, где а и b суть "отрезки", отсекаемые прямой на осях) вполне определяется положение прямой; можно принять (u,v) за К. (т. н. тангенциальные К.) прямой линии. Симметричность ур-ния ux + vy +1 =0 относительно пар (х, у) и (u,v) является аналитич. выражением принципа двойственности. Вполне аналогично случаям n = 2 (плоскость, поверхность) и n = 3 (трёхмерное пространство) употребление К. в я-мерном пространстве.

Лит. см. при ст. Аналитическая геометрия.

А. Н. Колмогоров.

КООРДИНАТЫ в геодезии, совокупность трёх чисел, определяющих положение точки земной поверхности относительно нек-рой исходной поверхности. Последняя, т. н. поверхность относимости, суть поверхность, заменяющая в нек-ром приближении поверхность геоида. В зависимости от целей за поверхность относимости принимают плоскость (в топографии это плоскость проекции Гаусса-Крюгера, см. Геодезические проекции, Прямоугольные координаты), сферу - поверхность "земного шара", поверхность референц-эллипсоида (см. также Земной эллипсоид).

Геодезические К. точки: широта В (угол, образованный проходящей через данную точку нормалью эллипсоида с плоскостью его экватора), долгота L (угол между плоскостями меридиана данной точки и начального меридиана), высота Н (расстояние данной точки от эллипсоида по нормали к нему). Геодезич. К. непосредственно из наблюдений получены быть не могут. Для любой точки, включённой в геодезич. сеть, они могут быть вычислены по данным геодезич. измерений.

Астрономические К. точки: широта  - угол, образованный отвесной линией в данной точке с плоскостью земного экватора; долгота - угол между плоскостями астрономич. меридианов данной точки и начального; так, определённые астрономич. координаты  наз. также географическими координатами. К  присоединяется ещё нормальная высота  (расстояние данной точки от квазигеоида по отвесной линии), к-рая часто отождествляется с высотой точки над уровнем моря. Астрономич. координаты ф и X получают из астрономич. наблюдений (см. Геодезическая астрономия); высоты точек земной поверхности получают из нивелирования. Геодезич. К. к.-л. точки отличаются от астрономич. К. той же точки за счёт выбора эллипсоида и несовпадения отвесной линии с нормалью к эллипсоиду (см. Отклонение отвеса). Сравнение геодезич. и астрономич. К. ряда точек земной поверхности даёт возможность изучить на данном участке поверхность геоида (точнее квазигеоида) относительно применяемого эллипсоида (астрономич. нивелирование и астрономо-гравиметрическое нивелирование).

В геодезии используют также и др. виды К. В связи с развитием космич. геодезии большое значение приобрели прямоугольные геодезические координаты X, У, Z, начало к-рых О совмещено с центром эллипсоида, а ось Z направлена по малой его оси. Переход от В, L, Н к X, У, Z совершается по довольно простым формулам.

При изучении многих вопросов геодезии используются также различные криволинейные К. на поверхности эллипсоида. На практике - при использовании данных геодезии и топографич. карт - применяют прямоугольные К. на плоскости геодезической проекции.

Лит.: Красовский Ф. Н., Руководство по высшей геодезии, ч. 2, М., 1942; Закатов П. С., Курс высшей геодезии, 3 изд., М., 1964; Морозов В. П., Курс сфероидической геодезии, М., 1969; Грушинский Н. П., Теория фигуры Земли, М., 1963.

Г. А. Мещеряков.