КАРТОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ, отображения всей поверхности земного эллипсоида или к.-л. её части на плоскость, получаемые в основном с целью построения карты.

Масштаб. К. п. строятся в определённом масштабе. Уменьшая мысленно земной эллипсоид в M раз, напр, в 10 000 000 раз, получают его геом. модель - глобус, изображение к-рого уже в натуральную величину на плоскости даёт карту поверхности этого эллипсоида. Величина 1 : M (в примере 1 : 10 000 000) определяет главный, или общий, масштаб карты. T. к. поверхности эллипсоида и шара не могут быть развёрнуты на плоскость без разрывов и складок (они не принадлежат к классу развёртывающихся поверхностей), любой К. п. присущи искажения длин линий, углов и т. п., свойственные всякой карте. Осн. характеристикой К. п. в любой её точке является частный масштаб . Это - величина, обратная отношению бесконечно малого отрезка ds на земном эллипсоиде к его изображению da на плоскости: 1/ =ds/d, причём  зависит от положения точки на эллипсоиде и от направления выбранного отрезка. Ясно, что _min<=<=_max, и равенство здесь возможно лишь в отдельных точках или вдоль нек-рых линий на карте. T. о., главный масштаб карты характеризует её только в общих чертах, в нек-ром осреднением виде. Отношение /М наз. относительным масштабом, или увеличением длины, разность (/M - 1) - искажением длины.

При анализе свойств К. п. можно не принимать во внимание главный масштаб; численное значение его учитывается только при вычислениях координат точек К. п. Поэтому часто, напр, в теории искажений, считают M = 1.  

Общие сведения. Теория К. п.- математическая картография - имеет своей целью изучение всех видов искажений отображений поверхности земного эллипсоида на плоскость и разработку методов построения таких проекций, в к-рых искажения имели бы или наименьшие (в к.-л. смысле) значения или заранее заданное распределение.

Исходя из нужд картографии, в теории К. п. рассматривают отображения поверхности земного эллипсоида на плоскость. T. к. земной эллипсоид имеет малое сжатие, и его поверхность незначительно отступает от сферы, а также в связи с тем, что К. п. необходимы для составления карт в средних и мелких масштабах (M > 1 000 000), то часто ограничиваются рассмотрением отображений на плоскость сферы нек-рого радиуса R, отклонениями к-рой от эллипсоида можно пренебречь или к.-л. способом учесть. Поэтому далее имеются в виду отображения на плоскость хОу сферы, отнесённой к геогр.. координатам  (широта) и  (долгота).

Уравнения любой К. п. имеют вид x = f₁(,),y=f₂(,) , (1) где f₁ и f₂ - функции, удовлетворяющие нек-рым общим условиям. Изображения меридианов =const и параллелей  = const в данной К. п. образуют картографическую сетку. К. п. может быть определена также двумя уравнениями, в к-рых фигурируют не прямоугольные координаты х, у плоскости, а к.-л. иные. Нек-рые К. п. [напр., перспективные проекции (в частности, ортографические, рис. 2) перспективно-цилиндрические (рис. 7) и др.] можно определить геом. построениями. К. п. определяют также правилом построения соответствующей ей картографич. сетки или такими её характеристич. свойствами, из к-рых могут быть получены уравнения вида (1), полностью определяющие проекцию.  

Краткие исторические сведения. Развитие теории К. п., как и всей картографии, тесно связано с развитием геодезии, астрономии, географии, математики. Науч. основы картографии были заложены в Др. Греции (6-1 вв. до н. э.). Древнейшей К. п. считается гномоническая проекция, применённая Фалесом Милетским к построению карт звёздного неба. После установления в 3 в. до н. э. шарообразности Земли К. п. стали изобретаться и использоваться при составлении геогр. карт (Гиппарх, Птолемей и др.). Значит, подъём картографии в 16 в., вызванный Великими геогр. открытиями, привёл к созданию ряда новых проекций; одна из них, предложенная Г. Меркатором, используется и в настоящее время (см. Меркатора проекция). В 17-18 вв., когда широкая организация топографич. съёмок стала поставлять достоверный материал для составления карт на значит, территории, К. п. разрабатывались как основа для топографич. карт (франц. картограф P. Бонн, Дж. Д. Кассини), а также выполнялись исследования отдельных наиболее важных групп К. п. (И. Ламберт, Л. Эйлер, Ж. Лагранж и др.). Развитие воен. картографии и дальнейшее увеличение объёма топографич. работ в 19 в. потребовали обеспечения матем. основы крупномасштабных карт и введения системы прямоугольных координат на базе, более подходящей К. п. Это привело К. Гаусса к разработке фундаментальной геодезической проекции. Наконец, в сер. 19 в. А. Тиссо (Франция) дал общую теорию искажений К. л. Развитие теории К. п. в России было тесно связано с запросами практики и дало много оригинальных результатов (Л. Эйлер, Ф. И. Шуберт, П. Л. Чебышев, Д. А. Граве и др.). В трудах сов. картографов В. В. Каврайского, H. А. Урмаева и др. разработаны новые группы К. п., отдельные их варианты (до стадии практич. использования), важные вопросы общей теории К. п., классификации их и др.  

Теория искажений. Искажения в бесконечно малой области около к.-л. точки проекции подчиняются нек-рым общим законам. Во всякой точке карты в проекции, не являющейся равноугольной (см. ниже), существуют два таких взаимно перпендикулярных направления, к-рым на отображаемой поверхности соответствуют также взаимно перпендикулярные направления, это -т. н. главные направления отображения. Масштабы по этим направлениям (главные масштабы) имеют экстремальные значения: _max= а и _min= b. Если в к.-л. проекции меридианы и параллели на карте пересекаются под прямым углом, то их направления и есть главные для данной проекции. Искажение длины в данной точке проекции наглядно представляет эллипс искажений, подобный и подобно расположенный изображению бесконечно малой окружности, описанной вокруг соответствующей точки отображаемой поверхности. Полудиаметры этого эллипса численно равны частным масштабам в данной точке в соответствующих направлениях, полуоси эллипса равны экстремальным масштабам, а направления их - главные.

Связь между элементами эллипса искажений, искажениями К. п. и частными производными функций (1) устанавливается осн. формулами теории искажений. 

Классификация картографических проекций по положению полюса используемых сферических координат. Полюсы сферы суть особые точки геогр. координации, хотя сфера в этих точках не имеет к.-л. особенностей. Значит, при картографировании областей, содержащих геогр. полюсы, желательно иногда применять не геогр. координаты, а другие, в к-рых полюсы оказываются обыкновенными точками координации. Поэтому на сфере используют сферич. координаты, координатные линии к-рых, т. н. вертикалы (условная долгота на них а = const) и альмукантараты (где полярные расстояния z= const), аналогичны геогр. меридианам и параллелям, но их полюс Zo не совпадает с геогр. полюсом P₀ (рис. 1). Переход от геогр. координат ,  любой точки сферы к её сферич. координатам z, при заданном положении полюса Zo (₀, ₀) осуществляется по формулам сферич. тригонометрии. Всякая К. п., данная уравнениями (1), наз. нормальной, или прямой (₀= /₂). Если та же самая проекция сферы вычисляется по тем же формулам (1), в к-рых вместо ,  фигурируют z,а, то эта проекция наз. поперечной при ₀ = О и косой, если О < ₀ < /₂. Применение косых и поперечных проекций приводит к уменьшению искажений. На рис. 2 показана нормальная (А), поперечная (Б) и косая (В) ортографические проекции сферы (поверхности шара).  

Классификация картографических проекций по характеру искажений.

В равноугольных (конформных) К. п. масштаб зависит только от положения точки и не зависит от направления. Эллипсы искажений вырождаются в окружности. Примеры - проекция Меркатор, стереографическая проекция.

В равновеликих (эквивалентных) К.п. сохраняются площади; точнее, площади фигур на картах, составленных в таких проекциях, пропорциональны площадям соответствующих фигур в натуре, причём коэффициент пропорциональности - величина, обратная квадрату главного масштаба карты. Эллипсы искажений всегда имеют одинаковую площадь, различаясь формой и ориентировкой.

Произвольные К. п. не относятся ни к равноугольным, ни к равновеликим. Из них выделяют равнопромежуточные, в к-рых один из главных масштабов равен единице, и ортодромические, в к-рых большие круги шара (ортодромы) изображаются прямыми.

При изображении сферы на плоскости свойства равноугольности, равновеликости, равнопромежуточности и ортодромичности несовместимы. Для показа искажений в разных местах изображаемой области применяют: а) эллипсы искажений, построенные в разных местах сетки или эскиза карты (рис. 3); б) изо-колы, т. е. линии равного значения искажений (на рис. 8В см. изоколы наибольшего искажения углов со и изоколы масштаба площадей р); в) изображения в некоторых местах карты некоторых сферич. линий, обычно ортодромий (О) и локсодромий (Л), см. рис. ЗА, ЗБ и др.  

Классификация нормальных картографических проекции по виду изображений меридианов и параллелей, являющаяся результатом историч. развития теории К. п., объем лет большинство известных проекций. В ней сохранились наименования, связанные с геом. методом получения проекций, однако рассматриваемые их группы теперь определяют аналитически.

Цилиндрические проекции (рис. 3) - проекции, в к-рых меридианы изображаются равноотстоящими параллельными прямыми, а параллели - прямыми, перпендикулярными к изображениям меридианов. Выгодны для изображения территорий, вытянутых вдоль экватора или к.-л. параллели. В навигации используется проекция Меркатора - равноугольная цилиндрическая проекция. Проекция Гаусса - Крюгера - равноугольная поперечно-цилиндрическая К. п.- применяется при составлении топографии, карт и обработке триангуляции.

Конические проекции (рис. 4)-проекции, в к-рых параллели изображаются концентрическими окружностями, меридианы - ортогональными им прямыми. В этих проекциях искажения не зависят от долготы. Особо пригодны для территорий, вытянутых вдоль параллелей. Карты всей территории СССР часто составляются в равноугольных и равнопромежуточных конич. проекциях. Используются также как геодезические проекции.

Азимутальные проекции (рис. 5) - проекции, в к-рых параллели - концентрические окружности, меридианы - их радиусы, при этом углы между последними равны соответствующим разностям долгот. Частным случаем азимутальных проекций являются перспективные проекции.

Псевдоконические проекции (рис. 6) - проекции, в к-рых параллели изображаются концентрич. окружностями, средний меридиан - прямой линией, остальные меридианы - кривыми. Часто применяется равновеликая псевдоконическая проекция Бонна; в ней с 1847 составлялась трёхвёрстная (1 : 126 000) карта Европ. части России.

Псевдоцилиндрические проекции (рис. 8) - проекции, в к-рых параллели изображаются параллельными прямыми, средний меридиан - прямой линией, перпендикулярной этим прямым и являющейся осью симметрии проекций, остальные меридианы - кривыми.

Поликонические проекции (рис. 9) - проекции, в к-рых параллели изображаются окружностями с центрами, расположенными на одной прямой, изображающей средний меридиан. При построении конкретных поликонич. проекций ставятся дополнительные условия. Одна из поликонич. проекций рекомендована для международной (1:1 000 000) карты.

Существует много проекций, не относящихся к указанным видам. Цилиндрические, конические и азимутальные проекции, называемые простейшими, часто относят к круговым проекциям в широком смысле, выделяя из них круговые проекции в узком смысле - проекции, в которых все меридианы и параллели изображаются окружностями, напр, конформные проекции Лагранжа, проекция Гринтена и др.  

Использование и выбор картографических проекций зависят гл. обр. от назначения карты и её масштаба, к-рыми часто обусловливается характер допускаемых искажений в избираемой К. п. Карты крупных и средних масштабов, предназначенные для решения метрич. задач, обычно составляют в равноугольных проекциях, а карты мелких масштабов, используемые для общих обозрений и определения соотношения площадей к.-л. территорий - в равновеликих. При этом возможно нек-рое нарушение определяющих условий этих проекций (  = 0 или р = 1), не приводящее к ощутимым погрешностям, т. е. допустим выбор произвольных проекций, из к-рых чаще применяют проекции равнопромежуточные по меридианам. К последним прибегают и тогда, когда назначением карты вообще не предусмотрено сохранение углов или площадей. При выборе К. п. начинают с простейших, затем переходят к более сложным проекциям, даже, возможно, модифицируя их. Если ни одна из известных К. п. не удовлетворяет требованиям, предъявляемым к составляемой карте со стороны её назначения, то изыскивают новую, наиболее подходящую К. п., пытаясь (насколько это возможно) уменьшить искажения в ней. Проблема построения наивыгоднейших К. п., в к-рых искажения в к.-л. смысле сведены до минимума, полностью ещё не решена.

К. п. используются также в навигации, астрономии, кристаллографии и др.; их изыскивают для целей картографирования Луны, планет и др. небесных тел.  

Преобразование проекций. Рассматривая две К. п., заданные соответствующими системами уравнений: x = f₁(, ), y = f₂(, ) и X = g₁(, ), У = g₂(, ), можно, исключая из этих уравнений  и , установить переход от одной из них к другой:

X =F_l (x,y), Y = F₂(X, у). Эти формулы при конкретизации вида функций F₁, F₂, во-первых, дают общий метод получения т. н. производных проекций; во-вторых, составляют теоретич. основу всевозможных способов и технич. приёмов составления карт (см. Географические карты). Напр., аффинные и дробно-линейные преобразования осуществляются при помощи картографических трансформаторов. Однако более общие преобразования требуют применения новой, в частности электронной, техники. Задача создания совершенных трансформаторов К. п.- актуальная проблема современной картографии.

Лит.: Витковский В., Картография, (Теория картографических проекции), СПБ, 1907; Каврайский В. В., Математическая картография, M. - Л., 1934; его же, Избр. труды, т. 2, в. 1 - 3, [M.], 1958 - 60; Урмаев H. А., Математическая картография, M., 1941; его же, Методы изыскания новых картографических проекций, M., 1947; Траур А. В., Математическая картография, 2 изд., Л., 1956; Гинзбург Г. А., Картографические проекции, M., 1951; Мещеряков Г. А., Теоретические основы математической картографии, M., 1968.

Г. А. Мещеряков.