ВЕКТОР (от лат. vector, букв.- несущий, перевозящий), в геометрическом смысле - направленный отрезок, т. е. отрезок, у к-рого указаны начало (наз. также точкой приложения В.) и конец. Для обозначения В. используются либо жирные лат. буквы а, b, ..., либо буквы обычного алфавита с чёрточками или стрелками наверху; В., имеющий начало в точке А и конец в точке В, обозначается  Прямая, на к-рой расположен В., называется линией действия данного В.

Понятие В. возникло в связи с изучением величин, характеризуемых численным значением и направленностью (напр., перемещение, скорость и ускорение движущейся материальной точки, действующая на неё сила и т. п.). В механике и физике рассматривают свободные, скользящие и связанные В. Вектор наз. свободным, если его значение не меняется при произвольном параллельном переносе. Свободным В. является, напр., скорость движения материальной точки. В. наз. скользящим, если его значение не меняется при любом параллельном переносе вдоль линии его действия. Примером скользящего В. может служить сила, действующая на абсолютно твёрдое тело (две равные и расположенные на одной прямой силы оказывают на абсолютно твёрдое тело одинаковое воздействие). В. наз. связанным, если фиксировано его начало. Напр., сила, приложенная к нек-рой точке упругого тела, представляет собой связанный В. Свойства свободных В. изучаются средствами векторной алгебры (см. Векторное исчисление). Общее понятие В. как элемента т. н. векторного пространства определяется аксиоматически.

Лит.: Ильин В. А., Поэняк Э. Г., Аналитическая геометрия, М., 1968.

Э. Г. Позняк.

ВЕКТОР СОСТОЯНИЯ, величина, играющая в квантовой теории поля такую же роль, как волновая функция в квантовой механике. Квадрат абс. значения (модуля) В. с. указывает вероятность состояния.

ВЕКТОРКАРДИОГРАФИЯ (от вектор, греч. kardia - сердце и ... графил), метод пространственного (объёмного) исследования электрич. поля сердца; один из видов электрокардиографии, В. предложена в 1913 голл. учёным В. Эйнтховеном.

ВЕКТОРМЕТР, электрич. прибор для измерений среднего значения силы и фазы переменного тока или электрич. напряжения. При отсутствии в измеряемой величине чётных гармоник В. позволяет измерять мгновенные значения силы тока и напряжения и строить кривые их изменения во времени. На рис. приведена схема, поясняющая принцип действия В.: исследуемое перем. напряжение Ux подаётся на зажимы

магнито-электрич. вольтметра V через прерыватель К, к-рый работает под воздействием электромагнита, включённого на вспомо-гат. управляющее напряжение U_K- При

совпадении по фазе напряжения U_x с напряжением U_K контакты K замыкаются и остаются в таком положении на протяжении положит, полупериода изменения Ux; в этом случае вольтметр покажет половину среднего значения напряжения Ux. При изменении фазы напряжения Ux по отношению к фазе напряжения U_K на вольтметр будет подаваться в течение нек-рой части периода отрицат. напряжение второго полупериода, и показание прибора уменьшится. При сдвиге фаз U_K и Ux на 90⁰ вольтметр покажет 0. Источник управляющего напряжения снабжается устройством (со шкалой) для отсчёта фазы U_K Изменяя фазу U_K до получения макс, показания вольтметра, т. е. до совпадения по фазе напряжений U_K и Ux, находят по шкале источника управляющего напряжения фазу Ux. Пром-сть СССР изготовляет В. такого типа с синхронным микродвигателем в качестве прерывателя К, Эти приборы, предназначенные для измерений в цепях перем. тока с частотой 50 гц, имеют пределы измерений по напряжению от 0,15 до 300 в, по силе тока от 0,003 до 5 а и по фазе от 0 до 360⁰. Пределы измерений могут быть изменены при дополнит, включении наружных шунтов, отдельных добавочных сопротивлений и измерит, трансформаторов. В. применяют при лабораторных исследованиях сложных электрич. схем и устройств, а также при испытании магнитных свойств электро-технич. сталей. Н. Г. Вострокнутов.

ВЕКТОРНАЯ ДИАГРАММА, графическое изображение значений периодически изменяющихся величин и соотношений между ними при помощи направленных отрезков - векторов.

В. д. широко применяются в электротехнике, акустике, оптике и т. п.

Простые гармонич. функции одного периода,  напр.

могут быть представлены графически (рис.) в виде проекции на ось Оy

векторов вращающихся с постоянной угловой скоростью  причём

повёрнуты относительно

на углы  . Длина векторов соответствует амплитудам колебаний:

Сумма или разность двух и более колебаний на В. д. обозначается как геом. сумма или разность векторов составляющих колебаний, полученная по правилу параллелограмма, а мгновенное значение искомой величины определяется проекцией вектора суммы на ось

Напр., требуется найти сумму F колебаний  с амплитудой  с амплитудой  При геом. сложении векторов  по В. д. находим, что амплитуда суммарного колебания F равна длине вектора  и опережает по фазе колебание f₁ на угол

ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, матем. дисциплина, в к-рой изучают свойства операций над векторами евклидова пространства. При этом понятие вектора представляет собой матем. абстракцию величин, характеризующихся не только численным значением, но и направленностью (напр., сила, ускорение, скорость).

Возникновение и развитие В. и. Возникновение В. и. тесно связано с потребностями механики и физики. До 19 в. для задания векторов использовался лишь координатный способ, и операции над векторами сводились к операциям над их координатами. Лишь в сер. 19 в. усилиями ряда учёных было создано В. и., в к-ром операции проводились непосредственно над векторами, без обращения к координатному способу задания. Основы В. и. были заложены исследованиями англ, математика У. Гамильтона и нем. математика Г. Грасмана по гиперкомплексным числам (1844-50). Их идеи были использованы англ, физиком Дж. К. Максвеллом в его работах по электричеству и магнетизму. Совр. вид В. и. придал амер. физик Дж. Гиббс. Значит, вклад в развитие В. и. внесли рус. учёные. В первую очередь следует отметить работы М. В. Остроградского. Им была доказана основная теорема векторного анализа (см. Остроградского формула). Исследования казанского математика А. П. Котельникова по развитию винтового исчисления имели важное значение для механики и геометрии. Эти исследования были продолжены сов. математиками Д. Н. Зейлигером и П. А. Широковым. Большое влияние на развитие В. и. имела кн. "Векторный анализ", написанная в 1907 рус. математиком П. О. Сомовым.

Векторная алгебра. Вектором наз. направленный отрезок (рис. 1), т. е. отрезок, у к-рого указаны начало (наз. также точкой приложения вектора) и конец. Длина направленного отрезка, изображающего вектор, наз. длиной, или модулем, вектора. Длина вектора а обозначается  . Векторы наз. кол-линеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Два вектора наз. равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаково направлены. Все нулевые векторы считаются равными. Изображённые на рис. 1 векторы а и b коллинеарны и равны. В В. и. рассматриваются свободные векторы.

В векторной алгебре важную роль играют линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на действит. число. Суммой а + b векторов а и b наз. вектор,

идущий из начала вектора а в конец вектора 6 при условии, что начало вектора 6 приложено к концу вектора а (рис. 2). Происхождение этого правила связано с правилом параллелограмма сложения векторов (рис. 3), источником к-рого является экспериментальный факт сложения сил (векторных величин) по этому правилу. Построение суммы нескольких векторов ясно из рис. 4. Произведением сея вектора а на число а наз. вектор, коллинеарный вектору а, имеющий длину, равную  и направление, совпадающее с направлением а при а>0 и противоположное а при а < 0. Вектор -1 • а наз. противоположным вектору а и обозначается - а. Операции сложения векторов и умножения вектора на число обладают след, свойствами:

В векторной алгебре часто используется понятие линейно зависимых и линейно независимых векторов. Векторы a₁, a₂, ..., a_n наз. линейно зависимыми, если найдутся такие числа

a₁, a₂, ... a_n из которых хотя бы одно отлично от нуля , что линейная комбинация a₁a₁+...a_na_n этих векторов равна нулю. Векторы a₁, а₂,...,а_n, не являющиеся линейно зависимыми, наз. линейно независимыми. Отметим, что любые три ненулевых вектора, не лежащие в одной плоскости, являются линейно независимыми.

Векторы евклидова пространства обладают след, свойством: существуют три линейно независимых вектора, любые же четыре вектора линейно зависимы. Это свойство характеризует трёхмерность рассматриваемого множества векторов. В сочетании с перечисленными выше свойствами указанное свойство означает, что совокупность всех векторов евклидова пространства образует т. н. векторное пространство. Линейно независимые векторы e₁, е₂, е₃образуют базис. Любой вектор а может быть единственным образом разложен по базису: а = Xe₁ + Ye₂ + Ze₃; коэффициенты X, Y, Z наз. координатами (компонентами) вектора а в данном базисе. Если вектор а имеет координаты X, Y, Z, то это записывают так: а = {X, У, Z}. Три взаимно ортогональных (перпендикулярных) вектора, длины к-рых равны единице и к-рые обычно обозначают так: i, j, k, образуют т. н. ортонормированный базис. Если эти векторы поместить началами в одну точку О, то они образуют в пространстве декартову прямоугольную систему координат.

Координаты X, У, Z любой точки М в этой системе определяются как координаты вектора ОМ (рис. 5). Указанным выше линейным операциям над векторами отвечают аналогичные операции над их координатами: если координаты векторов a и b равны соответственно {Х₁,Y₁,Z₁}и {Х₂, Y₂, Z₂}, то координаты суммы а + о этих векторов равны {Xi + Х₂, Y₁ + Y₂, Z1 + Z₂}, координаты вектора Ля равны

Развитие и применение векторной алгебры тесно связано с различными типами векторных произведений: скалярного, векторного и смешанного. Понятие скалярного произведения векторов возникает, напр., при рассмотрении работы силы F на заданном пути S: работа равна  , где ф - угол между векторами F и S. Математически скалярное произведение векторов a и b определяется как число, обозначаемое (а, Ь) и равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Величина  наз. проекцией вектора b на ось, определяемую вектором а, и обозначается  Поэтому

В частности, если а - единичный вектор  то (a, b)= = пр_ab. Очевидны след, свойства скалярного произведения:

причём равенство нулю имеет место лишь при a=0. Если в ортонормированием базисе i, j, k векторы a и b имеют соответственно координаты

то

Для определения векторного произведения векторов нужно понятие левой и правой упорядоченной тройки векторов. Упорядоченная тройка векторов а, b, с (а - первый вектор, b - второй,

с - третий), приведённых к общему началу и не лежащих в одной плоскости, наз. правой (левой), если они располагаются так, как могут быть располо-

жены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки. На рис. 6 изображены справа - правая, а слева - левая тройки векторов.

Векторным произведением векторов a и b наз. вектор, обозначаемый  и удовлетворяющий след, требованиям: 1) длина вектора [а, b]равна произведению длин векторов а и о на синус угла между ними (т. о., если в и Ь коллинеарны, то [а, b] = 0); 2) если я и Ь неколлинеарны, то [a, b] перпендикулярен каждому из векторов а и b и направлен так, что тройка векторов a, b, [а, b] является правой. Векторное произведение обладает след, свойствами:

Если в ортонормированием базисе i, j, k, образующем правую тройку, векторы a и b имеют соответственно координаты {X₁Y₁Z₁} и {X₂,Y₂,Z₂}, то [a,b] = - {Y₁Z₂-Y₂Z₁, Z₁X₂-Z₂X₁, Х₁Y₂-Х₂Y₁}. Понятие векторного произведения связано с различными вопросами механики и физики. Напр., скорость v точки М тела, вращающегося с угловой скоростью

со вокруг оси I, равна

Смешанным произведением векторов а, Ь и с наз. скалярное произведение вектора [a,b] на вектор с: ([a,b], с). Обозначается смешанное произведение символом abc. Смешанное произведение не параллельных одной плоскости векторов а, b и с численно равно объёму параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, b и с, взятому со знаком плюс, если тройка а, b, с правая, и со знаком минус, если тройка левая. Если же векторы a, b и с параллельны одной плоскости, то abc = 0. Справедливо также след, свойство abc=bca=cab. Если координаты векторов a, b и с в ортонормированном базисе i, j, k, образующем правую тройку, соответственно равны {Х₁ Y₁ Z₁}, {Х₂ Y₂ Z₂} и {Х₃, Y₃, Z₃},

Вектор-функции скалярных аргументов. В механике, физике, дифференциальной геометрии широко используется понятие вектор-функции одного или неск. скалярных аргументов. Если каждому значению переменной t из нек-рого множества {t} ставится в соответствие по известному закону определённый вектор r, то говорят, что на множестве {t} задана вектор-функция (векторная функция) r = r(t) Так как вектор r определяется координатами {x,y,z}, то задание вектор-функции r=r(t) эквивалентно заданию

трёх скалярных функций: х = x(t), y = y(t), z = z(t). Понятие вектор-функции становится особенно наглядным, если обратиться к т. н. годографу этой функции, т. е. к

геом. месту концов всех векторов r(t), приложенных к началу координат О (рис. 7). Если при этом рассматривать аргумент t как время, то вектор-функция r(t) представляет собой закон движения точки М, движущейся по кривой L - годографу функции r(t).

Для изучения вектор-функций важную роль играет понятие производной. Это понятие вводится следующим образом: аргументу t придаётся приращение и вектор (на рис. 7 это вектор ) множится на  Предел выражения  при  наз. производной вектор-функции r(t) и обозначается r'(t) или dr/dt. Производная представляет собой вектор, касательный к годографу L в данной точке М. Если вектор-функция рассматривается как закон движения точки по кривой L, то производная r'(t) равна скорости движения этой точки. Правила вычисления производных различных произведений вектор-функций подобны правилам вычисления производных произведений  обычных функций. Например,

В дифференциальной геометрии вектор-функции одного аргумента используются для задания кривых. Для задания поверхностей пользуются вектор-функциями двух аргументов.

Векторный анализ. В механике, физике и геометрии широко используются понятия скалярного и векторного поля. Темп-pa неравномерно нагретой пластинки, плотность неоднородного тела представляют собой физ. примеры соответственно плоского и пространственного скалярного поля. Векторное поле образует множество всех векторов скоростей частиц установившегося потока жидкости. Примерами векторных полей могут служить также поле силы тяжести, магнитное и электрич. напряжение электромагнитного поля.

Для матем. задания скалярных и векторных полей используются соответственно скалярные и векторные функции. Ясно, что плотность тела представляет собой скалярную функцию точки, а поле скоростей частиц установившегося потока жидкости - векторную функцию точки. Матем. аппарат теории поля обычно наз. векторным анализом. Для геом. характеристики скалярного поля используются понятия линий и поверхностей уровня. Линией уровня плоского скалярного поля наз. линия, на к-рой функция, задающая поле, имеет постоянное значение. Аналогично определяется поверхность уровня пространственного поля. Примерами линии уровня могут служить изотермы - линии уровня скалярного поля темп-р неравномерно нагретой пластинки.

Обратимся к поверхности (линии) уровня скалярного поля, проходящей через данную точку М. При смещении по нормали к этой поверхности (линии) в точке М наблюдается макс, изменение в этой точке функции f, задающей поле. Это изменение характеризуется с помощью градиента скалярного поля. Градиент представляет собой вектор, направленный по нормали к поверхности (линии) уровня в точке М в сторону возрастания f в этой точке. Величина градиента равна производной f в указанном направлении. Обозначается градиент символом grad f. В базисе i, j, k градиент grad f

имеет координаты  для плоского поля координаты градиента равны  Градиент скалярного

поля представляет собой векторное поле.

Для характеристики векторных полей вводится целый ряд понятий: векторной линии, векторной трубки, циркуляции векторного поля, дивергенции и вихря (ротора) векторного поля. Пусть в нек-рой областизадано векторное поле посредством векторной функции а(М) переменной точки М из  Линия L в области

наз. векторной линией, если вектор касательной в каждой её точке М направлен по вектору а(М) (рис. 8). Если поле а(М) - поле скоростей частиц стационарного потока жидкости, то векторные линии этого поля - траектории частиц жидкости. Часть пространства в  состоящая из векторных линий, наз. векторной трубкой (рис. 9). Если обратиться к векторному

полю скоростей частиц стационарного потока жидкости, то векторная трубка есть часть пространства, к-рую "заметает" при своём перемещении нек-рый фиксированный объём жидкости.

Пусть АВ - нек-рая гладкая линия в- длина дуги АВ, отсчитываемая от точки А до переменной точки М этой линии, t - единичный вектор касательной к АВ в М. Циркуляцией поля а(М) вдоль кривой АВ наз. выражение

Если а(М) - силовое поле, то циркуляция а вдоль АВ представляет собой работу этого поля вдоль пути АВ.

Дивергенция векторного поля а(М), имеющего в базисе i, j, k координаты Р, Q, R, определяется как

сумма и обозначается

символом  div а. Напр., дивергенция гравитац. поля, создаваемого нек-рым распределением масс, равна плотности (объёмной) р(х, у, z) этого поля, умноженной на 4л.

Вихрь (или ротор) векторного поля а(М) представляет собой векторную характеристику "вращательной составляющей" этого поля. Вихрь поля а обозначается rot а. Если Р, Q, R- координаты а в базисе i, j, k, то

Пусть поле а есть поле скоростей потока жидкости. Поместим в данной точке потока малое колесико с лопастями и ориентируем его ось по направлению rot а в этой точке. Тогда скорость потока будет максимальной, а её значение будет

равно  Градиент скалярного

поля, дивергенция и вихрь векторного поля обычно наз. основными дифференциальными операциями векторного

анализа. Справедливы след, формулы, связывающие  эти операции:

Векторное поле а(М) наз. потенциальным, если это поле представляет собой градиент нек-рого скалярного поля f(M). При этом поле f(M) наз. потенциалом векторного поля а. Для того чтобы поле а, координаты к-рого Р, Q, R имеют непрерывные частные производные, было потенциальным, необходимо и достаточно обращение в нуль вихря этого поля. Если в односвязной области  задано потенциальное поле а(М), то потенциал f(M) этого поля может

быть найден по формуле в к-рой AM - любая гладкая кривая, соединяющая фиксированную точку А из Q с точкой М, t - единичный вектор касательной кривой AM и l - длина дуги AM, отсчитываемая от точки А.

Векторное поле а(М)наз. соленоидальным, или трубчатым, если это поле представляет собой вихрь нек-рого поля b(М). Поле b(М) наз. векторным потенциалом поля а. Для того чтобы а было соленои-дальным, необходимо и достаточно обращение в нуль дивергенции этого поля. В векторном анализе важную роль играют интегральные соотношения: Остроградского формула, именуемая также основной формулой векторного анализа, и Стокса формула. Пусть V - область, граница Г к-рой состоит из конечного числа кусков гладких поверхностей, п - единичный вектор внешней нормали к Г. Пусть в области V задано такое векторное поле а(М), что div а представляет собой непрерывную функцию. Тогда справедливо соотношение

(1)

наз. формулой Остроградского.

Если а - поле скоростей установившегося потока несжимаемой жидкости, то  - объём жидкости, протекающей в единицу времени через площадку da на границе Г. Поэтому правая часть формулы (1) представляет собой поток жидкости через границу Г тела V в единицу времени. Так как в рассматриваемом случае div а характеризует интенсивность источников жидкости, то формула Остроградского выражает след, наглядный факт: поток жидкости через замкнутую поверхность Г равен количеству жидкости, порождаемой всеми источниками, расположенными внутри Г. Пусть в области Q задано непрерывное и дифференцируемое векторное поле а, имеющее непрерывный вихрь rot а. Пусть Г - ориентируемая поверхность, состоящая из конечного числа кусков гладких поверхностей, и - единичный вектор нормали к Г, t - единичный вектор касательной к краю у поверхности Г, l - длина дуги у. Справедливо след. соотношение

(2)

наз. формулой Стокса. Формула (2) выражает следующий физ. факт: поток вихря векторного поля а через поверхность Г равен циркуляции этого поля вдоль кривой  Формула Остроградского служит источником инвариантного (независящего от выбора системы координат) определения осн. операций векторного анализа. Напр., из этой формулы вытекает, что

(3)

Так как выражение представляет собой поток жидкости

через  - величину этого потока на единицу объёма, то определение div ас помощью соотношения (3) показывает, что div а характеризует интенсивность источника в данной точке.

Лит.: Кочин Н. Е., Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 6 изд., Л.- М., 1938; Дубнов Я. С., Основы векторного исчисления, 4 изд., т. 1-2, М., 1950-52; Будак Б. М., Фомин С. В., Кратные интегралы и ряды, 2 изд., М., 1967.

Э. Г. Лозняк.

ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ, область, в каждой точке Р которой задан вектор в(Р). Математически В. п. может быть определено в данной области G посредством вектор-функции а(Р) переменной точки Р этой области. К понятию В. п. приводит целый ряд физ. явлений и процессов (напр., векторы скоростей частиц движущейся жидкости в каждый момент времени образуют В. п.). Теория В. п. широко разработана и имеет разнообразнее применения в различных областях естествознания (см. Векторное исчисление).

Лит.: Будак Б. М., Фомин С. В., Кратные интегралы и ряды, 2 изд., М., 1967.

Э. Г. Позняк.

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ вектора a на вектор b - вектор, обозначаемый [а, b] и определяемый так: 1) длина вектора [а, b]равна произведению длин векторов a и b на синус угла ф между ними (берётся тот из двух углов между а и b, к-рый не превосходит л), 2) вектор [а, b] перпендикулярен вектору а и вектору b, 3) тройка векторов а, b, [а,b], согласно с ориентацией пространства, всегда правая или всегда левая (см. Векторное исчисление). В. п. широко применяется в геометрии, механике и физике (напр., момент силы F, приложенной к точке М относительно

точки О, есть В. п.  ).

Лит.: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Аналитическая геометрия, М., 1968.

Э. Г. Позняк.

ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО, матем. понятие, обобщающее понятие совокупности всех (свободных) векторов обычного трёхмерного пространства.

Определение В. п. Для векторов трёхмерного пространства указаны правила сложения векторов и умножения их на действит. числа (см. Векторное исчисление). В применении к любым векторам

x, у, z и любым числам альфа, бета эти правила удовлетворяют след, условиям (условия А):

1) х+у=у+х (перестановочность сложения);

2) (x+y)+z=x+(y+z) (ассоциативность сложения);

3) имеется нулевой вектор 0 (или нуль-вектор), удовлетворяющий условию

x + 0=x для любого вектора х;

4) для любого вектора х существует противоположный ему вектор у такой, что х + у = 0;

5) 1*х=х;

6)  (ассоциативность умножения);

7)  (распределит, свойство относительно числового множителя);

8)  (распределит, свойство относительно векторного множителя).

Векторным (или линейным) пространством наз. множество R, состоящее из элементов любой природы (называемых векторами), в к-ром определены операции сложения элементов и умножения элементов на действит. числа, удовлетворяющие условиям А (условия 1-3 выражают, что операция сложения, определённая в В. п., превращает его в коммутативную группу).

Выражение

(1)

наз. линейной комбинацией векторов e₁, е₂, ..., е_n с коэффициентами a₁, a₂, ..., a_n. Линейная комбинация (1) наз. нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов a₁, a₂, ..., a_n отличен от нуля. Векторы e₁, е₂, ..., е_n наз. линейно зависимыми, если существует нетривиальная комбинация (1), представляющая собой нулевой вектор. В противном случае (то есть если только тривиальная комбинация векторов e₁, е₂, ..., е_n равна нулевому вектору) векторы e₁, е₂, ..., е_n наз. линейно независимыми.

Векторы (свободные) трёхмерного пространства удовлетворяют след, условию (условие В): существуют три линейно независимых вектора; любые четыре вектора линейно зависимы (любые три ненулевых вектора, не лежащие в одной плоскости, являются линейно независимыми).

В. п. наз. n-мерным (или имеет "размерность n"), если в нём существуют п линейно независимых элементов e₁, е₂, ..., е_n а любые n+ 1 элементов линейно зависимы (обобщённое условие В). В. п. наз. бесконечномерным, если в нём для любого натурального п существует п линейно независимых векторов. Любые п линейно независимых векторов n-мерного В. п. образуют базис этого пространства. Если e₁, е₂, ..., е_n- базис В. п., то любой вектор х этого пространства может быть представлен единств, образом в виде линейной комбинации базисных векторов:

При этом числа a₁, a₂, ..., a_n наз. координатами вектора х в данном базисе.

Примеры В. п. Множество всех векторов трёхмерного пространства образует, очевидно, В. п. Более сложным примером может служить т. н. п-мерное арифметич. пространство. Векторами этого пространства являются упорядоченные системы из п действит. чисел:  Сумма двух векторов и произведение на число определяются соотношениями:

Базисом в этом пространстве может служить, напр., след, система из п векторов e₁=(l,0,...,0), е₂ = (0,1, ..., 0), ..., е_n = (0, 0, ..., 1).

Множество R всех многочленов a₀ + a₁u +... + a_nuⁿ (любых степеней п) от одного переменного с действит. коэффициентами а₀, at, ..., сел с обычными алгебр, правилами сложения многочленов и умножения многочленов на действит. числа образует В. п. Многочлены 1, n, n², ..., nⁿ (при любом п) линейно независимы в R, поэтому R - бесконечномерное В. п.

Многочлены степени не выше п образуют В. п. размерности n + 1; его базисом могут служить многочлены 1, u, u², ..., uⁿ.

Подпространства В. п. В. п. R' наз. подпространством R, если (то есть каждый вектор пространства R' есть и вектор пространства R) и если для каждого вектора и для каждых двух векторов v₁ и v₂ вектор(при любом) и вектор v₁ и v₂ один и тот же независимо от того, рассматриваются ли векторы v, v₁, v₂ как элементы пространства R' или R. Линейной оболочкой векторов x₁, x₂, ..., x_p наз. множество всевозможных линейных комбинаций этих векторов, т. е. векторов вида a₁x₁ +a₂x₂+ ... + a_px_p. В трёхмерном пространстве линейной оболочкой одного ненулевого вектора x₁будет, очевидно, совокупность всех векторов, лежащих на прямой, определяемой вектором x₁ Линейной оболочкой двух не лежащих на одной прямой векторов x₁ и x₂ будет совокупность всех векторов, расположенных в плоскости, к-рую определяют векторы x₁ и x₂. В общем случае произвольного В. п. R линейная оболочка векторов x₁, x₂, ..., x_р этого пространства представляет собой подпространство пространства R размерности р. В n-мерном В. п. существуют подпространства всех размерностей, меньших р. Всякое конечномерное (данной размерности k) подпространство R' В. п. R есть линейная оболочка любых k линейно независимых векторов, лежащих в R'. Пространство, состоящее из всех многочленов степени(линейная оболочка многочленов 1, u, u², ..., uⁿ), есть (n+1)-мерное подпространство пространства R всех многочленов.

Евклидовы пространства. Для развития геом. методов в теории В. п. нужно указать пути обобщения таких понятий, как длина вектора, угол между векторами и т. п. Один из возможных путей заключается в том, что любым двум векторам х и у из R ставится в соответствие число, обозначаемое (х, у) и наз. скалярным произведением векторов х и у. При этом требуется, чтобы выполнялись след, аксиомы скалярного произведения:

1) (x,y) = (x,y) (перестановочность);

2) (x₁+x₂,y) = (x₁,y) + (x₂,y) (распределит, свойство);

3)

4) (х,х)>=0 для любого х, причем (х, x)=0 только для х=0.

Обычное скалярное произведение в трёхмерном пространстве этим аксиомам удовлетворяет. В. п., в к-ром определено скалярное произведение, удовлетворяющее перечисленным аксиомам, наз. евклидовым пространством; оно может быть как конечномерным (n-мерным), так и бесконечномерным. Бесконечномерное евклидово пространство обычно наз. гильбертовым пространством. Длина  вектора х и уголмежду векторами х и у евклидова пространства определяются через скалярное произведение формулами

Примером евклидова пространства может служить обычное трёхмерное пространство со скалярным произведением, определяемым в векторном исчислении. Евклидово n-мерное (арифметическое) пространство Еⁿ получим, определяя в

и-мерном арифметич. В.п. скалярное произведение векторов  и у -  соотношением

(2)

При этом требования 1) -4), очевидно, выполняются.

В евклидовых пространствах вводится понятие ортогональных (перпендикулярных) векторов. Именно векторы х и у наз. ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю: (х, у) = 0. В рассмотренном пространстве Еⁿ условие ортогональности векторов  и  как это следует из соотношения (2), имеет вид:

(3)

Применение В. п. Понятие В. п. (и различные обобщения) широко применяется в математике и её приложениях к естествознанию. Пусть, напр., R - множество всех решений линейного однородного дифференциального ур-ния

Ясно, что

сумма двух решений и произведение решения на число являются решениями этого ур-ния. Т. о., R удовлетворяет условиям А. Доказывается, что для R выполнено обобщённое условие В. Следовательно, R является В. п. Любой базис в рассмотренном В. п. наз. фундаментальной системой решений, знание к-рой позволяет найти все решения рассматриваемого ур-ния. Понятие евклидова пространства позволяет полностью геометризовать теорию систем однородных линейных ур-ний:

(4)

Рассмотрим в евклидовом пространствеЕⁿ векторы2,..., n и вектор-решение

Пользуясь формулой (2) для скалярного произведения векторов Еⁿ, придадим системе (4) след, вид:

(5)

Из соотношений (5) и формулы (3) следует, что вектор-решение u ортогонален всем векторам a_i. Иными словами, этот вектор ортогонален линейной оболочке векторов at, т.е. решение и есть любой вектор из ортогонального дополнения линейной оболочки векторов a_i. Важную роль в математике и физике играют и бесконечномерные линейные пространства. Примером такого пространства может служить пространство С непрерывных функций на отрезке с обычной операцией сложения и умножения на действит. числа. Упомянутое выше пространство всех многочленов является подпространством пространства С. Лит.: Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии, М., 1968; Гельфанд И. М., Лекции по линейной алгебре, М.- Л., 1948.

Э. Г. Позняк.

ВЕКТОР-ПОТЕНЦИАЛ, см. Потенциалы электромагнитного поля.

ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ, векторная функция, функция, значения к-рой являются векторами; см. Векторное исчисление.